1、- 1 -湖南省 2017 届高三十三校联考第一次考试理科数学试卷第卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】集合 ，,所以 ，故选 D.2. 记复数的共轭复数为，若 （为虚数单位） ，则复数的模 （ ）A. B. 1 C. D. 2【答案】A【解析】由 ，得 ， ，故选A. 3. 在等差数列 中， ，则数列 的前 11 项和 （ ）A. 24 B. 48 C. 66 D. 132【答案】C【解析】试题分析：设等差数列 公差为，则 ，所以有，整理得
2、， ，故选 C考点：等差数列的定义与性质4. 已知 表示不超过实数的最大整数， 为取整函数， 是函数 的零点，则 等于（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B- 2 -【解析】 ，故 ，故选 B.5. 甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得 2 分，未击中目标得 0 分.若甲、乙两人射击的命中率分别为和，且甲、乙两人各射击一次得分之和为 2 的概率为.假设甲、乙两人射击互不影响，则值为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设：“甲射击一次，击中目标”为事件， “乙射击一次，击中目标”为事件，则“甲射击一次，未击中目标”为事件， “乙射击一
3、次，击中目标”为事件 ，则，依题意得： ，解得 ，故选 C.6. 如下图，是一个算法流程图，当输入的 时，那么运行算法流程图输出的结果是（ ）A. 10 B. 20 C. 25 D. 35【答案】D【解析】当输入的 时， ；否，输出 ，故选 D.7. 二项式 展开式中， 项的系数为（ ）- 3 -A. B. C. D. 【答案】C【解析】二项式 展开式的通项为 ，令 ，系数为 ，故选 C.8. 设为抛物线 的焦点，过且倾斜角为 60的直线交曲线于 两点（点在第一象限，点在第四象限） ，为坐标原点，过作的准线的垂线，垂足为，则 与 的比为（ ）A. B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】
4、抛物线 的焦点 ，准线为 ，设 ，则 ，由 则 ，即有 .故选 C.9. 已知函数 的定义域为，且 ，又函数 的导函数 的图象如图所示，若两个正数 满足 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A- 4 -【解析】由导函数图象，可知函数在 上为单调增函数，正数 满足 ， 又因为 表示的是可行域中的点与 的连线的斜率。所以当 与 相连时斜率最大，为，当 与 相连时斜率最小为，的取值范围是 ，故选：A.10. 已知正 内接于半径为 2 的圆，点是圆上的一个动点，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】以三角形的外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系,设 .则 ，
5、故选 B.点睛：平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决列出方程组求解未知数.11. 三棱锥 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥 的外接球的表面积为 （ ）- 5 -A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图，取 中点，连接 ，则在 中 ，在 中，所以 ，设球心到平面 ABC 的距离为因为 平面 ABC,且底面 为正三角形,所以 .因为 的外接
6、圆的半径为 ,所以由勾股定理可得 ,所以三棱锥外接球的表面积是 ,故选 B.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.12. 设函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，且有 ，则不等式 的解集为（ ）A. B. C. D.
7、- 6 -【答案】A【解析】函数 是定义在 上的函数，所以有 ，不等式 可变形为： ，构造函数 ， ，所以 在 上单增，由，可得 ，故选 A.点睛：本题考查的是构造函数，利用条件构造 ，进而将不等式转化为，即 ，若函数 在区间上单调递增，则时，有 ，事实上，若 ,则 ，这与矛盾，类似地，若 在区间上单调递减，则当 时有；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上13. 函数 是奇函数，则 等于_【答案】【解析】因为函数 是奇函数，所以，有 .14. 已知边长为 2 的正方形 的四个顶点
8、在球的球面上，球的体积为 ，则与平面 所成的角的余弦值为_【答案】【解析】过作 平面 ，垂足为，则为正方形 的中心。- 7 -正方形 的边长为, ，,球的半径 .与平面 所成的角的余弦值为 .15. 双曲线 的左、右焦点分别为 是左支上一点，且，直线 与圆 相切，则的离心率为_【答案】【解析】设直线 与圆 相切于点，则 ，取 的中点,连接 ，由于 ,则 ，由 ，则 ，即有 ，由双曲线的定义可得 ，即 ，即 ，,即 ， ，即 ，则 .故答案为：.16. 已知函数 ，数列 中， ，则数列的前 100 项之和 _- 8 -【答案】10200【解析】因为 ，所以同理可得： ,的前 100 项之和 .故
9、答案为： .点睛：本题中由条件 ，由余弦函数的值可将分成四种情况，即将数列分成四个一组求和即可.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 设 的内角 的对边分别为 ，且满足.（1）试判断 的形状，并说明理由；（ 2）若 ，试求 面积的最大值.【答案】 （1） ；（ 2）.【解析】试题分析：（1）由 ，利用正、余弦定理，得，化简整理即可证明： 为直角三角形；（2）利用 ， ，根据基本不等式可得：，即可求出 面积的最大值.试题解析：解法 1：（1） ，由正、余弦定理，得，- 9 -化简整理得： ， ，所以 ，故 为直角三角形，且 ；（2） ， ，当且仅当 时，上式等号成立， .
