1、1第二章 第四节 圆周角1如图，O 中，弦 AB与直径 CD相交于点 P，且 PA=4，PB=6，PD=2，则O 的半径为（ ）A9 B8 C7 D62如图， AB 是O 的直径，C，D 为圆上两点，若AOC =130，则D 等于 （ ）A 20 B 25 C 35 D 503如图，A、B、C 是O 上的三点，AOC=100 ，则ABC 的度数为（ ）A30 B45 C50 D604如图，AB 是半圆 O直径，半径 OCAB，连接 AC，CAB 的平分线 AD分别交 OC于点 E，交于点 D，连接 CD、OD，以下三个结论：ACOD；AC2CD；CD 2=CECO，其中所有正确结论的序号是（
2、）A B C D5如图，在 O中， A35， E40，则 BOD的度数（ ）2A 75 B 80 C 135 D 15066如图，在足球比赛中，甲带球向对方球门 PQ进攻，当他带球冲到 A点时，同样乙已经助攻冲到 B点，丙助攻到 C点有三种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门；第三种是甲将球传给丙，由丙射门仅从射门角度考虑，应选择的射门方式是( )A 第一种 B 第二种 C 第三种 D 无法确定7如图，四边形 ABCD内接于O，DA=DC，CBE=50，则DAC 的大小为（ ）A 130 B 100 C 65 D 508如图，在O 中，点 C在优弧 上，将弧 沿 BC折
3、叠后刚好经过 AB的中点 D若 O 的半径为，AB=4，则 BC的长是（ ）A B C D 9下列说法正确的是( )3A 平分弦的直径垂直于弦B 三角形的外心到这个三角形的三边距离相等C 相等的圆心角所对的弧相等D 等弧所对的圆心角相等10如图，O 是ABC 的外接圆，已知ACO=30，则B 的度数是（ ）A 30 B 45 C 60 D 7511如 图 ， 四 边 形 ABCD内 接 于 O， AB AD， C 110， 点 E在 AD上 ， 则 E 12如图， AB是 O的直径， ABCD，若 50BO，则 A的度数为 13如图，O 中，OABC，AOB=52，则ADC 的度数为 14下面
4、是“作一个 30角”的尺规作图过程4请回答：该尺规作图的依据是_15如图，圆的两条弦 AC、 BD相交于点 P， AmB、 CnD的度数分别为 、 ， APB的度数为 ，则 、 和 之间的数量关系为_16如图所示，ABC 内接于O,AD 是O 的直径，ABC=30，则CAD= _.17如图，在O 中，AC 是弦，AD 是切线，CBAD 于 B，CB 与O 相交于点 E，连接 AE，若 AE平分BAC，BE=1，则 CE=_518如图， A B C D四点在 O上， OC AB， AOC=40，则BDC 的度数是_19如图，点 A、 B、 C在 O上，若 BOC150，则 A_20如图，已知 A
5、B为O 的直径，AB=AC，BC 交O 于点 D，AC 交O 于点 E，BAC=46.则EBC 的度数等于_度.21如图，四边形 中的三个顶点在 上， 是优弧 上的一个动点(不与点 、 重合).(1)当圆心 在 内部， 时， _.(2)当圆心 在 内部，四边形 为平行四边形时，求 的度数;(3)当圆心 在 外部，四边形 为平行四边形时，请直接写出 与 的数量关系.622如图，一个圆与正方形的四边都相切，切点分别为 A、 B、 C、 D仅用无刻度的直尺分别在图，图中画出 2.5， 13的圆周角并标明角的度数23已知，如图， AB 为O 的弦，C 为O 上一点，C=BAD，且 BDAB 于 B（1
6、）求证：AD 是O 的切线；（2）若O 的半径为 3，AB=4，求 AD的长24如图，AB 是圆的直径，弦 CDAB，AD，BC 相交于点 E，若 AB=6，CD=2，AEC=，求 cos的值25在平面直角坐标系 xOy中，点 M（ 2， ） ，以点 M为圆心，OM 长为半径作M ，使M7与直线 OM的另一交点为点 B，与 x轴、y 轴的另一交点分别为点 D，A（如图） ，连接 AM点 P是弧AB上的动点.（1）写出AMB 的度数；（2）点 Q在射线 OP上，且 OPOQ=20，过点 Q作 QC垂直于直线 OM，垂足为 C，直线 QC交 x轴于点 E.当动点 P与点 B重合时，求点 E的坐标；
7、连接 QD，设点 Q的纵坐标为 t，QOD 的面积为 S，求 S与 t的函数关系式及 S的取值范围.26如图，在平面直角坐标系 xoy中，E（8,0），F(0 , 6)（1）当 G(4，8)时，则FGE= （2）在图中的网格区域内找一点 P，使FP E=90且四边形 OEPF被过 P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形要求：写出点 P点坐标，画出过 P点的分割线并指出分割线（不必说明理由，不写画法）27如图，O 是 RtABC 的外接圆，AB 为直径，ABC=30，CD 是O 的切线，E 为 AC延长线上一点，EDAB 于 F（1）判断DCE 的形状；8（2）设O 的半径为 1，且
