1、- 1 -哈尔滨市第六中学 2017-2018 学年度下学期期末考试高二文科数学选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分1. 已知 ，集合 ，集合 ，若 ，则 ( )A. 1 B. 2 C. 4 D. 8【答案】A【解析】因为 则 ， ,n=1, 则 =8.故答案为：D.2. ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由复数的乘法运算展开即可。详解： 故选 D.点睛：本题主要考查复数的四则运算，属于基础题。3. 某学校有男学生 400 名，女学生 600 名为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取男学生 40 名，女学生 60 名
2、进行调查,则这种抽样方法是 ( )A. 抽签法 B. 随机数法 C. 系统抽样法 D. 分层抽样法【答案】D【解析】试题分析：符合分层抽样法的定义，故选 D.考点：分层抽样.【方法点晴】分层抽样是将总体按照一定标志分成若干层，分别从各层中抽检一定数量样本，最后汇总推算所需的总体估计量的一种统计抽样技术分层抽样一般有三个步骤：第一，将样本分层；第二，确定在每个层次上总体的比例（或抽样比） ；第三，利用这个比例，可计算出样本中每组（层）应调查的人数；第四，调查者必须从每层中抽取独立简单随机样本4. 一个锥体的正视图和左视图如图，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是 ( )- 2 -A. B. C
3、. D. 【答案】C【解析】试题分析：A，B，D 对应的直观图分别如下：故选 C.考点：空间几何体的三视图与直观图.5. 已知函数 ，则不等式 的解集为 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据分段函数，分别解不等式，再求出并集即可详解：由于 ，当 x0 时，3+log 2x5，即 log2x2=log 24，解得 0x4，当 x0 时，x 2x15，即（x3） （x+2）0，解得2x0，不等式 f（x）5 的解集为2，4，故选：B点睛：本题考查了分段函数以及不等式的解法和集合的运算，分段函数的值域是将各段的值域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数的最
4、值，先取每段的最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的.- 3 -6. 如果函数 的图像关于点 中心对称，那么 的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：因为函数 的图象关于点 中心对称，所以，根据诱导公式可得 ，所以 ，即 ，令 得 故选 C.考点：正弦函数的图象与性质.7. 函数 （其中 ）的图象如图所示，为了得到 的图象，只需把的图象上所有点（ ） A. 向右平移 个单位长度 B. 向左平移 个单位长度C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度【答案】D【解析】分析：根据周期求出 ，再由五点法作图求出，从而得到函数 f（x）=sin2（
5、x+ ） ，故把 y=f（x）的图象向右平移 个单位长度可得 y=sinx 的图象，从而得出结论详解：由题意可得 =2再由五点法作图可得 2 +=， = ，故函数 f（x）=sin（x+）=sin（2x+ ）=sin2（x+ ） 故把 y=f（x）的图象向右平移 个单位长度可得 y=sinx 的图象，故选：D点睛：本题主要考查由函数 y=Asin（x+）的部分图象求函数的解析式，函数y=Asin（x+）的图象变换，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，- 4 -在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将 x 的系数提出来，针对 x 本身进行加减和伸缩.8. 若函数 在区间
6、内单调递增，则 可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：利用四个选项代入 f（x） ，分别求出函数 y 的解析式化简后，通过函数的单调增区间判断正确选项即可详解：对于 A，y=f（x）+sinx=2sinx，显然函数在区间 内 x= 时函数取得最大值，函数存在增函数区间也存在减函数的区间，所以函数不单调递增，不正确；对于 B，y=f（x）+sinx=sinxcosx= sin（x ） ， 区间内，所以 函数是单调增函数，正确对于 C，y=f（x）+sinx=sinx+cosx= sin（x+ ） ， 区间内，所以 ，函数不是单调增函数，不正确对于 D，y=f（x）+sinx
7、=0，在区间 内单调递增，不正确；故选：B点睛：本题考查函数的解析式的求法，两角和与差的三角函数，三角函数的单调性的判断，考查计算能力两角正余弦公式无法应用时可以采用化一公式，三角函数辅助角公式将函数化为 的形式.9. 已知向量 ，且 与 垂直，那么 的值为 ( )A. 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】D【解析】分析：由已知向量的坐标，再由 与 垂直，列式求得 k 值详解： =（1，k） ， =（2，2） ，又 与 垂直，12+2k=0，解得 k=-1故选：D- 5 -点睛：本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量垂直的坐标表示，是基础题10. 已知双曲线 的离心率为 ，则点 到 的渐近
