1、1(一)几何证明选讲1.如图， O 是 ABC 外接圆的圆心， ACB54，求 ABO 的值解 连结 OA，因为 O 是圆心，所以 AOB2 ACB，所以 ABO (180 AOB)12 (1802 ACB)1290 ACB905436.2.如图，已知 A， B， C 是圆 O 上的三点， BE 切圆 O 于点 B， D 是 CE 与圆 O 的交点，若 BAC60， BE2， BC4，求线段 CD 的长解 因为 BE 切圆 O 于点 B，所以 CBE BAC60.因为 BE2， BC4，由余弦定理得 EC2 .3又 BE2 ECED，所以 DE ，233所以 CD EC ED2 .3233 4
2、333如图，已知点 C 在圆 O 的直径 AB 的延长线上， CD 是圆 O 的一条切线， D 为切点，点 D在 AB 上的射影是点 E， CB3 BE.求证：(1) DB 是 CDE 的平分线；(2)AE2 EB.证明 (1)连结 AD， AB 是圆 O 的直径， DAB DBA90，2 DE AB， BDE DBA90， DAB BDE， CD 切圆 O 于点 D， CDB DAB， BDE CDB， DB 是 CDE 的平分线(2)由(1)可得 DB 是 CDE 的平分线， 3，即 CD3 DE.CDDE CBBE设 BE m(m0)， DE x(x0)，则 CB3 m， CD3 x，在
3、 Rt CDE 中，由勾股定理可得(3 x)2 x2(4 m)2，则 x m，2由切割线定理得 CD2 CBCA，(3 m)23 mCA，2CA6 m， AB3 m， AE2 m，则 AE2 EB.4(2018江苏海安中学质检)如图，在 Rt ABC 中， B90，它的内切圆分别与边BC， CA， AB 相切于点 D， E， F，连结 AD，与内切圆相交于另一点 P，连结 PC， PE， PF，已知 PC PF，求证：(1) ；(2) PE BC.PFFD PDDC证明 (1)连结 DE，则 BDF 是等腰直角三角形，于是 FPD FDB45，故 DPC45.又 PDC PFD，则 PFD PDC，所以 .PFFD PDDC(2)由 AFP ADF， AEP ADE，知 AFP ADF， AEP ADE.于是， .EPDE APAE APAF FPDF3故由得 ，EPDE PDDC由 EPD EDC，结合得， EPD EDC，从而 EPD 也是等腰三角形于是， PED EPD EDC，所以 PE BC.
