1、1(五)函数与导数(A)1(2018宿迁期末)已知函数 f(x) a (a0，且 a1)是定义在 R 上的奇函数(1 2ax a2)(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的值域；(3)若存在 x1,2，使得 4 mf(x)2 x1 0 成立，求实数 m 的取值范围解 (1) f(x)是 R 上的奇函数， f(0) a 0，可得 a2.(1 21 a2)经检验 a2 符合题意(2)由(1)可得 f(x)2 ，(122x 1)函数 f(x)在 R 上单调递增，又 2x11，20.(2x 12x 1)由题意知，存在 x1,2，使得 mf(x)2 m 2 x1 4 成立，2x 12x 1即存在 x
2、1,2，使得 m 成立2x 12x 22x 12令 t2 x1(1 t3)，则有 m t 1，t 2t 1t 2t当 1 t3 时，函数 y t 1 为增函数，2t min0.(t2t 1) m0.故实数 m 的取值范围为0，)2已知函数 f(x) x.aexx(1)若函数 f(x)的图象在(1， f(1)处的切线经过点(0，1)，求 a 的值；(2)是否存在负整数 a，使函数 f(x)的极大值为正值？若存在，求出所有负整数 a 的值；若不存在，请说明理由解 (1) f( x) ，aexx 1 x2x2 f(1)1， f(1) ae1.函数 f(x)在(1， f(1)处的切线方程为y( ae1
3、) x1，又直线过点(0，1)，1( ae1)1，解得 a .1e(2)若 a0 恒成立，函数在(，0)上无极值；当 x(0,1)时， f( x)0 恒成立，函数在(0,1)上无极值方法一 当 x(1，)时，若 f(x)在 x0处取得符合条件的极大值 f(x0)， 则Error! 则Error!由得 0exa ，代入得 x00，x20x0 1 x0x0 1结合可解得 x02，再由 f(x0) ea x00，得 a 02ex，设 h(x) ，则 h( x) ，x2ex xx 2ex当 x2 时， h( x)0，即 h(x)是增函数， ah(x0)h(2) .4e23又 a0， H(2) ae24
4、e 240，即 f( x)0；当 xx0时， H(x)0，12 54可得 f( x) ax a ，1x ax2 ax 1x因为函数 f(x)存在两个极值点 x1， x2，所以 x1， x2是方程 f( x)0 的两个正根，即 ax2 ax10 的两个正根为 x1， x2，所以Error! 即Error!所以 f(x1) f(x2) ax ax1ln x1 a ax ax2ln x2 a12 21 54 12 2 54 a(x1 x2)22 x1x2 a(x1 x2)ln( x1x2) a12 522 aln a1，令 g(a)2 aln a1， a4，故 g( a)2 0， g(a)在(4，)
5、上单调递增，1a所以 g(a)g(4)7ln 4，故 f(x1) f(x2)的取值范围是(7ln 4，)(3)由题意知， f(x) ax 对任意的实数 x(1，)恒成立，a4即 2ln x ax24 ax3 a0 对任意的实数 x(1，)恒成立令 h(x)2ln x ax24 ax3 a， x1，则 h( x) 2 ax4 a2 ，2x ax2 2ax 1x若 a0，当 x1 时， h(x)2ln x0，故 a0 符合题意；若 a0，()若 4a24 a0，即 00， h(x)在(1，)上单调递增，所以当 x1 时， h(x)h(1)0，故 00，即 a1，令 h( x)0，得 x11 1，a
6、2 aa当 x(1， x2)时， h( x)0， h(x)在( x2，)上单调递增，5所以存在 x x21，使得 h(x2)1 不符合题意若 a1.a2 aa 1 1a当 x(1， x0)时， h( x)0， h(x)在(1， x0)上单调递增；当 x( x0，)时， h( x)x0.2a要证 4 x0，2a即要证 4 1 ，2a a2 aa只要证 23 a ，a2 a因为 a0，a2 a故 23 a ，所以 4 x0.a2 a2a其次证明，当 a1，则 t( x) 14 时， h(x)2ln x ax24 ax3 a2 ax24 ax3 a，2a (x 32a)即 h(x)ax 0，与题意矛盾，故 a0 不符合题意x (42a)综上所述，实数 a 的取值范围是0,1