8、线的距离为 ( )A. B. 2 C. D. 【答案】D【解析】分析：由离心率计算出 ，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可。详解：所以双曲线的渐近线方程为所以点（4，0）到渐近线的距离故选 D点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题。11. 若 在 是减函数，则 的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：利用两角和差的正弦公式化简 f（x） ，由 +2kx +2k，kZ，得 +2kx +2k，kZ，取 k=0，得 f（x）的一个减区间为 ， ，结合已知条件即可求出 a 的最大值详解：f（x）=cosxsinx=（sinxcosx）= s
9、in（x ） ，由 +2kx +2k，kZ，得 +2kx +2k，kZ，取 k=0，得 f（x）的一个减区间为 ， ，由 f（x）在0，a是减函数，- 6 -得 a 则 a 的最大值是 故选：A点睛：本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题两角正余弦公式无法应用时可以采用化一公式，三角函数辅助角公式将函数化为 的形式.12. 已知 是函数 的一个零点，若 ，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：因为 ，当 时， ，所以函数在 上是增函数，又 ，所以 ， ，故选 C考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数的零点二、填空题 (
10、本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13. 若 是 的充分不必要条件,则 是 的_条件.【答案】必要不充分【解析】分析：本题考查的知识点是四种命题及充要条件的定义，根据 p 是 q 的充分不必要条件，我们易得到 pq 与 qp 的真假，然后根据逆否命题真假性相同，即可得到结论详解：p 是 q 的充分不必要条件，pq 为真命题，q p 为假命题，故pq 为假命题，qp 为真命题故p 是q 的必要不充分条件故答案为：必要不充分点睛：判断充要条件的方法是：若 pq 为真命题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件；若 pq 为假命题且 qp 为真命题，则命题 p 是
11、命题 q 的必要不充分条件；若 pq 为真命题且 qp 为真命题，则命题 p 是命题 q 的充要条件；若 pq 为假命- 7 -题且 qp 为假命题，则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件判断命题 p 与命题 q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题 p 与命题 q 的关系14. 已知 ，则 _.【答案】【解析】试题分析：因为 ，所以 .考点：角的变换，诱导公式，特殊角的三角函数.15. 曲线 在点 处的切线方程为_.【答案】【解析】分析：求导 ，可得斜率 ，进而得出切线的点斜式方程.详解：由 ，得则曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则所求切线方程为 ，即 .点
12、睛：求曲线在某点处的切线方程的步骤：求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；写出切线的点斜式方程；化简整理.16. 已知 为奇函数， ，则 _.【答案】6【解析】g(-2)=f(-2)+9=3,则 f(-2)=-6,又 f(x)为奇函数,所以 f(2)=-f(-2)=6.三、解答题：(本大题共 6 小题，共 70 分)17. 已知函数（1）求函数 的最小正周期.（2）求函数 的最大值及 取最大值时 x 的集合.【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（）首先利用降幂公式和辅助角公式化简可得- 8 -，利用最小正周期公式得解；（）根据函数的性质得解.试题解析：（） ，所以函数 的最小正周期为 （
13、）当 ，即 ， 时， 有最大值 ，取最大值 时 的集合为 .考点：（1）降幂公式；（2）辅助角公式；（3）函数 的性质.【方法点晴】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数 的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即 ，然后利用三角函数 的性质求解.视频18. 在ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c，已知(1)求 的值.(2)当 ， ，C 为锐角时,求 及 的长【答案】 （1） （2）见解析【解析】分析：（1）由二倍角公式得到角 C 的正弦值
