1、113.2 函数的极值与导数(一)学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件知识点一 函数的极值点和极值思考 观察函数 y f(x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值答案 极大值点为 e， g， i，极大值为 f(e)， f(g)， f(i)；极小值点为 d， f， h，极小值为f(d)， f(f)， f(h)梳理 (1)极小值点与极小值若函数 y f(x)在点 x a 的函数值 f(a)比它在点 x a 附近其他点的函数值都小， f( a)0，而且在点 x a 附近的左侧 f( x)0，就
2、把点 a 叫做函数 y f(x)的极小值点， f(a)叫做函数 y f(x)的极小值(2)极大值点与极大值若函数 y f(x)在点 x b 的函数值 f(b)比它在点 x b 附近其他点的函数值都大， f( b)0，而且在点 x b 附近的左侧 f( x)0，右侧 f( x)0，在 x0的右侧函数单调递减，即 f( x)0，那么 f(x0)是极小值(2)求可导函数 f(x)的极值的步骤确定函数的定义区间，求导数 f( x)；求方程 f( x)0 的根；列表；利用 f( x)与 f(x)随 x 的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值1导数为 0 的点一定是极值点( )2函数的极大
3、值一定大于极小值( )3函数 y f(x)一定有极大值和极小值( )4极值点处的导数一定为 0.( )类型一 求函数的极值点和极值命 题 角 度 1 不 含 参 数 的 函 数 求 极 值例 1 求下列函数的极值(1)f(x) 2；(2) f(x) .2xx2 1 ln xx考点 函数在某点处取得极值的条件题点 不含参数的函数求极值问题解 (1)函数 f(x)的定义域为 R.f( x) .2x2 1 4x2x2 12 2x 1x 1x2 12令 f( x)0，得 x1 或 x1.当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x(，1)1 (1,1) 1(1，)f( x) 0 0 3
4、f(x) 极小值 极大值 由上表可以看出，当 x1 时，函数有极小值，且极小值为 f(1)3；当 x1 时，函数有极大值，且极大值为 f(1)1.(2)函数 f(x) 的定义域为(0，)，ln xx且 f( x) .1 ln xx2令 f( x)0，解得 xe.当 x 变化时， f( x)与 f(x)的变化情况如下表：x (0，e) e (e，)f( x) 0 f(x) 极大值 因此， xe 是函数的极大值点，极大值为 f(e) ，没有极小值1e反思与感悟 函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域(2)求方程 f( x)0 的根(3)用方程 f( x)0 的根顺次将函数的定义域分成若干
5、个小开区间，并列成表格(4)由 f( x)在方程 f( x)0 的根左右的符号，来判断 f(x)在这个根处取极值的情况特别提醒：当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然跟踪训练 1 求下列函数的极值点和极值(1)f(x) x3 x23 x3；13(2)f(x) x2e x.考点 函数在某点处取得极值的条件题点 不含参数的函数求极值问题解 (1) f( x) x22 x3.令 f( x)0，得 x11， x23，当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x (，1) 1 (1,3) 3 (3，)f( x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 4由上表可以看出，当 x1
6、 时，函数有极大值，且极大值 f(1) ，当 x3 时，函数143有极小值，且极小值 f(3)6.(2)函数 f(x)的定义域为 R.f( x)2 xe x x2e x x(2 x)e x.令 f( x)0，得 x0 或 x2.当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x (，0) 0 (0,2) 2 (2，)f( x) 0 0 f(x) 极小值 极大值 由上表可以看出，当 x0 时，函数有极小值，且极小值为 f(0)0.当 x2 时，函数有极大值，且极大值为 f(2)4e 2 .命 题 角 度 2 含 参 数 的 函 数 求 极 值例 2 已知函数 f(x)( x2 ax2