8、OF= ，求证：DCEOCB28如图，已知O 是以 AB为直径的ABC 的外接圆，过点 A作O 的切线交 OC的延长线于点 D，交 BC的延长线于点 E.（1）求证：DACDCE； （2）若 AEED=2,求O 的半径.答案：1C试题分析：根据相交弦定理得出 APBP=CPDP，求出 CP，求出 CD即可解：由相交弦定理得：APBP=CPDP，PA=4，PB=6，PD=2，9CP=12，DC=12+2=14，CD 是O 直径，O 半径是 7故选 C2C试题分析：AB 是O 的直径，BOC=180-AOC=180-130=50，D= 12BOC= 50=25故选：C3C试题分析：根据同弧所对圆心
9、角是圆周角 2倍可求，ABC= AOC=50解：AOC=100，ABC= AOC=50故选 C4B试题分析：因为 AD平分CAB，所以CAD=BAD，因为 OA=OD，所以OAD=ADO，所以CAD=ADO，所以 ACOD，故正确；由题意得， A2DC，所以 AC2CD，故错误；CDA= 12AOC=45，COD= 12BOC=45，所以CDA=COD，又OCD=OCD，所以CDECOD，所以 CDEO，所以 EO，故正确，所以其中正确结论的序号是故选：B5D如图，连接 OC，已知A=35，E=40，由圆周角定理可得BOC=70，DOC=80，所以BOD=BOC+DOC=70+80=150故选
10、 D106C解：连接 CQ，根据三角形外角的性质可得PCQA；由圆周角定理知：PCQ=B；所以PCQ=BA；又因点 C到球门的距离比点 B到球门的距离近，所以选择第三种射门方式更好，故选 C.7C解：CBE=50，四边形 ABCD是O 的内接四边形，ADC=CBE=50（圆内接四边形的一个外角等于内对角） ，DA=DC，DAC=DCA= 180562.故选 C.8B分析：连接 OD、AC、DC、O B、OC，作 CEAB 于 E，OFCE 于 F，如图，利用垂径定理得到ODAB，则 AD=BD= AB=2，于是根据勾股定理可计算出 OD=1，再利用折叠的性质可判断弧 AC和弧CD所在的圆为等圆
11、，则根据圆周角定理得到 ，所以 AC=DC，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形 ODEF为正方形得到 OF=EF=1，然后计算出 CF后得到 CE=BE=3，于是得到BC=3 详解：连接 OD、AC、DC、OB、OC，作 CEAB 于 E，OFCE 于 F，如图，D 为 AB的中点，ODAB，AD=BD= AB=2，在 RtOBD 中，OD= =1，11将弧 沿 BC折叠后刚好经过 AB的中点 D，弧 AC和弧 CD所在的圆为等圆， ，AC=DC，AE=DE=1，易得四边形 ODEF为正方形，OF=EF=1，在 RtOCF 中，CF= =2，CE=CF+EF=2+1=3，而
12、BE=BD+DE=2+1=3，BC=3 ，故选 B点拨：本题考查了圆周角定理、垂径定理、切线的性质，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系，熟练掌握相关的定理和性质是解题的关键.9D试题分析：A、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦；B、三角形的外心到这个三角形的三个顶点距离相等；C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；D、等弧所对的圆心角相等.10C解：连接 OA，OA=OC， OAC=ACO=30，AOC=180-OAC-ACO=120，B= 12AOC=60，故选 C.1211125试题分析：四边形 ABCD内接于O，BAD=180-C=180-110=70，AB=
13、AD，ABD=（180-BAD）2=55，E=180-ABD=1251225试题分析：在同一个圆中，同弧或等弧所对的圆周角度数相等，等于圆心角度数的一半. AB是 O的直径， ABCD， 50O .2511326试题分析：已知 OABC，根据垂径定理得出 ，再由圆周角定理即可得出ADC= 21AOB=2614三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是 60，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；或：直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是 60，直角三角形两个锐角互余；或：直径所对的圆周角为直角， 1sin2A， 为锐角， 30A.解：连
