1、1考点强化练 20 圆的有关概念及性质基础达标一、选择题1.(2018 广西贵港)如图,点 A,B,C 均在 O 上,若 A=66,则 OCB 的度数是( )A.24 B.28C.33 D.48答案 A解析 A=66, COB=132.CO=BO , OCB= OBC=(180-132)=24,故选 A.2.(2018 江苏盐城)如图, AB 为 O 的直径, CD 是 O 的弦, ADC=35,则 CAB 的度数为( )A.35 B.45C.55 D.652答案 C解析 由圆周角定理得, ABC= ADC=35,AB 为 O 的直径, ACB=90, CAB=90- ABC=55,故选 C.
2、3.(2018 湖北襄阳)如图,点 A,B,C,D 都在半径为 2 的 O 上,若 OA BC, CDA=30,则弦 BC 的长为( )A.4 B.2C. D.2答案 D解析 OA BC,CH=BH , AOB=2 CDA=60,BH=OB sin AOB=,BC= 2BH=2,故选 D.二、填空题34.如图, O 的直径 AB 过弦 CD 的中点 E,若 C=25,则 ADC= . 答案 65解析 C=25, A= C=25. O 的直径 AB 过弦 CD 的中点 E,AB CD, AED=90, D=90-25=65.5.(2018 江苏扬州)如图,已知 O 的半径为 2, ABC 内接于
3、 O, ACB=135,则 AB= . 答案 2解析 连接 AD,BD,OA,OB, O 的半径为 2, ABC 内接于 O, ACB=135, ADB=45, AOB=90,OA=OB= 2,AB= 2.三、解答题46.“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深 1 寸,锯道长一尺,问径几何?”这是九章算术中的问题,用现在的数学语言可以表述为:如图, CD 为 O 的直径,弦 AB CD 于点 E,CE=1 寸, AB=10 寸,求直径 CD 的长 .解 如图,连接 OA,根据垂径定理,得 AE=5 寸 .在 Rt AOE 中,设 OA=x 寸,则 OE=(x-1)寸,根据勾股定理有 52
4、+(x-1)2=x2,解得 x=13,所以直径CD=26 寸 .导学号 138140607.(2018 浙江湖州)如图,已知 AB 是 O 的直径, C,D 是 O 上的点, OC BD,交 AD 于点 E,连接 BC.(1)求证: AE=ED;(2)若 AB=10, CBD=36,求的长 .(1)证明 AB 是 O 的直径, ADB=90,OC BD, AEO= ADB=90,即 OC AD,AE=ED.5(2)解 OC AD, , ABC= CBD=36, AOC=2 ABC=236=72, 的长 =2 .能力提升一、选择题1.(2018 贵州安顺)已知 O 的直径 CD=10 cm,AB
5、 是 O 的弦, AB CD,垂足为 M,且 AB=8 cm,则 AC 的长为( )A.2 cm B.4 cmC.2 cm 或 4 cm D.2 cm 或 4 cm答案 C解析 连接 AC,AO, O 的直径 CD=10 cm,AB CD,AB=8 cm,AM=AB= 8=4 cm,OD=OC=5 cm,当 C 点位置如图 1 所示时,OA= 5cm,AM=4cm,CD AB,OM= 3cm,CM=OC+OM= 5+3=8cm,AC= 4 cm;当 C 点位置如图 2 所示时,同理可得 OM=3cm,OC= 5cm,MC= 5-3=2cm,在 Rt AMC 中, AC=2 cm.故选 C.62
6、.(2018 湖北咸宁)如图,已知 O 的半径为 5,弦 AB,CD 所对的圆心角分别是 AOB, COD,若 AOB 与 COD 互补,弦 CD=6,则弦 AB 的长为( )A.6 B.8C.5 D.5答案 B解析 如图,延长 AO 交 O 于点 E,连接 BE,则 AOB+ BOE=180,又 AOB+ COD=180, BOE= COD,BE=CD= 6,AE 为 O 的直径, ABE=90,AB= 8,故选 B.二、填空题3.(2018 湖北孝感)已知 O 的半径为 10 cm,AB,CD 是 O 的两条弦, AB CD,AB=16 cm,CD=12 cm,则弦 AB 和 CD 之间的
7、距离是 cm. 7答案 2 或 14解析 当弦 AB 和 CD 在圆心同侧时,如图 1,AB= 16 cm,CD=12 cm,AE= 8 cm,CF=6 cm,OA=OC= 10 cm,EO= 6 cm,OF=8 cm,EF=OF-OE= 2 cm. 当弦 AB 和 CD 在圆心异侧时,如图 2,AB= 16 cm,CD=12 cm,AF= 8 cm,CE=6 cm,OA=OC= 10 cm,OF= 6 cm,OE=8 cm,EF=OF+OE= 14 cm.AB 与 CD 之间的距离为 14 cm 或 2 cm.三、解答题4.如图,有一座拱桥是圆弧形的,它的跨度为 60 m,拱高 18 m,当
8、洪水泛滥到跨度只有 30 m 时,要采取紧急措施 .若拱顶离水面只有 4 m,即 PN=4 m 时是否要采取紧急措施?8解 不需要采取紧急措施 .如图,设弧的圆心为 O,由圆的对称性知点 P,N,O 共线,连接 OA,OA,PO,设PO 交 AB 于点 M,该圆的半径为 r,由题意得 PM=18,AM=30,则( r-18)2+302=r2,解得 r=34.当 PN=4 时, ON=30,所以 AN=16,则 AB=3230,故不需要采取紧急措施 .导学号 138140615.(2018 湖北宜昌)如图,在 ABC 中, AB=AC,以 AB 为直径的圆交 AC 于点 D,交 BC 于点 E,延长 AE 至点F,使 EF=AE,连接 FB,FC.(1)求证:四边形 ABFC 是菱形;(2)若 AD=7,BE=2,求半圆和菱形 ABFC 的面积 .(1)证明 AB 是直径, AEB=90,AE BC,AB=AC ,BE=CE ,AE=EF , 四边形 ABFC 是平行四边形,AC=AB , 四边形 ABFC 是菱形 .(2)解 设 CD=x.连接 BD.AB 是直径, ADB= BDC=90,AB 2-AD2=CB2-CD2,9 (7+x)2-72=42-x2,解得 x=1 或 x=-8(舍去)AC= 8,BD=,S 菱形 ABFC=8.S 半圆 =4 2=8 .
