1、1第 29 讲 圆的基本性质1. (2012，河北 )如图， CD 是 O 的直径， AB 是弦(不是直径)， AB CD 于点 E，则下列结论正确的是(D)第 1 题图A. AEBE B. 弧 AD弧 BC C. D AEC D. ADE CBE12【解析】 CD 是 O 的直径， AB 是弦(不是直径)， AB CD 于点 E， AE BE，弧 AC弧 BC.A，B 两选项错误 AEC 不是圆心角， D AEC. C 选项错12误 AED CEB90， DAE BCE， ADE CBE.D 选项正确2. (2015，河北)如图， AC， BE 是 O 的直径，弦 AD 与 BE 相交于点
2、F.下列三角形中，外心不是点 O 的是(B)第 2 题图A. ABE B. ACF C. ABD D. ADE【解析】 只有 ACF 的三个顶点不都在 O 上，故外心不是点 O 的是 ACF.3. (2016，河北)如图所示的为 44 的网格图， A， B， C， D， O 均在格点上，点 O 是(B)第 3 题图A. ACD 的外心 B. ABC 的外心 C. ACD 的内心 D. ABC 的内心【解析】 由网格图，知点 O 是边 AC， BC 的垂直平分线的交点根据三角形外心的定义，知点 O 是 ABC 的外心圆的有关概念例 1 下列语句正确的是(D)A. 长度相等的两条弧是等弧 B. 平
3、分弦的直径垂直于弦C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴【解析】 能完全重合的两条弧是等弧，所以 A 选项错误平分弦(不是直径)的直径垂2直于弦，所以 B 选项错误在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以 C 选项错误经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，所以 D 选项正确.针对训练 1 如图，半圆 O 是一个量角器， AOB 为一纸片， AB 交半圆于点 D， OB 交半圆于点 C.若点 C， D， A 在量角器上对应的读数分别为 45，70，160，则 B 的度数为(A)训练 1 题图A. 20 B. 30 C. 45 D. 60【解析】 如答图，连接
4、 OD，则 DOC704525， AOD1607090. OD OA， ADO A45. ADO B DOB， B452520.训练 1 答图针对训练 2 如图，点 P 在线段 AB 上， PA PB PC PD.当 BPC60时， BDC 的度数为(B)训练 2 题图A. 15 B. 30 C. 25 D. 60【解析】 PA PB PC PD，点 A， B， C， D 在以点 P 为圆心， PB 的长为半径的圆上 BDC BPC 6030.12 12确定圆的条件例 2 (2010，河北)如图，在 55 的正方形网格中，一条圆弧经过 A， B， C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是(B)例
5、2 题图A. 点 P B. 点 Q C. 点 R D. 点 M【解析】 如答图，连接 BC，作 AB 和 BC 的垂直平分线，它们相交于点 Q，则点 Q 即为圆心3例 2 答图针对训练 3 在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是(1，0)，点 B 的坐标是(3，0)，在 y轴的正半轴上取一点 C，使 A， B， C 三点确定一个圆，且使 AB 为圆的直径，则点 C 的坐标是(A)A. (0， ) B. ( ，0) C. (0，2) D. (2，0)3 3【解析】 如答图，连接 AC， CB.根据题意可证得 AOC COB， ，即OCOA OBOCOC2 OAOB. OC2133.解得 OC .故
6、点 C 的坐标为(0， ).3 3训练 3 答图针对训练 4 如图，在矩形 ABCD 中， E 为 AB 的中点，有一圆过 C， D， E 三点，且此圆分别与 AD， BC 相交于 P， Q 两点甲、乙两人想找到此圆的圆心 O，其作法如下：甲：连接 DE， EC，作 DEC 的平分线 EM，作 DE 的垂直平分线，交 EM 于点 O，则点 O 即为所求乙：连接 PC， QD，两线段交于一点 O，则点 O 即为所求对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是(A)训练 4 题图A. 两人皆正确 B. 两人皆错误C. 甲正确，乙错误 D. 甲错误，乙正确【解析】 对于甲，易知 ED EC， DEC 为等
