1、122.1 综合法和分析法学习目标 1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.2.会用综合法、分析法解决问题知识点一 综合法思考 阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？已知 a， b0，求证： a(b2 c2) b(c2 a2)4 abc.证明：因为 b2 c22 bc， a0，所以 a(b2 c2)2 abc.又因为 c2 a22 ac， b0，所以 b(c2 a2)2 abc.因此 a(b2 c2) b(c2 a2)4 abc.答案 利用已知条件 a0， b0 和重要不等式，最后推导出所要证明的结论梳理 (1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经
2、过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法(2)综合法的框图表示 PQ1 Q1Q2 Q2Q3 QnQ(P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等， Q 表示所要证明的结论)知识点二 分析法思考 阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？已知 a， b0，求证： .a b2 ab证明：要证 ，a b2 ab只需证 a b2 ，ab只需证 a b2 0，ab只需证( )20，a b因为( )20 显然成立，所以原不等式成立a b答案 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件梳理 (1)定义：从要证明的结论出发，
3、逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法2(2)分析法的框图表示 QP1 P1P2 P2P3 得 到 一 个 明 显 成 立 的 条 件1综合法是执果索因的逆推证法( )2分析法就是从结论推向已知( )3分析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰好相反，过程相逆( )类型一 综合法的应用例 1 在 ABC 中，三边 a， b， c 成等比数列求证： acos2 ccos2 b.C A 32考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题证明 因为 a， b， c 成等比数列，所以 b2 ac.因为
4、左边 a1 cos C2 c1 cos A2 (a c) (acos C ccos A)12 12 (a c)12 12(aa2 b2 c22ab cb2 c2 a22bc ) (a c) b 12 12 ac b2 b b右边，b2 32所以 acos2 ccos2 b.C A 323反思与感悟 综合法证明问题的步骤跟踪训练 1 已知 a， b， c 为不全相等的正实数求证： 3.b c aa c a bb a b cc考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题证明 因为 b c aa c a bb a b cc 3，ba ab cb bc ac ca又 a， b， c 为不全相等的正
5、实数，而 2， 2， 2，ba ab cb bc ac ca且上述三式等号不能同时成立，所以 3633，ba ab cb bc ac ca即 3.b c aa c a bb a b cc类型二 分析法的应用例 2 设 a， b 为实数，求证： (a b)a2 b222考点 分析法及应用题点 分析法解决不等式问题证明 当 a b0 时， 0，a2 b2 (a b)成立a2 b222当 a b0 时，用分析法证明如下：要证 (a b)，a2 b2224只需证( )2 2，a2 b2 22a b即证 a2 b2 (a2 b22 ab)，即证 a2 b22 ab.12 a2 b22 ab 对一切实数恒
6、成立， (a b)成立a2 b222综上所述，不等式得证反思与感悟 分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的它的常见书写表达式是“要证只需”或“” 跟踪训练 2 已知非零向量 a， b，且 a b，求证： .|a| |b|a b| 2考点 分析法及应用题点 分析法解决不等式问题证明 a bab0，要证 ，|a| |b|a b| 2只需证| a| b| |a b|，2只需证| a|22| a|b| b|22( a22 ab b2)
7、，只需证| a|22| a|b| b|22 a22 b2，只需证| a|2| b|22| a|b|0，即证(| a| b|)20，上式显然成立，故原不等式得证类型三 分析法与综合法的综合应用例 3 ABC 的三个内角 A， B， C 成等差数列，其对边分别为 a， b， c.求证：( a b)1 ( b c)1 3( a b c)1 .考点 分析法和综合法的综合应用题点 分析法和综合法的综合应用证明 要证( a b)1 ( b c)1 3( a b c)1 ，即证 ，1a b 1b c 3a b c即证 3，a b ca b a b cb c5即证 1.ca b ab c即证 c(b c) a
8、(a b)( a b)(b c)，即证 c2 a2 ac b2.因为 ABC 三个内角 A， B， C 成等差数列，所以 B60.由余弦定理，得 b2 c2 a22 cacos 60，即 b2 c2 a2 ac.所以 c2 a2 ac b2成立，命题得证引申探究 本例改为求证 .a b1 a b c1 c证明 要证 ，a b1 a b c1 c只需证 a b( a b)c(1 a b)c，即证 a bc.而 a bc 显然成立，所以 .a b1 a b c1 c反思与感悟 综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合