14、接 OD,CD,因为 OC=OC=CD,所以 OCD是等边三角形， A= 130.2DOC三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是 60，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；AC是直径， AOCD是等边三角形， DCA=60，所以 A=30，13直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是 60，直角三角形两个锐角互余；sinA= 12CDB,所以 A为锐角， 30.直径所对的圆周角为直角， 1sin2， A为锐角， 30.故答案为：三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是 60，一条弧所对的圆周角是它所对圆心 角的一半；
15、或：直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是 60，直角三 角形两个锐角互余；或：直径所对的圆周角为直角， 1sin2A， 为锐角， 30A.15 解：连接 CB,因为弧 AB,弧 CD所对的圆心角的度数分别是 , ,所以 ACB= 12, CBD= 12,根据三角形外角定理可得: APB ACB+ CBD,即 .1660试题分析：根据圆周角定理可得出两个条件：ACD=90；D=B=30；在 RtACD 中，已知了D 的度数，即可求出CAD 的度数试题解析：AD 是O 的直径，ACD=90；CDA=ABC=30，CAD=90-CDA=60172解： AD
16、是切线， EAB= C, AE是角平分线， CAE= EAB, CAE= EAB= C, CB ,AD C+ CAB=90，3 C=90， C=30.14故答案为 30.1820解：连接 OB， OA=OB， OC AB， BOC= AOC=40， D= 12 BOC=20.故答案为 20.19105解：BOC=150，A 所对的弧的度数为 360-150=210，A= 12210=105.故答案为：105.2023试题解析： AB是 O的直径，90.AEB又 46C， 5.又 AB=AC， 67.ABC23E故答案为：23.21120试题分析：（1）连接 OA，如图 1，根据等腰三角形的性质
17、得 OAB= ABO， OAD= ADO，则 OAB+ OAD= ABO+ ADO=60，然后根据圆周角定理易得 BOD=2 BAD=120；（2）根据平行四边形的性质得 BOD= BCD，再根据圆周角定理得 BOD=2 A，则 BCD=2 A，然后根据圆内接四边形的性质由 BCD+ A=180，易计算出A 的度数；（3）讨论：当 OAB比 ODA小时，如图 2，与（1）一样 OAB= ABO， OAD= ADO，则 OAD-15 OAB= ADO- ABO= BAD，由（2）得 BAD=60，所以 ADO- ABO=60；当 OAB比 ODA大时，用样方法得到 ABO- ADO=60解： (
18、1)连接 OA,如图 1, OA=OB， OA=OD， OAB= ABO， OAD= ADO， OAB+ OAD= ABO+ ADO=60,即 BAD=60， BOD=2 BAD=120；故答案为 120；(2)四边形 OBCD为平行四边形， BOD= BCD， BOD=2 A， BCD=2 A， BCD+ A=180,即 3 A=180， A=60；(3)当 OAB比 ODA小时，如图 2， OA=OB,OA=OD, OAB= ABO， OAD= ADO， OAD OAB= ADO ABO= BAD，由(2)得 BAD=60，16 ADO ABO=60；当 OAB比 ODA大时，同理可得 A
19、BO ADO=60，综上所述, .22见解析.作 135先作出 270即可试题解析：解：（1）连接 AC， BD相交于点 O，连接正方形的对角线，则 EOC=45，连接 EA，则 EAC= 2 EOC=22.5；（2）连接 AC， BD在弧 AB上任意取一点 E，连接 BE、 AE，则 AEB=13523 （1）证明见解析（2） 分析：(1)、要证明 AD是O 的切线只要证明OAD=90即可；(2)、根据勾股定理及圆周角定理即可求得 AD的长详解：(1)、连接 AO并延长交 于 H，连接 HB. ， . AH 是直径， . ， ， 即： ， 经过 OA的外端， AD 是 的切线. (2)、AH
20、 为 的直径， . ， . ， ， . ， ， .1724cos= AEC=31试题分析：如图，连接 AC在 RtAEC 中，求出 AEC的值即可，根据 AEC= D= B可以得出结论试题解析：如图，连接 ACABCD，ABEDCE， ACBD， DB= E，BCD=ADC，EC=ED，AB=6，CD=2， A=C= B= 62=31，AB 是直径，ACE=90，cos= AEC=3125 （1）90；（2）（ 52，0）；S= 2t，5S10试题分析：（1）首先过点 M作 MHOD 于点 H，由点 M（ ， 2） ，可得MOH=45，OH=MH=，继而求得AOM=45，又由 OM=AM，可得
