1、1(第 3 题)灌南华侨双语学校 20172018 学年度第二学期期中考试高二数学试卷（理科）（分值 160 分， 时间 120 分钟）一填空题：（70 分）1.复数 _ _2. 计算 _ _|13|i3. 观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在 的频率为(270,3 4. 从 1，2 ，3，4 这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 5. 从编号为 的 80 件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为 4 的样本，80,793,21若编号为 28 的产品在此样本中，则这样的样本中产品的最大编号为 6. 已知一组数据 4.7，4.8，5.1，5.
2、4，5.5，则该组数据的方差为 7. .已知矩形的长为 10，宽为 5（如图所示） ，在矩形内随机地投掷1000 颗黄豆，数得落在图中椭圆内的黄豆为 560 颗，则可以估计图中椭圆部分的面积为 .8. 从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是2400 2700 3000 3300 3600 3900 体重00 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 001频率/组距2 (填序号)“至少有一个黑球”与“都是黑球” ；“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” ；“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” ；“至少有一个黑球”与“都是红球” 9.已知 4 名同学报名参
3、加数学、计算机、航模兴趣小组，每人只选报 1 项，则不同的报名方法有 种 10.用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 （用数字回答） 11. 用数学归纳法证明： ，则当 时，左端在23214n 1k时kn的左端加上了 12. 一只蚂蚁在一边长为 6 的正方形区域内随机地爬行,则其恰在离四个顶点距离都大于3 的地方的概率 . 13.2018 年 4 月 18 日， 我国航空母舰“辽宁舰”在台湾海峡实弹演习中，要求 2 艘攻击型核潜艇一前一后，2 艘驱逐舰和 2 艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则编队配置分配方案的方法数为 (用数字作答) 14用数学归纳
4、法证明：“1 n(n1)” ，由 n k(k1)不等式成立，12 13 12n 1推证 n k1 时，左边应增加的项的项数是 .二填空题：（14+14+14+16+16+16）15. 设复数 （ ， ， 是虚数单位），且复数 满足 ，复数 在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上.求复数 ；3(2)若 为纯虚数(其中 ）,求实数 的值.16有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字 1，2，3，4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用 表示结果，其中 表示第 1 颗出现的点数（面朝下的数字） ，yx,x表示第 2 颗出现的点数（面朝下的数字）.y（1）求事件“点数之和不小于 4”的概率
5、；（2）求事件“点数之积能被 2 或 3 整除”的概率.17.某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为 50 的学生成绩样本，得频率分布表如下：组号 分组 频数 频率第一组 230，235） 8 0.16第二组 235，240） 0.24第三组 240，245） 15 第四组 245，250） 10 0.20第五组 250，255 5 0.10合 计 50 1.00（1）写出表中位置的数据；（2）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取 6 名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；（3）在（2）的前提下，高校决定在这 6 名学生中录取 2
6、名学生，求 2 人中至少有 1 名是第四组的概率418. （本小题满分 16 分）如图华侨高级中学 2016 年校园“十佳歌手”大奖赛上，七位评委为甲、乙两位选手打出的分数的茎叶图.（1）写出评委为乙选手打 出分数数据的众数，中位数；（2）求去掉一个最高分和一个最低分后，两位选手所剩数据的平均数和方差，根据结果比较，哪位选手的数据波动小？19.已知数列 an满足 a1=1，且 4an+1a nan+1+2an=9（nN *）（1）求 a1，a 2，a 3，a 4的值；（2）由（1）猜想 an的通项公式，并给出证明20.是否存在常数 a、b，使等式 对于一切2)12(5321bnan甲 乙789