9、法有条理地表述解答过程跟踪训练 3 已知 a， b， c 是不全相等的正数，且 0abc，a b2 b c2 a c2由公式 0， 0， 0.a b2 ab b c2 bc a c2 ac又 a， b， c 是不全相等的正数，6 abc.a b2 b c2 a c2 a2b2c2即 abc 成立a b2 b c2 a c2log x log x log x 2 a，x 2x ( x1) 0， cba.11 x 1 1 x21 x x21 x3要证 b0 时，才有 a2b2，只需证 1， x y0，则( )8A x0， y0 B x0， y0考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题答案
10、A解析 由Error!得Error!2要证 a2 b21 a2b20，只需证( )A2 ab1 a2b20B a2 b21 0a4 b42C. 1 a2b20a b22D( a21)( b21)0考点 分析法及应用题点 寻找结论成立的充分条件答案 D解析 要证 a2 b21 a2b20，只需证 a2b2( a2 b2)10，即证( a21)( b21)0.3在非等边三角形 ABC 中， A 为钝角，则三边 a， b， c 满足的条件是( )A b2 c2 a2 B b2 c2a2C b2 c2 a2 D b2 c2B 是 sin Asin B 的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件
11、D既不充分也不必要条件考点 综合法及应用题点 利用综合法解决三角形问题9答案 C解析 由正弦定理得 2 R(R 为 ABC 的外接圆半径)，asin A bsin B又 A， B 为三角形的内角，sin A0，sin B0，sin Asin B2Rsin A2Rsin BabAB.5设 a， b0，且 a b， a b2，则必有( )A1 ab B abab，a2 b22又因为 a b22 ，ab故 ab1，a2 b22 a b2 2ab2即 1ab.a2 b226若 a ， b ， c ，则( )ln 22 ln 33 ln 55A a0， f(x)单调递增；当 xe 时， f( x)ac.
12、ln 447设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， f(x)单调递减若 x1 x20，则 f(x1) f(x2)的值( )10A恒为负 B恒等于零C恒为正 D无法确定正负考点 综合法及应用题点 利用综合法解决函数问题答案 A解析 由 f(x)是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 ， 且 当 x 0 时 ， f(x)单 调 递 减 ， 可 知 f(x)是 R 上 的 减 函数由 x1 x20，可知 x1 x2，所以 f(x1)0，故函数 f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了_的证明方法考点 综合法及应用题点 利用综合法解决函数问题答案 综合法9如果 a b a b ，则正数
13、 a， b 应满足的条件是_a b b a考点 分析法及应用题点 寻找结论成立的充分条件答案 a b解析 a b ( a b )a b b a a( ) b( )( )(a b)a b b a a b( )2( )a b a b只要 a b，就有 a b a b .a b b a10设 a ， b ， c ，则 a， b， c 的大小关系为_2 7 3 6 2考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题答案 acb解析 a2 c22(84 )4 63 3 0， a0， c0， ac.48 36 c0， b0， 1，cb 6 27 3 7 36 2 cb. acb.1111比较大小：设 a0
14、， b0，则 lg(1 )_ lg(1 a)lg(1 b)ab12考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题答案 解析 (1 )2(1 a)(1 b)ab2 ( a b)0，ab(1 )2(1 a)(1 b)，ab则 lg(1 )2lg(1 a)(1 b)，ab即 lg(1 ) lg(1 a)lg(1 b)ab1212.如图所示，在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，当底面四边形 ABCD 满足条件_时，有A1C B1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)考点 分析法及应用题点 寻找结论成立的充分条件答案 对角线互相垂直(答案不唯一)解析 要证 A1C B1
15、D1，只需证 B1D1垂直于 A1C 所在的平面 A1CC1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以 B1D1 CC1，故只需证 B1D1 A1C1即可三、解答题13已知 a0，求证： a 2.a2 1a2 2 1a考点 分析法及应用题点 利用分析法解决不等式问题证明 要证 a 2，a2 1a2 2 1a只需证 2 a .a2 1a2 1a 2因为 a0，12所以只需证 2 2，(a2 1a2 2) (a 1a 2)即 a2 4 4 a22 2 2，1a2 a2 1a2 1a2 2(a 1a)从而只需证 2 ，a2 1a2 2(a 1a)只需要证 4 2 ，(a21a2) (a2 2 1a2)即 a2
16、2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立1a2四、探究与拓展14若不等式(1) na2 ，1n而2 2，所以 a2.1n综上可得，2 a .3215在 ABC 中，三个内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 A， B， C 成等差数列，a， b， c 成等比数列，求证： ABC 为等边三角形考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题证明 由 A， B， C 成等差数列，得 2B A C.由于 A， B， C 为 ABC 的三个内角，所以 A B C.由，得 B . 3由 a， b， c 成等比数列，得 b2 ac，13由余弦定理及，可得 b2 a2 c22 accos B a2 c2 ac，再由，得 a2 c2 ac ac，即( a c)20，从而 a c，所以 A C.由，得 A B C ， 3所以 ABC 为等边三角形
