1、1单元测试(六)范围:圆 限时:45 分钟 满分:100 分一、选择题(每题 5 分,共 35 分)1.若正三角形的外接圆半径为 ,则这个正三角形的边长是 ( )3A.2 B.3C.4 D.52.如图 D6-1, O 的直径 AB=6,若 BAC=50,则劣弧 AC 的长为 ( )图 D6-1A.2 B.83C. D.34 433.如图 D6-2,AB 是 O 的直径, C 是 O 上的点,过点 C 作 O 的切线交 AB 的延长线于点 E,若 A=30,则 sinE 的值为( )2图 D6-2A. B.12 22C. D.32 334.如图 D6-3,AB 是圆锥的母线, BC 为底面直径,
2、已知 BC=6 cm,圆锥的侧面积为 15 cm 2,则 sin ABC 的值为 ( )图 D6-3A. B. C. D.34 35 45 535.2018重庆 A 卷 如图 D6-4,已知 AB 是 O 的直径,点 P 在 BA 的延长线上, PD 与 O 相切于点 D,过点 B 作 PD 的垂线交 PD 的延长线于点 C.若 O 的半径为 4,BC=6,则 PA 的长为 ( )图 D6-4A.4 B.2 C.3 D.2.536.如图 D6-5,已知圆内接正三角形的面积为 ,则该圆的内接正六边形的边心距是 ( )3图 D6-53A.2 B.1 C. D.3327.将一盛有不足半杯水的圆柱形玻
3、璃水杯拧紧杯盖后放倒,水平放置在桌面上,水杯的底面如图 D6-6 所示,已知水杯内径(图中小圆的直径)是 8 cm,水的最大深度是 2 cm,则杯底有水部分的面积是 ( )图 D6-6A.( -4 ) cm2 B.( -8 ) cm2163 3 163 3C.( -4 ) cm2 D.( -2 ) cm283 3 43 3二、填空题(每题 5 分,共 30 分)8.如图 D6-7,四边形 ABCD 内接于 O,E 为 BC 延长线上一点,若 A=n,则 DCE= . 图 D6-79.一圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 120的扇形,若该圆锥的底面圆的半径为 4 cm,则圆锥的母线长为 . 10.
4、如图 D6-8, O 是 ABC 的外接圆, A=45,BC=4,则 O 的直径为 . 图 D6-811.如图 D6-9,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标是(20,0),点 B 的坐标是(16,0),点 C,D 在以 OA 为直径的半圆 M 上,且4四边形 OCDB 是平行四边形,则点 C 的坐标为 . 图 D6-912.已知 ABC 的三边 a,b,c 满足 a+b2+|c-6|+28=4 +10b,则 ABC 的外接圆半径 = . -113.如图 D6-10,在扇形 AOB 中, AOB=90,正方形 CDEF 的顶点 C 是 的中点,点 D 在 OB 上,点 E 在 OB 的延长线上,
5、当正方形 CDEF 的边长为 2 时,阴影部分的面积为 . 2图 D6-10三、解答题(共 35 分)14.(11 分)在一次数学活动课中,某数学小组探究求环形花坛(如图 D6-12所示)面积的方法 .现有以下工具:卷尺;直棒 EF;T 型尺( CD 所在的直线垂直平分线段 AB).(1)在图 D6-12 中,请你画出用 T 型尺找大圆圆心的示意图(保留画图痕迹,不写画法);(2)如图 D6-11,小华说:“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积,具体做法如下:将直棒放置到与小圆相切,用卷尺量出此时直棒与大圆两交点 M,N 之间的距离,就可求出环形花坛的面积 .”如果测得 MN=10