7、94 4 4 6 739 7 6 6 43 25nN *都成立 .6(第 3 题)灌南华侨双语学校 20172018 学年度第二学期期中考试高二数学试卷（理科）（分值 160 分， 时间 120 分钟）一填空题：（70 分）1.复数 _【答案】【解析】2. 计算 _ _ 【答案】|13|i 53. 观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在 的频率为(270,3_ 答案为：0.3 4. 从 1，2，3，4 这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 【答案】 315. 从编号为 的 80 件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为 4 的样本，80,79
8、,若编号为 28 的产品在此样本中，则这样的样本中产品的最大编号为_【答案】686. 已知一组数据 4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差为_【答案】0.17. .已知矩形的长为 10，宽为 5（如图所示） ，在矩形内随机地投掷1000 颗黄豆，数得落在图中椭圆内的黄豆为 560 颗，则可以估计图中椭圆部分的面积为_.【答案】288. 从装有两个红球和两个黑球的口袋内 任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是_(填序号)2400 2700 3000 3300 3600 3900 体重00 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 001频率/组距7“至少有一个黑球”与
9、“都是黑球” ；“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” ；“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” ；“至少有一个黑球”与“都是红球” 答案为： (3)9.已知 4 名同学报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人只选报 1 项，则不同的报名方法有 种 答案为：8110.用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 （用数字回答） 答案为：7212. 用数学归纳法证明： ，则当 时，左端在23214n 1k时kn的左端加上了 答案为：k 21)(k 22) (k1) 2 12. 一只蚂蚁在一边长为 6 的正方形区域内随机地爬行,则其恰在离四个顶点距离都大于3 的地方的概率_.
10、 答案为： 413.2018 年 4 月 18 日， 我国航空母舰“辽宁舰”在台湾海峡实弹演习中，要求 2 艘攻击型核潜艇一前一后，2 艘驱逐舰和 2 艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则编队配置分配方案的方法数为_(用数字作答) 答案为：3214用数学归纳法证明：“1 n(n1)” ，由 n k(k1)不等式成立，12 13 12n 1推证 n k1 时，左边应增加的项的项数是_.【解析】 当 n k1 时，左边是 1 增加的是12 13 12k 1 12k 12k 1 1 ，共有 2k1 12 k12 k项，故左边应增加的项的项数是 2k.12k 12k 1 12k 1 1【答案】
11、 2 k8二填空题：（14+14+14+16+16+16）15. 设复数 （ ， ， 是虚数单位），且复数 满足 ，复数 在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上.求复数 ；(2)若 为纯虚数(其中 ）,求实数 的 值.试题解析：设 ，由 得： .111.Com又复数 在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，则 即 . 由联立方程组 ,解得 , 或 ， ， ， . .由 ,可得,为纯虚数， ， 解得 . 916有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字 1，2，3，4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用 表示结果，其中 表示第 1 颗出现的点数（面朝下的数字） ，yx,x表示第