10、故 ，即 面积的最大值为.解法 2（1）由已知： ，又 ， ，而 ， ， ，故 ， 为直角三角形 .（2）由（1） ， . ， ， ，令 ， ， ， .而 在 上单调递增， .18. 为了解某校今年高三毕业班报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前三组的频率之比为 1：2：3，其中第 2 组的频数为 12.- 10 -（1）求该校报考飞行员的总人数；（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设表示体重超过 60 公斤的学生人数，求的分布列和数学期望.【答案】 （1） ；（2）分布列见解
11、析，期望为.试题解析：（）设报考飞行员的人数为 ,前三小组的频率分别为 ,由条件可得:解得 ，又因为，故（）由（）可得：一个报考学生体重超过 60 公斤的概率为，所以 X 服从二项分布,随机变量 X 的分布列为：x 0 1 2 3p- 11 -则考点：频率分布直方图，二项分布及其数学期望【易错点晴】在频率分布直方图中各组的频率是各个小矩形的面积表示，不要误认为矩形的高就是频率，同时所有矩形的面积和为，这是求解各组频率的关键，频率的求解公式是，其中 是频数，是样本容量；二项分布中的概率公式是 ，公式中的 和 位置不能颠倒，否则求得的概率就是错的，最后求解数学期望是可直接用二项分布的期望公式 ，来
12、简化运算，提高解题速度和准确率19. 如图，三棱柱 中， ， ，平面 平面 ， 与 相交于点.（1）求证： 平面 ；（2）求二面角 的余弦值.【答案】 （1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）可利用推论“若两平面垂直，一个平面上的直线垂直于两平面交线，则直线垂直于另一个平面”证明线面垂直。（2）以 为原点，以 所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得二面角余弦值。试题解析：（1）证明：设 的中点为，连 . ，四边形 为菱形，且 为正三角形， .- 12 - ， .而 ， 平面 ， .四边形 为菱形，则有 ，又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ，又 ， 平面
13、 .（2）如图， ， ，以 为原点，以 所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， ， .从而，有 ， . .设面 的法向量为 ，则 ，又面 的法向量为 ，设二面角 的大小为，由图知为锐角，- 13 -则 .点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关” ，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关” ，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关” ，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20. 已知椭圆 上的点到右焦点的最小距离是 ，到上顶点的距离为 ，点 是线段 上的一个动点.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在过点且与轴不垂直的直线与椭圆交于 两点，使得 ？并
14、说明理由.【答案】 （1） ；（2）详见解析.【解析】试题分析：(1)根据题意可以知道 且 ,计算得出,由此可求出椭圆的方程.(2)假设存在满足题意的直线 l,设 l 的方程为 ,代入 ,得,设 ,再由根与系数的关系结合题设条件能够导出不存在这样的直线.试题解析：（1）由题意可知 ，且 ，解得 ，椭圆的方程为 .（2）由（1）得 ，所以 .假设存在满足题意的直线，设的方程为 ，代入 ，得 ，设 ，则 ， ， . ，且 的方向向量为 ，- 14 - ，当 时， ，即存在这样的直线；当 时，不存在，即不存在这样的直线.21. 已知函数 .（1）当 时，试求函数图像过点 的切线方程；（2）当 时，若
15、关于的方程 有唯一实数解，试求实数的取值范围；（3）若函数 有两个极值点 ，且不等式 恒成立，试求实数的取值范围.【答案】 （1） ；（2） 或 ；（3） .【解析】试题分析：对于（1） ，先利用导数求出切线的斜率，再写出点斜式方程；对于（2） ，方程 可化为： ，构造 ，通过研究 的单调性即可求出的范围.对于（3） ，首先根据 有两个极值点 ，利用导数求出的取值范围以及极值点；将恒成立转化为 恒成立，然后构建函数求出 的最小值即可.试题解析：（1）当 时，有 . ， ，过点 的切线方程为： ，即 .（2）当 时，有 ，其定义域为： ，从而方程 可化为： ，令 ，则 ，由 或 ； . 在 和
16、上单调递增，在 上单调递减，- 15 -且 ，又当 时， ；当 时， .关于的方程 有唯一实数解，实数的取值范围是： 或 .（3） 的定义域为： .令 .又函数 有两个极值点 ， 有两个不等实数根 ， ，且 ，从而 .由不等式 恒成立 恒成立， ，令 ， ，当 时恒成立，函数 在 上单调递减， ，故实数 的取值范围是： .点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.
17、请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系 中，过点 的直线的参数方程为 （为- 16 -参数） ，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于不同的两点 .（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若 ，求实数的值.【答案】 （1）直线的普通方程为 ，曲线的直角坐标方程为 ；（2）.【解析】试题分析：（1）依据参数方程、极坐标与普通方程的转化关系，可求出直线与曲线的普通方程。（2）设出 两点的参数 ，依据题意得出关于参数的方程，综合与的关系，可求出的值。试题解析：（1） （为参数） ，直线的普通方程为 . ， ，由 得曲线的直角坐标方程为 .（2） ， ，设直线上的点 对应的参数分别是 ，则 ， ， ， ，将 ，代入 ，得 ， ，又 ， .23. 选修 4-5：不等式选讲设函数 .- 17 -（1）若 ，解不等式 ；（2）若 有最小值，求实数的取值范围.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：(1)去掉绝对值,得到不等式计算得出即可,(2)把含所有绝对值的函数,化为分段函数,再根据函数 有最小值的充要条件,即可求得.试题解析：（1） 时， ，即 ，解得 ，所以解集为 .（2）因为 ，所以 有最小值的充要条件为 ，即 .