7、腰三角形进而易知 EM 为 CD 的垂直平分线点 O 为两垂直平分线的交点，即点 O 为 CDE 的外心点 O 为此圆的圆心对于乙， ADC90， DCB90， PC， QD 为此圆的直径 PC 与 QD 的交点 O 为此圆的圆心因此甲、乙两人皆正确.圆的基本性质例 3 (2018，石家庄裕华区模拟)如图，在半径为 5 的 O 中，弦 AB6， C 是优弧 AB 上一点(不与点 A， B 重合)，则 cos C 的值为(D)4例 3 题图A. B. C. D. 43 34 35 45【解析】 如答图，作直径 AD，连接 BD. AD 为直径， ABD90.在 Rt ABD 中， AD10， A
8、B6， BD 8.cos D . C D，cos C .102 62BDAD 810 45 45例 3 答图针对训练 5 (2018，石家庄模拟)如图，在半径为 5 的 A 中，弦 BC， ED 所对的圆心角分别是 BAC， EAD.若 DE6， BAC EAD180，则弦 BC 的长是(A)训练 5 题图A. 8 B. 10 C. 11 D. 12【解析】 如答图，作直径 CF，连接 BF，则 FBC90. BAC EAD180， BAC BAF180， DAE BAF.弧 DE弧 BF. BF DE6. BC 8.CF2 BF2训练 5 答图针对训练 6 (2018，通辽)已知 O 的半径
9、为 10，圆心 O 到弦 AB 的距离为 5，则弦 AB 所对的圆周角的度数为(D)A. 30 B. 60 C. 30或 150 D. 60或 120【解析】 如答图在 Rt OAD 中， OA10， OD5，cos AOD . AOD60.同理可得 BOD60.ODAO 12 AOB AOD BOD6060120.弦 AB 所对的圆周角的度数是 60或 120.训练 6 答图垂径定理例 4 (2018，安顺，导学号 5892921)已知 O 的直径 CD10 cm， AB 是 O 的弦，AB CD，垂足为 M，且 AB8 cm，则 AC 的长为(C)A. 2 cm B. 4 cm C. 2
10、cm 或 4 cm D. 2 cm 或 4 cm5 5 5 5 3 35【解析】 如答图，连接 AC， AO. O 的直径 CD10 cm， AB CD， AB8 cm， AM AB 84(cm)， OD OC5 cm.当点 C 的位置如答图所示时， OA5 12 12cm， AM4 cm， CD AB， OM 3(cm) CM OC OM538(cm)OA2 AM2 52 42 AC 4 (cm)当点 C 的位置如答图所示时，同理可得 OM3 AM2 CM2 42 82 5cm. OC5 cm， MC532(cm)在 Rt AMC 中， AC AM2 MC2 42 222 (cm)综上所述，
11、 AC 的长为 2 cm 或 4 cm.5 5 5例 4 答图针对训练 7 (2018，张家界)如图， AB 是 O 的直径，弦 CD AB 于点 E， OC5 cm， CD8 cm，则 AE 的长为(A)训练 7 题图A. 8 cm B. 5 cm C. 3 cm D. 2 cm【解析】 CD AB， CD8 cm， CE CD4 cm.在 Rt OCE 中， OC5 cm， CE4 12cm， OE 3 cm. AE AO OE538(cm)OC2 CE2一、 选择题1. (2018，聊城)如图，在 O 中，弦 BC 与半径 OA 相交于点 D，连接 AB， OC. 若 A60， ADC8
12、5，则 C 的度数是(D)第 1 题图A. 25 B. 27.5 C. 30 D. 35【解析】 A60， ADC85， B856025， CDO95. AOC2 B50. C180955035.2. (2018，威海)如图， O 的半径为 5， AB 为弦， C 为弧 AB 的中点若 ABC30，则弦 AB 的长为(D)6第 2 题图A. B. 5 C. D. 512 532 3【解析】 如答图，连接 OA， OC， OC 与 AB 相交于点 E. ABC30， AOC60.由 AB 为弦， C 为弧 AB 的中点，易知 OC AB， AE BE.在 Rt OAE 中， AE OAsin A
13、OC5 ， AB2 AE5 .32 532 3第 2 题答图3. (2018，白银 )如图， A 过点 O(0，0)， C( ，0)， D(0，1)， B 是 x 轴下方 A 上的3一点，连接 BO， BD，则 OBD 的度数是(B)第 3 题图A. 15 B. 30 C. 45 D. 60【解析】 如答图，连接 DC. C( ，0)， D(0，1)， DOC90，3OD1， OC . DCO30. OBD DCO30.3第 3 题答图4. (2018，南充)如图， BC 是 O 的直径， A 是 O 上的一点， OAC32，则 B 的度数是(A)第 4 题图A. 58 B. 60 C. 64