12、 2 颗出现的点数（面朝下的数字）.y（1）求事件“点数之和不小于 4”的概率；（2）求事件“点数之积能被 2 或 3 整除”的概率.解（1）所有的基本事件为（1,1） ， （1,2） ， （1,3） ， （1,4） ， （2,1） ， （2,2） ， （2,3） ，（2,4） ， （3,1） ， （3,2） ， （3,3） ， （3,4） ， （4,1） ， （4,2） ， （4,3） ， （4,4） ，共 16 个“点数之和不小于 4”包含的基本事件为（1,3） ， （1,4） ， （2,2） ， （2,3） ， （2,4） ， （3,1） ，（3,2） ， （3,3） ， （3,4） ，
13、 （4,1） ， （4,2） ， （4,3） ， （4,4）共 13 个，所以 P（点数之和不小于 4）= 136（2） “点数之积不能被 2 或 3 整除”的对立事件只含一个基本事件（1,1）所以 P（点数之积能被 2 或 3 整除）= 156答：略17.（14 分）质检部门抽查某批次产品的质量（单位：克） ，随机检查了其中 80 件产品，根据样本数据描绘的频率分布直方图如下：（1）求频率分布直方图中 的值；a（2）若质量在5.95,6.95)中的产品才算一级品，求在抽查的样本中一级产品共有多少件？频 率组 距 5.9644. .5a0.3524a710某高校从参加今年自主招生考试的学生中随
14、机抽取容量为 50 的学生成绩样本，得频率分布表如下：组号 分组 频数 频率第一组 230，235） 8 0.16第二组 235，240） 0.24第三组 240，245） 15 第四组 245，250） 10 0.20第五组 250，255 5 0.10合 计 50 1.00（1）写出表中位置的数据；（2）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取 6 名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；（3）在（2）的前提下，高校决定在这 6 名学生中录取 2 名学生，求 2 人中至少有 1 名是第四组的概率【解答】解：（1）由频率分布表，可得位置的数据为 5
15、0815105=12，位置的数据为 10.160.240.200.1=0.3，11故位置的数据分别为 12、0.3； （2）读表可得，第三、四、五组分别有 15、10、5 人，共 15+10+5=30 人，要求从中用分层抽样法抽取 6 名学生，则第三组参加考核人数为 15 =3，第四组参加考核人数为 10 =2，第五组参加考核人数为 5 =1，故第三、四、五组参加考核人数分别为 3、2、1；（3）设（2）中选取的 6 人为 a、b、c、d、e、f（其中第四组的两人分别为 d，e） ，则从 6 人中任取 2 人的所有情形为：ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，
16、de，df，ef共有 15 种；记“2 人中至少有一名是第四组”为事件 A，则事件 A 所含的基本事件的种数有 9 种所以 ，故 2 人中至少有一名是第四组的概率为 18. （本小题满分 16 分）如图华侨高级中学 2016 年校园“十佳歌手”大奖赛上，七位评委为甲、乙两位选手打出的分数的茎 叶图.（1）写出评委为乙选手打出分数数据的众数，中位数；（2）求去掉一个最高分和一个最低分后，两位选手所剩数据的平均数和方差，根据结果比较，哪位选手的数据波动小？（1）众数为 84，中位数 84；（2） ，所以 ，所以乙的数据波动小.228,5,.,1.6xS甲 乙 甲 乙 2S甲 乙 甲 乙789 94
17、 4 4 6 739 7 6 6 43 21219.已知数列 an满足 a1=1，且 4an+1a nan+1+2an=9（nN *）（1）求 a1，a 2，a 3，a 4的值；（2）由（1）猜想 an的通项公式，并给出证明【解答】解：（1）由 4an+1a nan+1+2an=9 得 ，(第 3 题)求得（2）猜想证明：当 n=1 时，猜想成立设当 n=k 时（kN+）时，猜想成立，即 ，则当 n=k+1 时，有 ，所以当 n=k+1 时猜想也成立综合，猜想对任何 nN+都成立20.是否存在常数 a、b，使等式 对于一切2)12(5321bnannN *都成立.导思：存在性问题先假设存在，然
18、后求出符合条件的量.本题求 a、b 两个量只需两个等式即可，而已知条件是对于一切 nN *都成立，即有无数个等式,只需取两特定 n 值即可求出.求出得到的 a、b 对于一切 nN *是否成立，需用数学归13纳法证明.像这种存在性问题可由特殊求出 a、b，即不完全归纳法得出结论，再用数学归纳法加以证明对所有的 nN *都成立.探究：假设存在 a、b 使得等式对一切 nN *都成立,则当 n=1,n=2 时成立,即 ,4124153ba即有 .)(25312nn对 nN *是否成立,下面用数学归纳法给出证明:(1)当 n=1 时，左边= ,右边= ,等式成立.3123124(2)假设当 n=k 时等式成立，即 ,则当 n=k+1 时,24)(522 kk .2)1(464)2(1)32(13)( )3(1)(1(25312222 右 边kkkkkk当 n=k+1 时等式成立.根据(1)(2)可知等式对任何 nN *都成立.