6、 cm,请你求出这个环形花坛的面积 .图 D6-115图 D6-1215.(12 分)如图 D6-13,在 Rt ABC 中, C=90,BE 平分 ABC 交 AC 于点 E,作 ED EB 交 AB 于点 D, O 是 BED 的外接圆 .(1)求证: AC 是 O 的切线;(2)已知 O 的半径为 2.5,BE=4,求 BC,AD 的长 .图 D6-13616.(12 分)如图 D6-14,在四边形 ABCD 中, B=60, D=30,AB=BC.(1)求 A+ C 的度数;(2)连结 BD,探究 AD,BD,CD 三者之间的数量关系,并说明理由;(3)若 AB=1,点 E 在四边形
7、ABCD 内部运动,且满足 AE2=BE2+CE2,求点 E 运动路径的长度 .图 D6-1478参考答案1.B2.D 解析 连结 OC, BAC=50, AOC=80, = = ,故选 D.803180 433.A 解析 连结 OC, CE 是 O 的切线, OC CE. A=30, BOC=2 A=60, E=90- BOC=30,sin E=sin30= .12故选 A.4.C 解析 圆锥侧面积为 15,则母线长 L=215 6 =5,利用勾股定理可得 OA=4,故 sin ABC= .455.A 解析 如图,连结 OD.9 PC 切 O 于点 D, OD PC. O 的半径为 4, P
8、O=PA+4,PB=PA+8. OD PC,BC PD, OD BC, POD PBC, = ,即 = ,解得 PA=4. 46+4+8故选 A.6.B 解析 如图,设 ABC 的边长为 a,则 S ABC= a2,34 a2= ,34 3解得 a=2 或 a=-2(舍), BC=2. BAC=60,BO=CO, BOC=120,则 BCO=30. OH BC, BH= BC=1,12在 Rt BOH 中, BO=BHcos30= ,233圆的半径 r= .233如图,正六边形内接于圆 O,且半径为 ,可知 EOF=60,OF= .233 23310在 EOF 中, OE=OF,OD EF,
9、FOD=30.在 Rt DOF 中, OD=OFcos30= =1,233 32边心距为 1.7.A 解析 连结 OA,OB,作 OD AB 于 C,交 O 于点 D,则 CD=2,AC=BC, OA=OD=4,CD=2, OC=2,在 Rt AOC 中,sin OAC= = ,12 OAC=30, AOB=120,AC= =2 ,2-2 3 AB=4 ,3杯底有水部分的面积 =S 扇形 AOB-S AOB= - 4 2= -4 (cm2).1204236012 3 163 3故选 A.8.n 解析 圆内接四边形的对角互补,所以 BCD=180- A,而 B,C,E 三点在一条直线上,则 DC
10、E=180- BCD,所以 DCE= A=n.9.12 cm 解析 设母线长为 R,由“圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长”得, =2 4,120180解得 R=12,即圆锥的母线长为 12 cm.1110.4 解析 解法一:如图,过点 B 作直径 BD,连结 DC,则 BCD=90.2 A=45, D=45, BDC 是等腰直角三角形 . BC=4,根据勾股定理得直径 BD=4 .2解法二:如图,连结 OB,OC. A=45, O=90, OBC 是等腰直角三角形 . BC=4,根据勾股定理得半径 OB=2 ,2 O 的直径为 4 .211.(2,6) 解析 过点 M 作 MN
11、 CD,垂足为点 N,连结 CM,过点 C 作 CE OA,垂足为点 E,因为点 A 的坐标是(20,0),所以 CM=OM=10.12因为点 B 的坐标是(16,0),所以 CD=OB=16.由垂径定理可知, CN= CD=8,12在 Rt CMN 中, CM=10,CN=8,由勾股定理可知 MN=6,所以 CE=MN=6,OE=OM-EM=10-8=2,所以点 C 的坐标为(2,6) .12. 解析 原式整理得: b2-10b+25+a-1-4 +4+|c-6|=0,258 -1(b-5)2+( )2-4 +4+|c-6|=0,-1 -1(b-5)2+( -2)2+|c-6|=0.-1(