21、AOM 是等腰直角三角形，继而可求得AMB 的度数；（2）由 OH=MH= 2，MHOD，即可求得 OD与 OM的值，继而可得 OB的长，又由动点 P与点 B重合时，OPOQ=20，可求得 OQ的长，继而求得答案；18由 OD=2，Q 的纵坐标为 t，即可得 S=12t= ，然后分别从当动点 P与 B点重合时，过点 Q作 QFx 轴，垂足为 F点，与当动点 P与 A点重合时，Q 点在 y轴上，去分析求解即可求得答案试题解析：（1）过点 M作 MHOD 于点 H，点 M（ 2， ） ，OH=MH= 2，MOD=45，AOD=90，AOM=45，OM=AM，OAM=AOM=45，AMO=90，AM
22、B=90；（2）OH=MH= 2，MHOD，OM= 2O=2，OD=2OH= ，OB=4，动点 P与点B重合时，OPOQ=20，OQ=5，OQE=90，POE=45，OE= 52，E 点坐标为（ 5，0） ；OD= 2，Q 的纵坐标为 t，S= 12t= ，如图 2，当动点 P与 B点重合时，过点 Q作 QFx 轴，垂足为 F点，OP=4，OPOQ=20，OQ=5，OFC=90，QOD=45，t=QF=52，此时 S= 52=5；如图 3，当动点 P与 A点重合时，Q 点在 y轴上，OP= 2，OPOQ=20，t=OQ= 52，此时S= 5=10；S 的取值范围为 5S1026 （1）90；（
23、2）作图见解析，P（7，7），PH 是分割线19试题分析：（1）根据勾股定理求出FEG 的三边长，根据勾股定理逆定理可判定FEG 是直角三角形，且FGE=90 （2）一方面，由于FPE=90，从而根据直径所对圆周角直角的性质，点 P在以 EF为直径的圆上；另一方面，由于四边形 OEPF被过 P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形，从而 OP是正方形的对角线，即点 P在FOE 的角平分线上，因此可得 P（7，7），PH 是分割线试题解析：（1）连接 FE，E（8,0），F(0 , 6)，G(4，8)，根据勾股定理，得 FG=25，EG= 4，FE=10 25410，即 22FGEFEG
24、 是直角三角形，且FGE=90 （2）作图如下：HPP（7，7），PH 是分割线27 （1）CDE 为等腰三角形；（2）证明见解析.试题分析：（1）由 ABC=30可得 BAC=60，结合 DE AB，可得 AED的度数；根据弦切角定理可得 DCB=60，再结合 ACB=90，从而可得 DCE的度数；（2）由（1）的证明过程可得 ABC= OCB= DCE= CED=30，要证明 BOC EDC，只要证明BC=CE，接下来由圆半径为 1可得 AB的长，结合含 30度角直角三角形的性质以及勾股定理可得AC、 BC的长，在 Rt AEF中，先求得 AF的长，再利用含 30度角直角三角形的性质可得
25、AE的长，20继而得到 CE的长，从而可证 CDE COB.（1）解：ABC=30，BAC=60又OA=OC，AOC 是正三角形又CD 是切线，OCD=90DCE=1806090=30而 EDAB 于 F，CED=90BAC=30故CDE 为等腰三角形（2）证明：CD 是O 的切线，OCD=90，BAC=60，AO=CO，OCA=60，DCE=30A，C，E 三点同线在ABC 中，AB=2，AC=AO=1，BC= = OF= ，AF=AO+OF= 又AEF=30，AE=2AF= +1，CE=AEAC= =BC，而OCB=ACBACO=9060=30=ABC；故CDECOB点拨：此题考查了切线的
26、判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，含 30直角三角形的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，以及等边三角形的判定与性质，利用了转化及数形结合的思想，是一道综合性较强的题2128 （1）证明见解析；（2）O 的半径为分析：（1）由切线的性质可知 DAB=90，由直角所对的圆周为 90可知 ACB=90，根据同角的余角相等可知 DAC= B，然后由等腰三角形的性质可知 B= OCB，由对顶角的性质可知 DCE= OCB，故此可知 DAC= DCE；（2）先证明 DCE DAC，求出 CD的长，设 O的半径为 x,则 OA=OC=x，在 Rt OAD中，由勾股定理列方程即可求出半径的长.详解：证明：（1）AD 是O 的切线，DAB90，即DACCAB90， AB 是O 的直径，ACB90，CABABC90， DAC B， OCOB， BOCBDAC，又DCEOCB，DACDCE； 解：（2） DAC=DCE, D=D，DCEDAC， 即 ，DC= .设O 的半径为 x,则 OA=OC=x，在 RtOAD 中，由勾股定理，得，解得 x = ，答：O 的半径为 。22
