1、2 抛物线,2.1 抛物线及其标准方程,一,二,思考辨析,一、抛物线 定义平面内与一个定点F和一条直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线.定点F叫作抛物线的焦点,定直线l叫作抛物线的准线. 名师点拨1.抛物线的定义可归纳为“一动三定”:一个动点,设为点M;一个定点F(即抛物线的焦点);一条定直线(即抛物线的准线);一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线的距离之比等于常数1). 2.注意定点F不在定直线l上,否则动点M的轨迹不是抛物线,而是过点F与l垂直的一条直线.,一,二,思考辨析,【做一做1】 过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为( ) A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛
2、物线 解析:如图,设P为满足条件的一点,不难得出结论:P到A点的距离等于到y轴的距离,故P在以A为焦点,y轴为准线的抛物线上,故P的轨迹为抛物线,故选D.答案:D,一,二,思考辨析,二、抛物线的标准方程,一,二,思考辨析,名师点拨1.“p”的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离,所以p的值恒大于0. 2.只有顶点在坐标原点,焦点在坐标轴上的抛物线方程才是标准方程.,一,二,思考辨析,【做一做2】 抛物线y= x2的准线方程是( ) A.y=-1 B.y=-2 C.x=-1 D.x=-2 解析:抛物线x2=4y的准线方程为y=-1. 答案:A,一,二,思考辨析,判断下列说法是否正确,正确的在后面的
3、括号内打“”,错误的打“”. (1)平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹一定是抛物线. ( ) (2)抛物线y=-8x2的准线方程是y=2. ( ) (3)若抛物线的方程为y2=-4x,则其中的焦参数p=-2. ( ) (4)抛物线y=6x2的焦点在x轴的正半轴上. ( ),探究一,探究二,探究三,思维辨析,求抛物线方程 【例1】 求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1)过点(-3,2); (2)以坐标轴为对称轴,焦点在直线x-2y-4=0上. 思维点拨:求抛物线的标准方程,要根据所给的条件确定其类型,设出相应的标准方程形式,然后求出参数p.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(
4、2)直线x-2y-4=0与x轴的交点为(4,0),与y轴的交点为(0,-2), 故抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2).,所以p=8.所以抛物线方程为y2=16x.,所以p=4. 所以抛物线方程为x2=-8y. 反思感悟求抛物线的标准方程一般采用待定系数法,即先定位(确定抛物线的开口方向),再定量(确定参数p的值),若已知抛物线的焦点坐标或准线方程,则可设出抛物线的标准方程,求出p值即可,若无法定位,则需分类讨论.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1根据下列条件分别求出抛物线的标准方程:,(2)焦点在y轴上,焦点到准线的距离为5.,(2)已知抛物线的焦点在y轴上,可设方程为x2=2
5、my(m0),由焦点到准线的距离为5,知|m|=5,m=5,所以满足条件的抛物线有两条,它们的标准方程分别为x2=10y和x2=-10y.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,抛物线定义的应用 【例2】 设点P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点. (1)求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值; (2)若点B的坐标为(3,2),求|PB|+|PF|的最小值. 思维点拨:(1)中将点P到直线x=-1的距离转化为到焦点的距离;(2)中将点P到点B的距离转化为点P到准线的距离.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解:(1)如图所示,易知抛物线的焦点为F(1,0
6、),准线方程是x=-1,由抛物线的定义知:点P到直线x=-1的距离等于点P到焦点F的距离.于是问题转化为:在曲线上求一点P,使点P到点A(-1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小.显然,连接AF,AF与抛物线的交点即为点P,图 图,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2)如图所示,把点B的横坐标代入y2=4x中,得y=2 .因为2 2,所以点B在抛物线内部,过点B作BQ垂直于准线,垂足为点Q,交抛物线于点P1,连接P1F.此时,由抛物线定义知:|P1Q|=|P1F|. 所以|PB|+|PF|P1B|+|P1Q|=|BQ|=3+1=4, 即|PB|+|PF|的最小值为4. 反思感悟本题