12、b-5)20,( -2)20, |c-6|0,-1 b=5,c=6,a=5, ABC 为等腰三角形 .如图所示,作 CD AB,设 O 为外接圆的圆心,则 OA=OC=R. AC=BC=5,AB=6, AD=BD=3, CD= =4,2-2 OD=CD-OC=4-R,在 Rt AOD 中, R2=32+(4-R)2,解得 R= .2581313.2 -4 解析 连结 OC,在扇形 AOB 中, AOB=90,正方形 CDEF 的顶点 C 是 的中点, COD=45, OC= =4,(22)2+(22)2阴影部分的面积 =扇形 BOC 的面积 -三角形 ODC 的面积,即 S 阴影 = 42-
13、(2 )2=2 -4.45360 12 214.解:(1)如图,点 O 即为所求 .(2)如图,设切点为 C,连结 OM,OC. MN 是切线, OC MN, CM=CN=5, OM2-OC2=CM2=25, S 圆环 = OM2- OC2=25 .这个环形花坛的面积是 25 cm 2.15.解析 (1)连结 OE,利用圆的半径相等得到 OEB= OBE,利用 BE 平分 ABC 交 AC 于点 E 得到 CBE= OBE,进而得到 OEB= CBE,最后利用 OE BC 得到 OEA=90,从而得到 AC 是 O 的切线;(2)由(1)知 CBE= OBE,可以证明 BCE BED,利用相似
14、三角形的对应边成比例可以得到 BC 的长,再由 OE BC 得到 AOE ABC,利用相似三角形的对应边成比例可以得到 AD 的长 .解:(1)证明:如图所示,连结 OE,14 OE=OB, OEB= OBE. BE 平分 ABC 交 AC 于点 E, CBE= OBE, OEB= CBE, OE BC, OEA= C=90, OE AC, AC 是 O 的切线 .(2) ED EB, C=90, BED= C=90,由(1)知 CBE= OBE, BCE BED, = . O 的半径为 2.5,BE=4, = , BC= .4 422.5 165 OE BC, AOE ABC, = , OE
15、=2.5,BC= ,AO=AD+OD=AD+2.5,AB=AD+BD=AD+5,16515 = , AD= .2.5165 +2.5+5 45716.解析 (1)根据四边形内角和为 360,结合已知条件即可求出答案;(2)将 BCD 绕点 B 逆时针旋转 60,得到BAD,连结 DD(如图),由旋转的性质和等边三角形的判定得 BDD是等边三角形,由旋转的性质根据角的计算可得DAD是直角三角形,根据勾股定理得 AD2+AD2=DD2,即 AD2+CD2=BD2;(3)将 BCE 绕点 B 逆时针旋转 60,得到 BAE,连结 EE(如图),由等边三角形的判定得 BEE是等边三角形,结合已知条件和
16、等边三角形的性质可得 AE2=EE2+AE2,即 AEE=90,从而得出 BEA= BEC=150,从而得出点 E 是在以 O 为圆心, OB 为半径的圆周上运动,运动轨迹为 ,根据弧长公式即可得出答案 .解:(1)在四边形 ABCD 中, B=60, D=30, A+ C=360- B- D=270.(2)AD2+CD2=BD2.理由:如图,将 BCD 绕点 B 逆时针旋转 60,得 BAD,连结 DD. BD=BD,CD=AD, DBD=60, BAD= C, BDD是等边三角形, DD=BD.又 BAD+ C=270, BAD+ BAD=270, DAD=90. AD2+AD2=DD2,即 AD2+CD2=BD2.(3)如图,将 BEC 绕点 B 逆时针旋转 60得 BEA,连结 EE.16 BE=BE, EBE=60, BEC= BEA, BEE是等边三角形 . BEE=60,BE=EE. AE2=BE2+CE2,CE=AE, AE2=EE2+AE2. AEE=90. BEA=150. BEC=150.点 E 在以 BC 为弦,优弧 BC 所对的圆心角为 300的圆弧上 .以 BC 为边在 BC 下方作等边三角形 BCO,则 O 为圆心,半径 BO=1.点 E 的运动路径为 , 的长 = = . 6011803
