1、- 1 -2018-2019 学年度第一学期期中考试高三理数1、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 抛物线 的焦点坐标是24yxA. (0,1) B.(1,0) C.(0,2) D.(0, )162. 已知圆 ，定点 ， 是圆 上的一动点，线段 的垂直2136Fxy、: 20F、A1F2FA平分线交半径 于 点，则 点的轨迹 的方程是APCA. B. C. D.2143xy2195xy2134xy2159xy3.将函数 y=3sin（2x+ ）的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点（ ，0）中心对 2称A. 向左平移 个单位 B
2、.向右平移 个单位 1212C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位664.函数 的图象是21exy、5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为- 2 -A. B. 3 C. D.6831036.已知 是双曲线 上不同的三点，且 连线经过坐标ABP、2(0,)xyabAB、原点，若直线 的斜率乘积 ，则该双曲线的离心 率为、 3PABkA. B. C. 2 D.3237.已知抛物线 上有一条长为 6 的动弦 AB，则 AB 的中点到 x 轴的最短距离为24xyA. B. C.1 D.2348. 如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为A. 8 B.4
3、C.4 D.4239.在等腰直角三角形 ABC 中，C=90， ，点 P 为三角形 ABC 所在平面上一动点，2CA且满足 =1，则 的取值范围是BP()ABA. B. C. -2,2 D.2,0,2,210.已知 是椭圆 的左、右焦点，点 M（2，3），则 的角平分线的12,F16xy12F斜率为A. 1 B. C. 2 D. 511.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为正三角形，底面 ABCD 为正方形，侧面 PAD底面ABCD，M 为底面 ABCD 内的一个动点，且满足 MP=MC，则点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为下图中的- 3 -12.已知球 O 与棱长为 4 的
4、正方体 的所有棱都相切，点 M 是球 O 上一点，1ABCD点 N 是 的外接圆上的一点，则线段 的取值范围是1ACBMNA. B. 62,62,C. D.33,22、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。13.已知 cos（ ）= ，则 sin（ ）= .13214.若等差数列 满足 ,则当 = 时， 的前 项和最na789710,anna大.15.如图 1，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=1，E 是 DC 的中点；如图 2，将DAE 沿 AE 折起，使折起后平面 DAE平面 ABCE，则异面直线 AE 和 DB 所成角的余弦值为 .16.已知函数 （0x ），若函数 的所有零点依
5、4sin(2)6fx、 9163Fxf、次记为 ，则 = .123123nnxx、 121nx 3、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. （本小题满分 10 分）设 为各项不相等的等差数列 的前 n 项和，已知 .nSa35739aS、(1)求数列 的通项公式；na- 4 -(2)设 为数列 的前 n 项和，求 .nT1nanT18. （本小题满分 12 分）在 中， ， 2 ， .ABC4AC5cos25(1)求 的值；sin(2)设 的中点为 ,求中线 的长.D19. （本小题满分 12 分）如图，抛物线 的焦点为 ，准线 与 x 轴的交点为 A，点 C 在抛物线 E 上
