1、1第七章 图形的变化“将军饮马”问题的拓展与妙用唐朝诗人李颀的诗古从军行开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,诗中不仅描述了作者紧张的从军生活和悲壮的边塞军营景象,同时也隐含着一个经典有趣的数学问题 “将军饮马”问题.诗中将军的行程,可以抽象为:如图(1)所示,在观望烽火之后从山脚下的 A 点出发,走到河边点 P 处饮马后再回到 B 点宿营.请问怎样走才能使总的路程最短?确定最近行程的饮马点 P,可以通过轴对称变换的思想解决.图(1) 图(2)如图(2),作点 A 关于直线 l 的对称点 A1,连接 A1B,交直线 l 于点 P,那么点 P 就是所求的点.一、问题的变式“将军饮马”从
2、条件上看属于同侧两定点,一条定直线类型,所求的点在定直线上.1.条件由同侧两定点,一条定直线变为异侧两定点,一条定直线如图(3),点 A,B 是直线 l 异侧的两定点.问题:在直线 l 上确定一点 P,使|PA-PB|最大.方法:作点 A 关于直线 l 的对称点 A,连接 BA并延长交直线 l 于点 P,则此时|PA-PB|最大.图(3) 图(4)2.结论由求一点变为求一线如图(4),点 A,B 是直线 l 同侧的两定点,线段 PQ 在直线 l 上移动.问题:确定 PQ 的位置,使PA+PQ+QB 的值最小.方法:将点 B 沿平行于直线 l 的方向平移到点 B,使 BB=PQ,再作点 A 关于
3、直线 l 的对称点 A,连接 AB,交直线 l 于点 P,则此时 PA+PQ+QB 的值最小.3.变条件,变结论(1)条件由同侧两定点,一条定直线变为一定点两条定直线,结论由求一点变为求两点.如图(5),点 A 是两相交直线 a,b 内的一定点,点 P,Q 分别是直线 a,b 上两动点.问题:确定 P,Q 的位置,使 PA+PQ+QA 的值最小.方法:分别作点 A 关于直线 a,b 的对称点 A,A,连接 AA,分别交直线 a,b 于点 P,Q,则PA+PQ+QA=AA,此时值最小.图(5) 图(6)条件由同侧两定点一直线变为两定点两直线,结论由求一点变为求两点.如图(6),点 A,B 是两相
4、交直线 a,b 内两定点,点 P,Q 分别是直线 a,b 上两动点.问题:确定 P,Q 的位置,使 PA+PQ+QB 的值最小.2方法:作点 A 关于直线 a 的对称点 A,作点 B 关于直线 b 的对称点 B,连接 AB,分别交直线 a,b 于点 P,Q,则 PA+PQ+QB=AB,此时值最小.二、模型的应用1.如图(7),在正方形 ABCD 中,E 是 AB 上一点,BE=2,AE=3BE,P 是 AC 上一动点,则 PB+PE 的最小值是 . 图(7) 图(8)解析:识别模型,此问题为“将军饮马”问题.由正方形的性质,得出点 B,D 关于直线 AC 对称.如图(8),连接 DE,交 AC
5、 于点 P,再连接 BP.根据两点之间线段最短,可知此时 PB+PE 的值最小.进而利用勾股定理求解即可.2.如图(9),在四边形 ABCD 中,BAD=120,B=D=90,在 BC,CD 上分别有一点 M,N,使AMN 的周长最小,此时AMN+ANM 的度数为( )A.130 B.120 C.110 D.100图(9) 图(10)解析:观察图形,容易看出,求AMN 的周长最小问题是“一定点(A)两定直线(BC,CD)”模型,其构图方略是:如图(10),作点 A 关于直线 BC 的对称点 A和关于直线 CD 的对称点 A,连接AA,分别交 BC,CD 于点 M,N,此时AMN 的周长最小,据
6、此求解即可.3.如图(11),在平面直角坐标系中,抛物线 y=- x2- x 经过点 A,B(1,- ),O(点 O 为原点).33 233 3图(11)在该抛物线的对称轴上是否存在点 C,使BOC 的周长最小?若存在,求出点 C 的坐标;若不存在,请说明理由.解析:识别模型,该问题是“将军饮马”问题.易知 OB=2,要使BOC 的周长最小,必须使BC+CO 的值最小.因为点 O 与点 A 关于抛物线的对称轴对称,所以 CO=CA,所以当 A,C,B 三点共线,即点 C 为直线 AB 与抛物线对称轴的交点时,BC+CO 的值最小,此时BOC 的周长最小,据此求解即可.三、结论的推广推广 1:在
7、平面直角坐标系中的四边形周长最小如图(12),在平面直角坐标系中有四点 A(-8,3),B(-4,5),C(0,n),D(m,0).求当四边形ABCD 的周长最小时 m,n 的值.3图(12) 图(13)解析:如图(13),作点 B 关于 y 轴的对称点 B(4,5),作点 A 关于 x 轴的对称点 A(-8,-3),连接 AB,分别交 x 轴,y 轴于点 D 和点 C,此时 BC+CD+DA 的值最小.即四边形 ABCD 的周长最小,据此求解即可.推广 2:求代数式的最小值已知实数 x,求代数式 + 的最小值.2+1 (5-)2+9图(14)解析:构造图(14),其中点 A 到直线 l 的距离 AG 为 1,点 B 到直线 l 的距离 BH 为 3,且GH=5,点 P 在线段 GH 上运动,设 GP=x,则 PH=5-x.在 RtAGP,RtBHP 中,根据勾股定理,得AP= ,BP= ,则 AP+BP= + ,要使 AP+BP 的值最小,利用“将军2+1 (5-)2+9 2+1 (5-)2+9饮马”问题解决即可.作点 A 关于直线 l 的对称点 A,连接 AB 交直线 l 于点 P,此时线段AB 的长度就是 + 的最小值,据此求解即可 .2+1 (5-)2+9