7、a23 a)ex(xR)，当实数 a 时，求函数 f(x)的单调区23间与极值考点 函数在某点处取得极值的条件题点 含参数求极值问题解 f( x) x2( a2) x2 a24 aex.令 f( x)0，解得 x2 a 或 x a2，由 a 知2 a a2.23分以下两种情况讨论：若 a ，则2 aa2.23当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x(， a2)a2(a2，2 a)2 a(2 a，)f( x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 所以 f(x)在(， a2)，(2 a，)上是增函数，在( a2，2 a)上是减函数，函数f(x)在 x a2 处取得极大值 f(a2
8、)，且 f(a2)(43 a)ea2 ，函数 f(x)在 x2 a处取得极小值 f(2 a)，且 f(2 a)3 ae2 a.反思与感悟 讨论参数应从 f( x)0 的两根 x1， x2相等与否入手进行跟踪训练 2 已知函数 f(x) x aln x(aR)(1)当 a2 时，求曲线 y f(x)在点 A(1， f(1)处的切线方程；(2)求函数 f(x)的极值考点 函数在某点处取得极值的条件题点 含参数求极值问题解 函数 f(x)的定义域为(0，)， f( x)1 .ax(1)当 a2 时， f(x) x2ln x， f( x)1 (x0)，2x因而 f(1)1， f(1)1.所以曲线 y
9、f(x)在点 A(1， f(1)处的切线方程为y1( x1)，即 x y20.(2)由 f( x)1 ， x0，知ax x ax当 a0 时， f( x)0，函数 f(x)为(0，)上的增函数，函数 f(x)无极值；当 a0 时，由 f( x)0，解得 x a.又当 x(0， a)时， f( x)0，从而函数 f(x)在 x a 处取得极小值，且极小值为 f(a) a aln a，无极大值综上，当 a0 时，函数 f(x)无极值；当 a0 时，函数 f(x)在 x a 处取得极小值 a aln a，无极大值类型二 利用函数的极值求参数例 3 (1)已知函数 f(x)的导数 f( x) a(x1
10、)( x a)，若 f(x)在 x a 处取到极大值，则6a 的取值范围是( )A(，1) B(0，)C(0,1) D(1,0)(2)已知函数 f(x) x33 ax2 bx a2在 x1 时有极值 0，则 a_， b_.考点 利用导数研究函数的极值题点 已知极值点求参数答案 (1)D (2)2 9解析 (1)若 a0，则 f(x)在(1， a)上单调递减，在( a，)上单调递增，与题意不符，故选 D.(2)因为 f(x)在 x1 时有极值 0，且 f( x)3 x26 ax b，所以Error! 即Error!解得Error! 或Error!当 a1， b3 时， f( x)3 x26 x3
11、3( x1) 20，所以 f(x)在 R 上为增函数，无极值，故舍去当 a2， b9 时， f( x)3 x212 x93( x1)( x3)当 x(3，1)时， f(x)为减函数，当 x(1，)时， f(x)为增函数，所以 f(x)在 x1 处取得极小值，因此 a2， b9.反思与感悟 已知函数的极值求参数时应注意两点(1)待定系数法：常根据极值点处导数为 0 和极值两个条件列出方程组，用待定系数法求解(2)验证：因为导数值为 0 不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证跟踪训练 3 设 x1 与 x2 是函数 f(x) aln x bx2 x 的两个极值点(1)试确定常数 a
12、 和 b 的值；(2)判断 x1， x2 是函数 f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由考点 利用导数研究函数的极值题点 已知极值点求参数解 (1) f(x) aln x bx2 x， f( x) 2 bx1，ax7 f(1) f(2)0， a2 b10 且 4 b10，a2解得 a ， b .23 16(2)由(1)可知 f(x) ln x x2 x，23 16且定义域是(0，)，f( x) x1 x1 .23 13 x 1x 23x当 x(0,1)时， f( x)0；当 x(2，)时， f( x)0， x(2,4)时， f( x)0. f(x)在(1,2)，(4,5)上为增函数，在(2
13、4)上为减函数， x2 是 f(x)在1,5上的极大值点， x4 是极小值点故选 D.2设函数 f(x) ln x，则( )2xA x 为 f(x)的极大值点128B x 为 f(x)的极小值点12C x2 为 f(x)的极大值点D x2 为 f(x)的极小值点考点 函数在某点处取得极值的条件题点 不含参数的函数求极值问题答案 D解析 函数 f(x) ln x 的定义域为(0，)2xf( x) ，1x 2x2令 f( x)0，即 0 得， x2，1x 2x2当 x(0,2)时， f( x)0.因为 x2 为 f(x)的极小值点，故选 D.3函数 f(x) ax1ln x(a0)在定义域内的极