6、，以 C24Eyx:Fl为圆心， 为半径作圆，设圆 C 与准线 交于不同的两点 M，N.CO(1)若点 C 的纵坐标为 2，求 ；MN- 5 -(2)若 ，求圆 C 的半径.2AFMN20. （本小题满分 12 分）已知椭圆 C： 的离心率为 ， 分别为椭圆 的左、右顶点，21(0)xyab3212A、C点 满足 .1P、12AP(1)求椭圆 的方程；(2)设直线 经过点 且与 交于不同的两点 ，试问：在 x 轴上是否存在点 ,使得l MN、 Q直线 与直线 的斜率的和为定值？若存在，求出点 的坐标及定值，若不 存在，请QMNQ说明理由.21.（本小题满分 12 分）已知函数 .lnfx、(1
7、)若直线 过点（1，0），并且与曲线 相切，求直线 的方程；yfx、l- 6 -(2)设函数 在1,e上有且只有一个零点，求 的取值范围.(其中1gxfax、 aR，e 为自然对数的底数)a22.（本小题满分 12 分）已知椭圆 的离心率为 ， 是它的一个顶点，过点1:C2(0)xyab20P、作圆 的切线 为切点，且 .P22rPT、T(1)求椭圆 及圆 的方程；12(2)过点 作互相垂直的两条直线 ， ，其中 与椭圆的另 一交点为 D， 与圆交于1l21l 2l两点,求 面积的最大值.AB、AD- 7 - 8 -参考答案与解析1、选择题1-5 DBBAB 6-10 CDCDC 11-12
8、AC2、填空题13. 14.8 15. 16.4457963、解答题17. 解：（1）设数列 的公差为 d，则由题意知 解得na111(2)43(6),39,adad（舍去）或 所以 .(5 分)10,3da1,2.d(1)nn（2）因为 = ，1n()2所以 = + + = .（10 分）1231nnTaa()3141()2n()n18. 解：（1）因为 ，且 C 是三角形的内角，所以 sinC= = .25cos 21cosC5所以 sinisinBACB、= .（4 分）sicosi25310(2) 在ABC 中，由正弦定理，得 ，所以 =sinsiBCAsinACBB，于是 CD= .
9、在ADC 中，AC=2 ，2531061325cosC= ，（8 分）5所以由余弦定理，得 AD= =2cosACDCA- 9 -，即中线 AD 的长为 .(12 分)252093519. 解：（1）抛物线 E：y 2=4x 的准线 l 的方程为 x=-1，由点 C 的纵坐标为 2，得点 C 的坐标为（ 1，2），所以点 C 到准线 l 的距离为 d=2，又 ，所以 O.（4 分）25MNOd（2）设 C（ ），则圆 C 的方程为 ，即0,4y242200()()16yyx.200x由 x=-1，得 .设 ，则22001yy12-,-,MyN、由 ，得 ，所以 ，2200124()4,yA2A
10、F124y2014y解得 ，此时 .060A所以圆心 C 的坐标为 或 ，从而 ， ，即圆 C 的半径3(,)2(,6)234CO32为 .(12 分)3220. 解：（1）依题意， ，P（2，-1），所以 =（-a-2,1）(a-12(,0)(,Aa12PA2,1)=5-a2,(2 分)由 =1，a0,得 a=2,因为 e= ，所以 c= ，b 2=a2-c2=1，（4 分）12PA 32ca故椭圆 C 的方程为 .（5 分）214xy（2）假设存在满足条件的点 Q（t，0），当直线 l 与 x 轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意，因此直线 l的斜率 k 存在，设 l：y+1=k（x
11、-2），- 10 -由 消 y，得（1+4k 2）x 2-（16k 2+8k）x+16k 2+16k=0，（7 分）21(),4ykx=-64k0,所以 kea-1,()ln1a()0()0g所以 g（x）在（0，e a-1）上单调递减，在（e a-1， ）上单调递增.（6 分）当 ea-11，即 a1 时，g（x）在（1,e上单调递增，所以 g（x）g(1)=0.此时函数 g（x）在（1,e上没有零点，（7 分）当 1 .(12 分)e-122. 解：（1）由 a=2，e= ，得 c= ,所以 b= ，故所求椭圆方程为 .2c2214xy由已知有 r= ,圆 C2的方程为 C2：x 2+y2=2.(4 分)2POT（2）设直线 l1方程为 y=k（x+2），由 得（1+2k 2）x 2+8k2x+8k2-4=0，(),14yk所以 xP+xD= ，又 xD= ，所以 = = .28k2kDPDPk214k直线 l2的方程为 即 x+ky+2=0， ，1(),yk 222()ABkk所以= =12ABDSP22241kA = ，当且仅当 ，k=222433kk23223k时取等号，因此ABD 的面积的最大值为 .(12 分)102
