1、1青海省西宁市沛西中学 2019 届高三数学上学期期中试题本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分。全卷满分 150分，考试时间 120分钟。注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用 0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。2选择题使用 2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用 0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。3考试结束后，将答题卡收回。1、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合 1,2,32,
2、4()ABCABC则 =（ ）A.1,2,3 B.1,2,4 C.2,3,4 D.1,2,3,42 “ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3下列函数中，其定义域和值域与函数 的定义域和值域相同的是（ ）lnxyeA. B. C. D. yxlnyx110x4下列函数既是奇函数又在 上是减函数的是（ ）,A. B. C. D. tanyx1yx123logxy13xy5、设函数 则满足 f(x)2 的 x 的取值范围是（ ）2,flog,A-1,2 B0,2 C0,+) D1,+)6、函数 f(x)sin x 在区间 a， b
3、上是增函数，且 f(a)1， f(b)1，则 cos ( )a b22A0 B. C1 D1227. 已知数列 的前 项和为 ，且 ，则使不等式nanSna2成立的 的最大值为( )22186naaA 3 B 4 C 5 D 68. 两个正实数 满足 ，且不等式 有解，则实数 的取值范yx,1myx342围是（ ）A. B. C. D.)4,1(),4(),()1,( ),3()0,(9曲线 yx与直线 21yx及 轴所围成的封闭图形的面积为（ ）A 512B C 6D 1210设 210log3xxf， ， 1gax，若对任意的 13x， ，存在21x，使得 21f，则实数 的取值范围为（
4、）A 0， ， B 1， ，C 2， ， D 2， ，11.已知 是椭圆 的左焦点，经过原点的直线 与椭圆 交于 ，F2:1(0)xyEablEP两点，若 ，且 ，则椭圆 的离心率为 ( )Q|PQ2PFEA B C. D1312312.已知偶函数 ，且 ，则函数4log,0()8)8xff()(fxf在区间 的零点个数为 ( )1()2xFxf1,2A 2020 B2016 C. 1010 D1008二.填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.313.已知向量 满足 , ,则 _.,ab|12abab14在OAB 中.点 C 满足向量 ,则 y-x= .OByAxCBA,41
5、5函数 321fxax有极大值又有极小值，则 a的取值范围是_16已知函数 是可导函数，其导函数为 ，且满足 ，且f fx ln()xxff， 则不等式 的解集为_1()fe(1)()xfe三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(12 分)已知函数 f(x) x24 x a3， aR.(1)若函数 y f(x)的图象与 x 轴无交点，求 a 的取值范围；(2)若函数 y f(x)在1,1上存在零点，求 a 的取值范围.18.（12 分） 中，内角 的对边分别为 ，若 A,B,C 成等差数列，a,b,cABC,bc成等比数列，求证： 为
6、等边三角形。19.（12 分）如图，已知四棱锥 的底面为菱形，且 ， 是 中点.PABCD60ABCEDP（）证明： 平面 ；/E（）若 ， ，求平面 与平面 所成二面角的正弦值.2P20.(12 分)某地区高考实行新方案,规定:语文,数学和英语是考生的必考科目,考生还须从物理,化学,生物,历史,地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目,则称该学生的选考方案确定;否则,称该学生选考方案待确定.例如,学生甲选择“物理,化学和生物”三个选考科目,则学生甲的选考方案确定,“物理,化学和生物”为其选考方案.4某学校为了解高一年级 420 名学生选考
7、科目的意向,随机选取 30 名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如下表:性别 选考方案确定情况 物理 化学 生物 历史 地理 政治选考方案确定的有 8 人 8 8 4 2 1 1男生选考方案待确定的有 6 人 4 3 0 1 0 0选考方案确定的有 10 人 8 9 6 3 3 1女生选考方案待确定的有 6 人 5 4 1 0 0 1估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人?假设男生,女生选择选考科目是相互独立的.从选考方案确定的 8 位男生中随机选出1 人,从选考方案确定的 10 位女生中随机选出 1 人,试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率;从选考方案确
8、定的 8 名男生中随机选出 2 名,设随机变量,求 的分布列及数学期望.1,2名 男 生 选 考 方 案 相 同 ，名 男 生 选 考 方 案 不 同 ， 521. (12 分) 已知函数 ，其中21()ln,()3fxgxabx,aR（1）当 ，且 为常数时，若函数 对任意的 ，总有0a()1h124x成立，试用 表示出 的取值范围；21()hxa（2）当 时，若 对 x0，)恒成立，求 的最小值.3b3(1)()2fxgxa22 （12 分）已知函数 fa， ex；（1）设函数 Gxgx，讨论函数 G的单调性；（2）求证：当 1ae， 时， 1fx6沛 西 中 学 高 三 2019 届 期
