1、1(七)数列(A)1已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn an4， nN *.(1)求数列 an的通项公式；(2)已知 cn2 n3( nN *)，记 dn cnlog C an(C0 且 C1)，是否存在这样的常数 C，使得数列 dn是常数列，若存在，求出 C 的值；若不存在，请说明理由；(3)若对于数列 bn及任意的正整数 n，均有 b1an b2an1 b3an2 bna1 n 成(12) n 22立，求证：数列 bn是等差数列(1)解 a14 a1，所以 a12，由 Sn an4，得当 n2 时， Sn1 an1 4，两式相减，得 2an an1 ，所以 ，anan 1 12
2、数列 an是以 2 为首项， 为公比的等比数列，12所以 an2 2 n(nN *)(2)解 由于数列 dn是常数列，dn cnlog C an2 n3(2 n)logC22 n32log C2 nlogC2(2log C2)n32log C2 为常数，则 2log C20，由 C0 且 C1，解得 C ，此时 dn7.2(3)证明 b1an b2an1 b3an2 bna12 n ，(12) n 22当 n1 时， b1a1 1，12 32其中 a12，所以 b1 .12当 n2 时， b1an1 b2an2 b3an3 bn1 a1 n1 ，(12) n 12式两边同时乘以 ，得12b1a
3、n b2an1 b3an2 bn1 a2 n ，(12) n 14由，得 bna1 ， n 34所以 bn (nN *， n2)，n8 38且 bn1 bn ，18又 b1 ，12 18 38所以数列 bn是以 为首项， 为公差的等差数列12 182在数列 an中，已知 a1 ， an1 an ， nN *，设 Sn为 an的前 n 项和13 13 23n 1(1)求证：数列3 nan是等差数列；(2)求 Sn；(3)是否存在正整数 p， q， r(p0，所以 ，等式不成立r3r p3p r3r2q3q当 q2 时， p1，所以 ，49 13 r3r所以 ，r3r 19所以 r3( Sn单调递
4、减，解唯一确定)综上可知，存在正整数 p1， q2， r3，使得 Sp， Sq， Sr成等差数列3设 Sn为数列 an的前 n 项和，若 (nN *)是非零常数，则称该数列为“和等比数列” S2nSn(1)若数列2 bn是首项为 2，公比为 4 的等比数列，试判断数列 bn是否为“和等比数列” ，并给出证明；(2)若数列 cn是首项为 c1，公差为 d(d0)的等差数列，且数列 cn是“和等比数列” ，试探究 d 与 c1之间的等量关系解 (1)数列 bn为“和等比数列” ，证明如下：因为数列2 bn是首项为 2，公比为 4 的等比数列，所以 2bn24 n1 2 2n1 ，4因此 bn2 n1.设数列 bn的前 n 项和为 Tn，则 Tn n2， T2n4 n2，所以 4，T2nTn因此数列 bn为“和等比数列” (2)设数列 cn的前 n 项和为 Rn，且 k(k0)R2nRn因为数列 cn是等差数列，所以 Rn nc1 d，nn 12R2n2 nc1 d，2n2n 12所以 k 对于 nN *都成立，R2nRn2nc1 2n2n 12 dnc1 nn 12 d化简，得( k4) dn( k2)(2 c1 d)0，则Error!因为 d0，所以 k4， d2 c1，因此 d 与 c1之间的等量关系为 d2 c1.