14、 D. 68【解析】 OA OC， C OAC32. BC 是直径， CAB90. B903258.5. (2018，贵港)如图，点 A， B， C 均在 O 上若 A66，则 OCB 的度数是(A)第 5 题图7A. 24 B. 28 C. 33 D. 48【解析】 A66， COB132. CO BO， OCB OBC (18012132)24.6. (2018，盐城)如图， AB 为 O 的直径， CD 是 O 的弦， ADC35，则 CAB 的度数为(C)第 6 题图A. 35 B. 45 C. 55 D. 65【解析】 由圆周角定理，得 ABC ADC35. AB 为 O 的直径，
15、ACB90. CAB90 ABC55.7. (2018，苏州)如图， AB 是半圆的直径， O 为圆心， C 是半圆上的点， D 是弧 AC 上的点若 BOC40，则 D 的度数为(B)第 7 题图A. 100 B. 110 C. 120 D. 130【解析】 BOC40， AOC18040140. D (360140)12110.8. (2018，青岛)如图，点 A， B， C， D 在 O 上， AOC140， B 是弧 AC 的中点，则 D 的度数是(D)第 8 题图A. 70 B. 55 C. 35.5 D. 35【解析】 如答图，连接 OB. B 是弧 AC 的中点， AOB AOC
16、70.由圆周角定12理，得 D AOB35.128第 8 题答图9. (2018，滨州)已知半径为 5 的 O 是 ABC 的外接圆若 ABC25，则劣弧 AC 的长为(C)A. B. C. D. 2536 12536 2518 536【解析】 如答图，连接 AO， CO. ABC25， AOC50.劣弧 AC 的长为 .50 5180 2518第 9 题答图10. (2018，衢州)如图， AC 是 O 的直径，弦 BD AO 于点 E，连接 BC，过点 O 作OF BC 于点 F.若 BD8 cm， AE2 cm，则 OF 的长是(D)第 10 题图A. 3 cm B. cm C. 2.5
17、 cm D. cm6 5【解析】 如答图，连接 OB. AC 是 O 的直径，弦BD AO， BD8， BE DE4. AE2，在 Rt OEB 中， OE2 BE2 OB2，即OE24 2( OE2) 2.解得 OE3. OB325. EC538.在 Rt EBC 中， BC 4 . OF BC， OFC CEB 90. C C， OFCBE2 EC2 42 82 5BEC. ，即 .解得 OF .所以 OF 的长是 cm.OFBE OCBC OF4 545 5 5第 10 题答图二、 填空题11. (2018，广东)在同圆中，已知弧 AB 所对的圆心角是 100，则弧 AB 所对的圆周角是
18、 50.【解析】 由圆周角定理，得弧 AB 所对的圆周角为 50.12. (2018，大连模拟)如图，截面为圆形的油槽内放入一些油若圆的直径为 150 cm，油的深度 DC 为 30 cm，则油面宽度 AB 是 120 cm.9第 12 题图【解析】 OC AB， AD BD AB. OC OB 15075(cm)，12 12 OD OC CD753045(cm)在 Rt OBD 中， BD 60(cm)，OB2 OD2 752 452 AB2 BD120 cm.13. (2018，烟台)如图，方格纸上每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，点O， A， B， C 在格点(两条网格线的交点叫格
19、点)上，以点 O 为原点建立直角坐标系，则过A， B， C 三点的圆的圆心坐标为 (1，2) 第 13 题图【解析】 如答图，连接 AB， CB，作 AB， CB 的垂直平分线，相交于点 D.所以点 D 是过A， B， C 三点的圆的圆心所以点 D 的坐标为(1，2)第 13 题答图14. (2018，嘉兴)如图，量角器的 0 度刻度线为 AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点 C，直尺另一边交量角器于点 A， D，量得 AD10 cm，点 D 在量角器上的读数为 60，则该直尺的宽度为（ ） cm.533第 14 题图【解析】 如答图，连接 OC， OD， OC 与
