1、- 1 -2017-2018 年度高二上学期开学考试数学试题（文）说明：满分：150 分 时间：120 分钟一、选择题：（每小题 5 分，满分 60 分）1不等式( x3) 21 的解集是( )A x|x2 B x|x4 C x|4 x2 D x|4 x22在等差数列 an中，若 a3 a5 a7 a9 a11100，则 3a9 a13的值为( )A20 B30 C40 D503. 过点 ,3且垂直于直线 20xy的直线方程为（ ）A 240xy B 7 C 230xy D 250xy4.下列不等式中成立的是( )A.若 ab，则 ac2bc2 B.若 ab，则 a2b2C.若 ab，cd，则
2、 a-cb-d D.若 a5.已知 =（3，4）， =（5，12）， 与 则夹角的余弦为（ ）ababA B C D656513136.若 是正数，且 ，则 有 （ ）,xy19xyxA最大值 B最小值 C最小值 D最大值336361367已知等比数列 an的前 n 项和 Sn t5n2 ，则实数 t 的值为( )15A4 B5 C. D.4158. 若变量 x， y 满足约束 条件Error!则 z2 x3 y 的最小值为( )A17 B14 C5 D39.已知三棱柱的三视图如下图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为( )A12 B27 3 3C36 D63- 2 -10. 若直线
3、 20xya与圆 21xy有公共点，则实数 a的取值范围（ ）A 55 B 525 C D a11等边 的边长为 1,设 ,则 （ ）BCAbA, acbA B C D2321232112. 过球的一条半径的中点作垂直于该半径的平面，则所得截面圆的面积与球的表面积的比值为A. B. C. D.316 916 38 932二、填空题：（每小题 5 分，满分 20 分）13.若三点 A(0，8)， B(4，0)， C(m，4)共线，则实数 m 的值是 .14.正项数列 an满足： a11， a22，2 a a a (nN *， n2)，则2n 2n 1 2n 1a7_15.已知直四棱柱 ABCDA
4、 1B1C1D1中，底面 ABCD 为正方形，AA 1=2AB，E 为 AA1的中点，则异面直线 BE 与 CD1所成角的余弦值为 . 16. ,是两个平面， ,mn是两条直线，有下列四个命题：（1）如果 ,/，那么 .（2）如果 ，那么 .（3）如果 /,m，那么 /.（4）如果 /n，那么 与 所成的角和 n与 所成的角相等.其中正确的命题有 (填写所有正确命题的编号）三、解答题：（共 6 道题，17 题 10 分，其余均 12 分）17.（10 分）若不等式 x22 x k210 对一切实数 x 恒成立，求实数 k 的取值范围- 3 -18 （12 分）已知平面上三个向量 ，其中 ，cb
5、a,)2,1(a（1）若 ，且 ，求 的坐标；52cc（2）若 ，且 ，求 与 夹角的余弦值.b)2()(19.（12 分）数列 an满足 a11， 1( nN *)12an 1 12an(1)求证：数列 是等差数列；(2)求数列 an的通项公式1an20 （12 分）圆 x2+y2=8 内有一点 P0(-1,2),AB 为过点 P0且倾斜角为 的弦.(1)当 = 时,求 AB 的长；43(2)当 AB 的长最短时,求直线 AB 的方程.21. （12 分）如图所示，正三棱柱 ABC-A1B1C1中，点 D 是 BC 的中点.（1）求证: AD平面 BCC1B1；（2）求证: A1C / 平面
6、 AB1D.- 4 -22.（12 分）设数列 an满足 a12， an1 an32 2n1 .(1)求数列 an的通项公式；(2)令 bn nan，求数列 bn的前 n 项和 Sn.- 5 -2017-2018 年度高二上学期开学考试数学试题（文）答案一、CCADA CBCCC BA二、13. -6 14. 15. 16. 19三、17. （10 分）解：若 x22 x k210 对一切实数 x 恒成立，则 (2) 24( k21)0 k22 k 或 k .即实数 k 的取值范围是(， ，)2 2 2 218. （12 分）解：（1）设 ),yxc，由条件有 ，解得： ，或xy04yx，42
7、yx所以： ，或 。),(c)4,2(c（2）设 的夹角为 ，由 ，知 ，即：ba)(ba0)2()(ba，所以： ， 023 65)(322 1526cos19. （12 分）解：(1)证明：由 1，可得 2，12an 1 12an 1an 1 1an数列 是以 1 为首项，以 2 为公差的等差数列1an(2)由(1)知 1( n1)22 n1， an .1an 12n 120. （12 分）解:(1)当 = 时,直线 AB 的斜率为 k=tan =-1,所以直线 AB 的方程为 y-43432=-(x+1),即 y=-x+1.弦心距 d= ,半径 r=2 ,弦长|AB|=2 .223021
8、82dr(2)当 AB 的长最短时,OP 0AB,因为 kOP0=-2,kAB= ,直线 AB 的方程 为 y-2= (x+1),即 x-12y+5=0.21. （12 分）证明：（1）因为 ABC 是正三角形,而点 D 是 BC 的中点，所以 AD BC.又因为三棱柱 ABC-A1B1C1是正三棱柱，所以 CC1平面 ABC，因为 AD平面 ABC，所以 CC1 AD，因为 CC1 BC=C，所以 AD平面 BCC1B1；- 6 -（2）连接 A1B,设 AB1 A1B=E,则 E 为 A1B 的中点,连接 DE,由 D 是 BC 的中点,得 DEA 1C.因为DE 平面 AB1D,且 A1C 平面 AB1D,所以 A1C 平面 AB1D.22. （12 分）解 (1)由已知，得当 n1 时，an1 ( an1 an)( an an1 )( a2 a1) a13(2 2n1 2 2n3 2)22 2(n1)1 .而 a12，符合上式，所以数列 an的通项公式为 an2 2n1 .(2)由 bn nan n22n1 知 Sn1222 332 5 n22n1 .从而 22Sn12 322 532 7 n22n1 .得(12 2)Sn22 32 52 2n1 n22n1 ，即 Sn (3n1)2 2n1 219