9、 中 考 试数学能力测试本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分。全卷满分 150分，考试时间 120分钟。注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用 0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。2选择题使用 2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用 0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。3考试结束后，将答题卡收回。2、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合 1,2,32,4()ABCABC则 =（ D ）
10、A.1,2,3 B.1,2,4 C.2,3,4 D.1,2,3,42 “ ”是“ ”的（ A ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3下列函数中，其定义域和值域与函数 的定义域和值域相同的是（ C ）lnxyeA. B. C. D. yxlnyx110x4下列函数既是奇函数又在 上是减函数的是（ C ）,A. B. C. D. tanyx1yx123logxy13xy5、设函数 则满足 f(x)2 的 x 的取值范围是（ C ）2,flog,A-1,2 B0,2 C0,+) D1,+)77、函数 f(x)sin x 在区间 a， b上是增函数，
11、且 f(a)1， f(b)1，则 cos ( D )a b2A0 B. C1 D1227. 已知数列 的前 项和为 ，且 ，则使不等式nanSna2成立的 的最大值为( B )22186naaA 3 B 4 C 5 D 68. 两个正实数 满足 ，且不等式 有解，则实数 的取值范yx,1myx342围是（ B ）A. B. C. D.)4,1(),4(),()1,( ),3()0,(9曲线 yx与直线 21yx及 轴所围成的封闭图形的面积为（ A ）A 512B C 6D 1210设 210log3xxf， ， 1gax，若对任意的 13x， ，存在21x，使得 21f，则实数 的取值范围为（
12、 D ）A 0， ， B 1， ，C 2， ， D 2， ，11.已知 是椭圆 的左焦点，经过原点的直线 与椭圆 交于 ，F2:1(0)xyEablEP两点，若 ，且 ，则椭圆 的离心率为 ( C )Q|PQ2PFEA B C. D1312312.已知偶函数 ，且 ，则函数4log,0()8)8xff()(fxf在区间 的零点个数为 ( A )1()2xFxf1,28A 2020 B2016 C. 1010 D1008二.填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.已知向量 满足 , ,则 _5_.ab|12abab14在OAB 中.点 C 满足向量 ,则 y-x= .OBy
13、AxCBA4315函数 321fxax有极大值又有极小值，则 a的取值范围是_2a或 1_16已知函数 是可导函数，其导函数为 ，且满足 ，且f fx ln()xxff， 则不等式 的解集为_ _()fe(1)()xfe1,e三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(12 分)已知函数 f(x) x24 x a3， aR.(1)若函数 y f(x)的图象与 x 轴无交点，求 a 的取值范围；(2)若函数 y f(x)在1,1上存在零点，求 a 的取值范围.答案：解 (1)若函数 y f(x)的图象与 x 轴无交点，则方程 f(x)0 的
14、根的判别式 1.故 a 的取值范围为 a1.(2)因为函数 f(x) x24 x a3 图象的对称轴是 x2，所以 y f(x)在1,1上是减函数又 y f(x)在1,1上存在零点，所以Error! 即Error!解得8 a0. 故实数 a 的取值范围为8 a0.18.（12 分） 中，内角 的对边分别为 ，若 A,B,C 成等差数列，a,b,cABC,bc成等比数列，求证： 为等边三角形。答案：A+B+C=180 2B=A+C B=60 4 分。 。b =ac 6 分29b = a -2acCOSB= a -ac 8 分22c2cac=a -ac 9 分（a-c） =0 10 分2a=c 1
15、1 分 为等边三角形 12 分ABC19.（12 分）如图，已知四棱锥 的底面为菱形，且 ， 是 中点.PD60ABCEDP（）证明： 平面 ；/BAE（）若 ， ，求平面 与平面 所成二面角的正弦值.2CP答案（）证明：如图 3，连接 BD， ACF，连接 E，四棱锥 PAC的底面为菱形， F为 BD中点，又 E是 P中点，在 中， F是中位线， /FB ，又 E平面 A，而 平面 ACE， /P 平面 ACE （）解：如图，取 AB的中点 Q，连接 P， C， ABCD为菱形，且 60C， AB 为正三角形， QAB 设 2P， 2P ， 3 ，且 为等腰直角三角形，即90，QAB，10A