7、是将抛物线上的点到焦点的距离与它到准线的距离进行相互转化,从而构造出“两点之间线段最短”或“垂线段最短”使问题解决.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则点P的轨迹方程为( ) A.y2=8x B.y2=-8x C.x2=8y D.x2=-8y 解析:由题意知点P到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,因此点P到点F(0,2)的距离与到直线y+2=0的距离相等,故点P的轨迹是以F为焦点,y=-2为准线的抛物线, P的轨迹方程为x2=8y.选C. 答案:C,探究一,探究二,探究三,思维辨析,抛物线的实际应用问题
8、【例3】一辆卡车高3 m,宽1.6 m,欲通过断面为抛物线形的隧道,如图所示,已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍,若拱宽为a m,求能使卡车通过的a的最小整数值.思维点拨:要求拱宽a的最小值,需先建立适当的坐标系,写出抛物线的方程,再利用方程求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解:以拱顶为原点,拱高所在直线为y轴,建立直角坐标系,如图,设抛物线方程为x2=-2py(p0),则点B的坐标为 ,又点B在抛物线上,解得a12.21.因为a取整数,所以a的最小值为13.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟解决与抛物线有关的实际应用问题时,一般可根据题意(或图形)建立平面直角坐标系,设出抛
9、物线的标准方程,依据题意得到抛物线上一点的坐标,从而可求出抛物线的方程,继而利用其几何性质进行推理、运算.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3下图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m,水位下降1 m后,水面宽 m.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解析:建立如图所示的直角坐标系,使拱桥的顶点O的坐标为(0,0), 设l与抛物线的交点为A,B,根据题意,知A(-2,-2),B(2,-2). 设抛物线的解析式为y=ax2, 则有-2=a(-2)2,探究一,探究二,探究三,思维辨析,因对抛物线的标准方程理解不正确而致误 【典例】 设抛物线y=mx2(m0)的准线与
10、直线y=1的距离为3,求抛物线的标准方程. 易错分析:对抛物线的标准方程的特征没有理解清楚,受二次函数的影响,以为y=mx2就是抛物线的标准方程,从而得到准线为y=-的错误结论.,所以所求抛物线的标准方程为x2=8y或x2=-16y.,纠错心得抛物线的标准方程有四种形式,要找准抛物线的焦点的位置及它的开口方向,最好画出示意图,就不会出错了.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练抛物线y= x2的准线方程是( ) A.y=-1 B.y=-2 C.x=-1 D.x=-2 解析:因为抛物线y= x2的标准方程为x2=4y,所以准线方程为y=-1. 答案:A,1 2 3 4 5,1.抛物线y2=
11、-8x的焦点到准线的距离是( ) A.1 B.2 C.4 D.8 解析:抛物线y2=-8x,-2p=-8,即p=4,焦点到准线的距离为4. 答案:C,1 2 3 4 5,2.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是( ) A.4 B.6 C.8 D.12 解析:如图所示,抛物线的焦点坐标为F(2,0),准线方程为x=-2,由抛物线的定义知:|PF|=|PE|=4+2=6. 答案:B,1 2 3 4 5,3.已知点P在抛物线y2=4x上,那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为 . 解析:将点P到焦点的距离转化为点P到准线的距离. 过点
12、P作准线的垂线l交准线于点R,由抛物线的定义知,|PQ|+|PF|=|PQ|+|PR|(F为焦点),当P,Q,R三点共线时,|PQ|+|PR|取得最小值,最小值为点Q到准线的距离.因为准线方程为x=-1,故最小值为3. 答案:3,1 2 3 4 5,4.已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,抛物线上的点M(3,m)到焦点的距离等于5,则抛物线的标准方程和m的值分别为 和 .,1 2 3 4 5,因此抛物线方程为y2=8x. 又点M(3,m)在抛物线上,1 2 3 4 5,5.某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成,尺寸如图所示,某卡车空车时能通过此隧道,现载一集装箱,箱宽3 m,车与箱共高4.5 m,问此车能否通过该隧道?说明理由.,1 2 3 4 5,解:在以抛物线的顶点为坐标原点,以过顶点的水平直线为x轴建立的直角坐标系中,点A的坐标为(3,-3), 设抛物线方程为x2=-2py,抛物线方程为x2=-3y(-3x3). 如果此车能通过隧道,卡车和集装箱应处于以y轴为对称轴的对称位置, 把点(x,-0.5)代入x2=-3y,得x2=-3(-0.5),x1.22. 因此,高度为4.5 m处,允许的宽度约为21.22=2.443. 此车不能通过该隧道.,