20、AD 相交于点 E.直尺一边与量角器相切于点C， OC AD. AD10， DOB60， DAO30. OE ， OA . CE OC OE OA OE .即该直尺的宽度是 cm.533 1033 533 53310第 14 题答图三、 解答题15. (2018，枣庄)如图，在 Rt ACB 中， C90， AC3 cm， BC4 cm，以 BC 为直径作 O 交 AB 于点 D.(1)求线段 AD 的长；(2)E 是线段 AC 上的一点，当点 E 在什么位置时，直线 ED 与 O 相切？请说明理由第 15 题图【思路分析】 (1)由勾股定理易求得 AB 的长可连接 CD，知 CD AB，易知
21、 RtADCRt ACB，可得关于 AC， AD， AB 的比例关系式，即可求出 AD 的长(2)当 ED 与 O 相切时，由切线长定理知 EC ED，则 ECD EDC.连接 OD，证 OD DE 即可解：(1)如答图，连接 CD.在 Rt ACB 中， AC3 cm， BC4 cm， ACB90， AB5 cm. BC 为直径， ADC BDC90. A A， ADC ACB，Rt ADCRt ACB. .ACAB ADAC AD (cm)AC2AB 325 95(2)当 E 是 AC 的中点时，直线 ED 与 O 相切理由：如答图，连接 OD. DE 是 Rt ADC 的中线， ED E
22、C. EDC ECD. OC OD， ODC OCD. EDO EDC ODC ECD OCD ACB90. ED OD.直线 ED 与 O 相切11第 15 题答图16. (2018，宜昌，导学号 5892921)如图，在 ABC 中， AB AC，以 AB 为直径的半圆交AC 于点 D，交 BC 于点 E，延长 AE 至点 F，使 EF AE，连接 FB， FC.(1)求证：四边形 ABFC 是菱形；(2)若 AD7， BE2，求半圆形和菱形 ABFC 的面积第 16 题图【思路分析】 (1)根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，证明四边形 ABFC 是平行四边形，再根据邻边相等的平行四
23、边形是菱形即可证明(2)连接 BD.利用勾股定理构建方程即可解决问题(1)证明： AB 是直径， AEB90. AE BC. AB AC， BE CE. AE EF，四边形 ABFC 是平行四边形 AC AB，四边形 ABFC 是菱形(2)解：如答图，连接 BD. AB 是直径， ADB BDC90. AB2 AD2 CB2 CD2.(7 CD)27 2(22) 2 CD2.解得 CD1. AB AC AD CD718. BD .82 72 15 S 半圆形 4 28，12S 菱形 ABFC ACBD8 .15第 16 题答图1. (2018，襄阳)如图，点 A， B， C， D 都在半径为
24、2 的 O 上若 OA BC， CDA1230，则弦 BC 的长为(D)第 1 题图A. 4 B. 2 C. D. 22 3 3【解析】 如答图 OA BC， CH BH，弧 AB弧 AC. AOB2 CDA60. BH OBsin AOB . BC2 BH2 .3 3第 1 题答图2. (2018，杭州)如图， AB 是 O 的直径， C 是半径 OA 的中点，过点 C 作 DE AB，交 O 于 D， E 两点，过点 D 作直径 DF，连接 AF，则 DFA 30.第 2 题图【解析】 C 是半径 OA 的中点， OC OD. DE AB， CDO30. DOA60.12 DFA30.3.
25、 (2018，温州，导学号 5892921)如图， D 是 ABC 的边 BC 上一点，连接 AD，作 ABD的外接圆，将 ADC 沿直线 AD 折叠，点 C 的对应点 E 落在弧 BD 上(1)求证： AE AB；(2)若 CAB90，cos ADB ， BE2，求 BC 的长13第 3 题图【思路分析】 (1)由折叠得出 AED ACD， AE AC，结合 ABD AED 知 ABD ACD，从而得出 AB AC，据此得证(2)过点 A 作 AH BE 于点 H，由 AB AE 且BE2 知 BH EH1.根据 ABE AEB ADB 知 cos ABEcos ADB ，据此得BHAB 13AC AB3，利用勾股定理可得答案(1)证明：由折叠的性质，知 ADE ADC. AED ACD， AE AC. ABD AED， ABD ACD.13 AB AC. AE AB.(2)解：如答图，过点 A 作 AH BE 于点 H. AB AE， BE2， BH EH1. ABE AEB ADB，cos ABEcos ADB .13 .BHAB 13 AB3. CAB90， AC AB3， BC3 .2第 3 题答图