14、；（2）先由正弦定理得到 c 边，再由二倍角公式得到 cosC，最终余弦定理得到边长.详解：（1）由 cos2C=12sin 2C= ，及 0C，解得 sinC= ；（2）当 a=2，2sinA=sinC 时，由正弦定理 = ，解得 c=4；- 9 -由 cos2C=2cos2C1= ，及 0C，解得 cosC= ；由余弦定理 c 2=a2+b22abcosC，化简得 b2 b12=0，解得 b= 或 b=2 ；所以 b= 或 b=2 ，c=4点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用,在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定
15、理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答19. 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500 位老人，结果如下：男 女需要 40 30不需要 160 270（1）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；（2）能否有 99的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？0.050 0.010 0.0013.841 6.635 10.828【答案】 （1）14%（2）有 99%把
16、握【解析】分析：（1）用频率估计概率，从而得到需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值；（2）由公式计算 k 的值，从而查表即可- 10 -详解：（1）需要志愿者提供帮助的老年人的比例估计为 =14%；（2）由 代入得，k= 9.9676.635；查表得 P（K 26.635）=0.01；故有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关点睛：本题考查了独立性检验的应用，属于基础题考查利用数学知识研究实际问题的能力以及相应的运算能力。20. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系已知直线 过点 ，斜率为 ，曲线 ： （1）写出直线 的一个参数方程
17、及曲线 的直角坐标方程；（2）若直线 与曲线 交于 两点，求 的值【答案】 （1）见解析（2）【解析】分析：（1）根据极直互化公式及参普互化的公式得到相应的普通方程和参数方程；（2）联立直线的参数方程和抛物线方程得到关于 t 的二次，由韦达定理得到结果.详解：（） 直线 过点 ，斜率为 ，直线 的一个参数方程为 ； ， ， 即得 ， ， 曲线 的直角坐标方程为 （）把 代入 整理得： ，- 11 -设点 对应的参数分别为 ，则 ， 点睛：这个题目考查了参数方程化为普通方程的方法，考查了直线参数中 t 的几何意义，一般 t 的绝对值表示方程中的定点到动点的距离，故 ， ， 均可用 t来表示，从而
18、转化为韦达定理来解决.21. 如图：三棱柱 ABCA 1B1C1中,侧棱垂直底面,ACB90,ACBC= ,D 是侧棱 AA1的中点（1）证明：平面 BDC1平面 BDC；（2）平面 BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比【答案】 （1）见解析（2）1:1【解析】试题分析：（1）由题意易证 平面 ，再由面面垂直的判定定理即可得平面 平面 ；（2）设棱锥 的体积为 ，易求 ，三棱柱 的体积为 ，于是可得 ，从而得到答案试题解析：（1）证明：由题设知 BCCC 1，BCAC，CC 1ACC，所以 BC平面 ACC1A1又 DC1平面 ACC1A1，所以 DC1BC由题设知A 1DC1ADC4
19、5，所以CDC 190，即 DC1DC又 DCBCC，所以 DC1平面 BDC又 DC1平面 BDC1，故平面 BDC1平面 BDC（2）设棱锥 BDACC1的体积为 V1，AC1- 12 -由题意得 V1 11 又三棱柱 ABCA1B1C1的体积 V1，所以（VV 1）V 111故平面 BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为 11考点：平面与平面垂直的判定；棱信的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积【易错点睛】 （1）两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面这是把面面垂直转化为线面垂直的依据运用时要注意“平面内的直线” （2）两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直
20、于第三个平面，此性质是在课本习题中出现的，在不是很复杂的题目中要对此进行证明22. 已知函数 （1）当 时，求函数 的最小值；（2）若 在 上单调递增，求实数 的取值范围；【答案】 （1） （2）-1,1【解析】分析：（1）对函数求导得到函数的极值点，进而得到最小值；（2）分两种情况：a ,和 a0，使得函数的导函数大于等于 0，之后变量分离，解出即可。详解：（1）由表得：当 时， 最小值为 .（2）当 时， ， ，若在 上单调递增，则 恒成立，即： ， ，当 时， ， 在 上是单调增的又 在 上单调递增，所以 在 上恒成立.- 13 -， .综上：点睛：本题考查了函数的单调性和最值的关系以及不等式恒成立问题，属于中档题。对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于 0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。
