1、1高考解答题仿真练 11已知向量 m(cos x,1)， n ， f(x) mn.(sin(x 6)， 1)(1)求 f(x)在0，上的单调递增区间；(2)在 ABC 中，若角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，且 f(B) ，sin Asin Csin 2B，54求 a c 的值解 由题意得， f(x)cos xsin 1(x 6)cos x 1(32sin x 12cos x) sin 2x 134 12 1 cos 2x2 sin 2x cos 2x34 14 34 sin .12 (2x 6) 34(1)由 2k 2 x 2 k ， kZ， 2 6 2得 k x k ， k
2、Z， 6 3又 x0， f(x)在0，上的单调递增区间是 和 .0， 3 56， (2)由 f(B) sin ，12 (2B 6) 34 54得 sin 1.(2B 6)又 B 是 ABC 的内角，2 B ， B . 6 2 3又 sin Asin Csin 2B，由正弦定理可得 ac b2.在 ABC 中，由余弦定理 b2 a2 c22 accos B，可得 ac( a c)22 ac ac，则 a c0.2.如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，平面 ABP平面BCP， APB90， BP BC， M 为 PC 的中点求证：2(1)AP平面 BDM；(2)BM平面
3、 ACP.证明 (1)设 AC BD O，连结 OM，因为 ABCD 是平行四边形，所以 O 为 AC 的中点因为 M 为 PC 的中点，所以 AP OM.又因为 AP平面 BDM， OM平面 BDM，所以 AP平面 BDM.(2)因为 APB90，所以 AP BP.又因为平面 ABP平面 BCP，平面 ABP平面 BCP BP， AP平面 ABP，所以 AP平面 BCP.又因为 BM平面 BCP，所以 AP BM.因为 BP BC， M 为 PC 的中点，所以 BM CP.又因为 AP CP P， AP， CP平面 ACP，所以 BM平面 ACP.3如图，半圆 AOB 是某爱国主义教育基地一
4、景点的平面示意图，半径 OA 的长为 1 百米为了保护景点，基地管理部门从道路 l 上选取一点 C，修建参观线路 C D E F，且CD， DE， EF 均与半圆相切，四边形 CDEF 是等腰梯形设 DE t 百米，记修建每 1 百米参观线路的费用为 f(t)万元，经测算 f(t)Error!(1)用 t 表示线段 EF 的长；(2)求修建该参观线路的最低费用解 设 DE 与半圆相切于点 Q，则由四边形 CDEF 是等腰梯形知， OQ l， DQ QE.3以 O 为坐标原点， OF 所在直线为 x 轴， OQ 所在直线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系 xOy.(1)由题意，得点 E 的
5、坐标为 .(t2， 1)设直线 EF 的方程为 y1 k (k0，134所以当 t 时， y0，(13， 1)所以 y 在 上单调递减；在(1,2)上单调递增(13， 1)所以当 t1 时， y 取最小值 24.5.由知，修建该参观线路的最低费用为 24.5 万元4(2018江苏金陵中学调研)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 1( ab0)的x2a2 y2b2离心率为 ，且过点 .设 F 为椭圆的右焦点， A， B 为椭圆上关于原点对称的两点，连32 (3， 12)结 AF， BF 并延长，分别交椭圆于 C， D 两点(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线 AB， CD 的斜率分别为
6、 k1， k2，是否存在实数 m，使得 k2 mk1？若存在，求出实数 m 的值；若不存在，请说明理由解 (1)设椭圆的半焦距为 c，则 c ，a2 b2由题意知Error!解得Error! 所以椭圆的标准方程为 y21.x24(2)当 AF x 轴时， A ， B ，(3，12) ( 3， 12)C ， F( ，0)(3， 12) 3则 kBF ，直线 BD 的方程为 y (x )143 143 3由Error! 消去 y，得 13x22 x450，3因为 x 是该方程的一个解，3所以点 D 的横坐标 xD ，15313则 yD ，即 D .126 (15313， 126)5所以 k2 ，1