16、B 平面 PQC，且 1，22， ，如图，建立空间直角坐标系，以 Q为原点， BA所在的直线为 x轴， QC所在的直线为 y轴，QP所在的直线为 z轴，则 (0)， ， ， (10)A， ， ， (30)C， ， ， (1)P， ， ， (0)， ， ， (230)D， ， ，312E， ， 0A， ， (130)AC， ， (10)PB， ， (031)PC， ，设 11()nxyz， ， 为平面 E的一个法向量，则10AEnC，即1302yzx，可取 1(3)n， ，设 22()xyz， ，为平面 PBC的一个法向量，则 20nPBA，即230yzx，可取 2(31)n， ，于是1212|
17、5|cos7nA，所以平面 EAC与平面 PB所成二面角的正弦值为267 20.(12 分)某地区高考实行新方案,规定:语文,数学和英语是考生的必考科目,考生还须从物理,化学,生物,历史,地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目,则称该学生的选考方案确定;否则,称该学生选考方案待确定.例如,学生甲选择“物理,化学和生物”三个选考科目,则学生甲的选考方案确定,“物理,化学和生物”为其选考方案.某学校为了解高一年级 420 名学生选考科目的意向,随机选取 30 名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如下表:性别 选考方案确定情况 物理 化学 生
18、物 历史 地理 政治男生 选考方案确定的有 8 人 8 8 4 2 1 111选考方案待确定的有 6 人 4 3 0 1 0 0选考方案确定的有 10 人 8 9 6 3 3 1女生选考方案待确定的有 6 人 5 4 1 0 0 1估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人?假设男生,女生选择选考科目是相互独立的.从选考方案确定的 8 位男生中随机选出1 人,从选考方案确定的 10 位女生中随机选出 1 人,试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率;从选考方案确定的 8 名男生中随机选出 2 名,设随机变量,求 的分布列及数学期望.1,2名 男 生 选 考 方 案
19、相 同 ，名 男 生 选 考 方 案 不 同 ， 答案：由题可知,选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有 4 人,选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有 6 人.该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有人.10842103由数据可知,选考方案确定的 8 位男生中选出 1 人选考方案中含有历史学科的概率为;8选考方案确定的 10 位女生中选出 1 人含有历史学科的概率为 ,所以该男生和该女生的选310考方案中都含有历史学科的概率为 .340由数据可选,选考方案确定的男生 中有 4 人选择物理,化学和生物;有 2 人选择物理,化学和历史,有 1 人选择物理化学和地理;有 1 人选择物
20、理,化学和政治.由已知得 的取值为 1, 2.; .248CP114228134CP .137E21. (12 分) 已知函数 ，其中21()ln,()3fxgxabx,aR（1）当 ，且 为常数时，若函数 对任意的 ，总有0a()1h124x12成立，试用 表示出 的取值范围；12()0hxab（2）当 时，若 对 x0，)恒成立，求 的最小值.3b3(1)()2fxgxa答案：(1)由题意，得 在 上单调递增32()hxgxabx4,) 在 上恒成立2()10hxab4,) 在 上恒成立x,构造函数 1()(0),()Fax则 2xF(x)在 上单调递减，在 上单调递增(0,)a(,)a(
21、i)当 ，即 时，F(x)在 上单调递减，在 上单调递增4164, (,)a min()()2aFx ，从而i2b(,ba(ii)当 ，即 时，F(x)在(4，)上单调递增4a16，从而 8 分2()bF1(,2ba综上，当 时， ， 时， ；106a,61(,28ba(2)当 时，构造函数23b21()1)()ln(),0)Gxfgxxax由题意，有 对 恒成立0, ()ln1),0)xax(i)当 时，0a(ln1(Gax 在 上单调递增()x,) 在 上成立，与题意矛盾.0(,)13(ii)当 时，令0a(),0)xG则 ，由于1()x1(,当 时， ， 在 上单调递减a()0xa)x0
22、,) ，即 在 上成立()01x(G, 在 上单调递减G,) 在 上成立，符合题意()0x,当 时，1a1()1() ,0)axxx 在 上单调递增，在 上单调递减()x0,(, 1a 在 成立，即 在 成立()0x,1)()0Gx1,)a 在 上单调递增G,a 在 上成立，与题意矛盾()0x1(,)x综上，a 的最小值为 122 （12 分）已知函数 1fxa， exg；（1）设函数 G，讨论函数 G的单调性；（2）求证：当 1ae， 时， 1fxgx【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】 （1）由题得 exGxfxa， 1exGa ，当 0a时， e0，此时 在 ， 上单调递减，当 时，令 x，得 1xa，令 0x，得 xa， Gx在区间 1a， 上单调递减，在区间 1a， 上单调递增，当 0a时，令 0x，得 1xa，令 0Gx，得 1xa，14 Gx在区间 1a， 上单调递增，在区间 1a， 上单调递减，（2）要证 fgx，即证 1xae，令 e1xFa，当 1a时， e0F， 成立；当 时， ln1 1eaxxa，当 ln1xa时， 0；当 l时， 0Fx， F在区间 ln1a,上单调递减，在区间 ln1a， 上单调递增， lleln1lx a 1ea， 10a， le0， 0Fx，即 ex成立，故原不等式成立