14、值点的个数为_考点 函数在某点处取得极值的条件题点 判断极值点的个数答案 0解析 因为 x0， f( x) a ，1x ax 1x所以当 a0 时， f( x)0；在区间(0，)上， y0，当 x(1，e)时， f( x)0，得 x3.4设三次函数 f(x)的导函数为 f( x)，函数 y xf( x)的图象的一部分如图所示，则( )A f(x)极大值为 f( )，极小值为 f( )3 3B f(x)极大值为 f( )，极小值为 f( )3 3C f(x)极大值为 f(3)，极小值为 f(3)D f(x)极大值为 f(3)，极小值为 f(3)考点 函数极值的综合应用题点 函数极值在函数图象上的
15、应用答案 D解析 当 x0，即 f( x)3 时， f( x)0， f(x)单调递增，13当(2 k1)0 恒成立，得当 x2 或 x1 时， f( x)0，且 x0；当21 时， f( x)0.所以 x1 是函数 f(x)的极小值点所以函数 f(x)的极小值为 f(1)1.11已知函数 f(x) x3 ax2 bx a2在 x1 处取得极值 10，则 f(1)_.考点 利用导数研究函数的极值题点 已知极值(点)求参数答案 30解析 由题意知Error!即Error!解得Error! 或Error!经检验知，当Error!时， f( x)0，不合题意 f(x) x34 x211 x16，则 f
16、1)30.三、解答题12 设 函 数 f(x) aln x x 1， 其 中 a R， 曲 线 y f(x)在 点 (1， f(1)处 的 切 线 垂 直12x 32于 y 轴(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的极值考点 函数在某点处取得极值的条件题点 不含参数函数求极值解 (1) f( x) .ax 12x2 32由题意知，曲线在 x1 处的切线斜率为 0，即 f(1)0，从而 a 0，解得 a1.12 3215(2)由(1)知 f(x)ln x x1( x0)，12x 32f( x) 1x 12x2 32 .3x2 2x 12x2 3x 1x 12x2令 f( x)0，解得 x1
17、1， x2 (舍去)13当 x(0,1)时， f( x)0，故 f(x)在(1，)上为单调递增函数故 f(x)在 x1 处取得极小值，极小值为 f(1)3.13已知函数 f(x) x3 mx22 m2x4( m 为常数，且 m0)有极大值 ，求 m 的值12 52考点 利用导数研究函数的极值题点 已知极值(点)求参数解 f( x)3 x2 mx2 m2( x m)(3x2 m)，令 f( x)0，得 x m 或 x m.23当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x (， m) m ( m，23m)m23 (23m， )f( x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 f(x)有
18、极大值 f( m) m3 m32 m3412 ，52 m1.四、探究与拓展14设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f( x)，且函数 f(x)在 x2 处取得极小值，则函数 y xf( x)的图象可能是( )16考点 函数极值的综合应用题点 函数极值在函数图象上的应用答案 C解析 由题意可得 f(2)0，而且当 x(，2)时， f( x)0；排除 B，D，当 x(2，)时， f( x)0，此时若 x(2,0)， xf( x)0，所以函数 y xf( x)的图象可能是 C.15已知函数 f(x)( x2 ax a)ex(a2， xR)(1)当 a1 时，求 f(x)的单调区间；(2)是否
19、存在实数 a，使 f(x)的极大值为 3？若存在，求出 a 的值，若不存在，请说明理由考点 利用导数研究函数的极值题点 已知极值(点)求参数解 (1) f(x)( x2 x1)e x，f( x)(2 x1)e x( x2 x1)e x( x23 x2)e x.当 f( x)0 时，解得 x1，当 f( x)2.当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x(，2)2 (2， a) a ( a，)f( x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 17由表可知， f(x)极大值 f(2)(42 a a)e2 3，解得 a43e 22，所以存在实数 a2，使 f(x)的极大值为 3，此时 a43e 2.