7、26 1215313 3 723又 k1 ，所以 k27 k1，即 m7.123当 AF 与 x 轴不垂直时，设 A(x0， y0)，则 B( x0， y0)， k1 ，y0x0又 F( ，0)，3所以直线 AF 的方程为 y (x )y0x0 3 3由Error! 消去 y，得(72 x0)x28 y x 7 x 8 x00.3 320 20 3因为 x x0是该方程的一个解，所以点 C 的横坐标 xC .83 7x07 23x0又点 C(xC， yC)在直线 y (x )上，y0x0 3 3所以 yC (xC ) ，y0x0 3 3 y07 23x0从而点 C 的坐标为 ，(83 7x07
8、 23x0， y07 23x0)同理，点 D 的坐标为 ，(83 7x07 23x0， y07 23x0)所以 k2 7 k1，即 m7.y07 23x0 y07 23x083 7x07 23x0 83 7x07 23x0 14y02x0综合可知，存在 m7，使得 k27 k1.65已知函数 f(x) xln x， g(x) (x21)( 为常数)(1)若函数 y f(x)与函数 y g(x)在 x1 处有相同的切线，求实数 的值；(2)若 ，且 x1，证明： f(x) g(x)；12(3)若对任意 x1，)，不等式 f(x) g(x)恒成立，求实数 的取值范围(1)解 f( x)ln x1，
9、则 f(1)1 且 f(1)0，所以函数 y f(x)在 x1 处的切线方程为 y x1，从而 g(1)2 1，即 .12(2)证明 设函数 h(x) xln x (x21)， x1，)，12则 h( x)ln x1 x.设 p(x)ln x1 x，从而 p( x) 10 对任意 x1，)恒成立，1x所以 p(x)ln x1 x p(1)0，即 h( x)0，因此函数 h(x) xln x (x21)在1，)上单调递减，12即 h(x) h(1)0，所以当 x1 时， f(x) g(x)成立(3)解 设函数 H(x) xln x (x21)， x1，)，从而对任意 x1，)，不等式 H(x)0
10、 H(1)恒成立又 H( x)ln x12 x ，当 H( x)ln x12 x 0，即 2 恒成立时，函数 H(x)单调递减ln x 1x设 r(x) ， x1，)，ln x 1x则 r( x) 0， ln xx2所以 r(x)max r(1)1，即 2 1，所以 ，符合题意；12当 0 时， H( x)ln x12 x 0 恒成立，此时函数 H(x)单调递增于是，不等式 H(x) H(1)0 对任意 x1，)恒成立，不符合题意；当 01.1x 12当 x 时， q( x) 2 0，(1，12 ) 1x7此时 q(x) H( x)ln x12 x 单调递增，所以 H( x)ln x12 x
11、H(1)12 0，故当 x 时，函数 H(x)单调递增(1，12 )于是当 x 时， H(x)0 成立，不符合题意(1，12 )综上所述，实数 的取值范围为 .12， )6(2018苏州调研)已知等差数列 an的前 2m1 项中，奇数项的和为 56，偶数项的和为48，且 a23(其中 mN *)(1)求数列 an的通项公式；(2)若 ak1， ak2， akn，是一个等比数列，其中 k11， k25，求数列 kn的通项公式；(3)若存在实数 a， b，使得 a b 对任意 nN *恒成立，求 b a 的最小值n 1an3n解 (1)由题意， m56，a1 a2m 12(m1)48，a2 a2m
12、 22因为 a2 a2m2 a1 a2m1 ，所以 ，解得 m7.mm 1 76所以 a1 a1316，因为 a1 a13 a2 a12，且 a23，所以 a1213.设数列 an的公差为 d，则 10d a12 a210，所以 d1.所以 a12，通项公式 an n1( nN *)(2)由题意， ak1 a12， ak2 a56，设这个等比数列的公比为 q，则 q 3.a5a1那么 akn23 n1 ，另一方面 akn kn1，所以 kn23 n1 1( nN *)(3)记 cn ，n 1an3n n2 13n则 cn1 cn .n 12 13n 1 n2 13n 2n2 2n 33n 18因为 nN *，所以当 n2 时，2 n22 n32 n(n1)30，13所以当 n2 时， cn取最大值 c2 ，13所以 b .13又 c10，当 n1 时， cn0，所以当 n1 时， cn取最小值 c10，所以 a0.综上， b a 的最小值为 .13
