1、122.2 反证法学习目标 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题知识点 反证法王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的 ”思考 本故事中王戎运用了什么论证思想？答案 运用了反证法思想梳理 (1)定义：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法
2、(2)反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等1反证法属于间接证明问题的方法( )2反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理( )3反证法的实质是否定结论导出矛盾( )2类型一 用反证法证明否定性命题例 1 已知 a， b， c， dR，且 ad bc1，求证： a2 b2 c2 d2 ab cd1.考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设 a2 b2 c2 d2 ab cd1.因为 ad bc1，所以 a2 b2 c2 d2 ab cd bc ad0，即( a b)2( c d)2(
3、 a d)2( b c)20.所以 a b0， c d0， a d0， b c0，则 a b c d0，这与已知条件 ad bc1 矛盾，故假设不成立所以 a2 b2 c2 d2 ab cd1.反思与感悟 (1)用反证法证明否定性命题的适用类型：结论中含有“不” “不是” “不可能” “不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法(2)用反证法证明数学命题的步骤跟踪训练 1 已知三个正数 a， b， c 成等比数列但不成等差数列，求证： ， ， 不成等a b c差数列考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设 ， ， 成等差数列，a b c则
4、2 ，b a c4 b a c2 .ac a， b， c 成等比数列， b2 ac，由得 b ，代入式，ac得 a c2 ( )2 0，ac a c a c，从而 a b c.3这与已知 a， b， c 不成等差数列相矛盾，假设不成立故 ， ， 不成等差数列a b c类型二 用反证法证明“至多、至少”类问题例 2 a， b， c(0,2)，求证：(2 a)b，(2 b)c，(2 c)a 不能都大于 1.考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设(2 a)b，(2 b)c，(2 c)a 都大于 1.因为 a， b， c(0,2)，所以 2 a0,2 b0,2 c0.所以 1.2 a b2 2
5、 ab同理 1，2 b c2 2 bc 1.2 c a2 2 ca三式相加，得 3，2 a b2 2 b c2 2 c a2即 33，矛盾所以(2 a)b，(2 b)c，(2 c)a 不能都大于 1.引申探究 已知 a， b， c(0,1)，求证：(1 a)b，(1 b)c，(1 c)a 不能都大于 .14证明 假设(1 a)b，(1 b)c，(1 c)a 都大于 .14 a， b， c 都是小于 1 的正数，1 a,1 b,1 c 都是正数 .1 a b2 1 ab 14 12同理， ， .1 b c2 12 1 c a2 12三式相加，得 ，1 a b2 1 b c2 1 c a2 32即
6、 ，显然不成立3232(1 a)b，(1 b)c，(1 c)a 不能都大于 .144反思与感悟 应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多” “至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如：结论词 反设词 结论词 反设词至少有一个 一个也没有 对所有 x 成立 存在某个 x0不成立至多有一个 至少有两个 对任意 x 不成立 存在某个 x0成立至少有 n 个 至多有 n1 个 p 或 q 綈 p 且綈 q至多有 n 个 至少有 n1 个 p 且 q 綈 p 或綈 q跟踪训练 2 已知 a， b， c 是互不相等的实数，求证：
7、由y1 ax22 bx c， y2 bx22 cx a 和 y3 cx22 ax b 确定的三条抛物线至少有一条与 x轴有两个不同的交点考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与 x 轴有两个不同的交点，由 y1 ax22 bx c， y2 bx22 cx a， y3 cx22 ax b，得 14 b24 ac0， 24 c24 ab0，且 34 a24 bc0.同向不等式求和，得4b24 c24 a24 ac4 ab4 bc0，所以 2a22 b22 c22 ab2 bc2 ac0，所以( a b)2( b c)2( a c)20，所以 a b c.这与
8、题设 a， b， c 互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证类型三 用反证法证明唯一性命题例 3 求证：方程 2x3 有且只有一个根考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 2 x3， xlog 23.这说明方程 2x3 有根下面用反证法证明方程 2x3 的根是唯一的假设方程 2x3 至少有两个根 b1， b2(b1 b2)，则 1b3, b3，两式相除得 1， b1 b20，则 b1 b2，这与 b1 b2矛盾5假设不成立，从而原命题得证反思与感悟 用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性当证明结论是以“有且只有” “只有一个” “
9、唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性” ，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性跟踪训练 3 若函数 f(x)在区间 a， b上是增函数，求证：方程 f(x)0 在区间 a， b上至多有一个实根考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设方程 f(x)0 在区间 a， b上至少有两个实根，设 ， 为其中的两个实根因为 ，不妨设 b”的反面是“ ay 或 x2，故中的假设错误；对于，其假设正确，故选 D.7设 a， b， c 都是正数，则三个数 a ， b ， c ( )1b 1c 1aA都大于 2B至少有一个大于 2C至少有一个不小于 2D至少有一个不大于
10、2考点 反证法及应用题点 反证法的应用答案 C解析 假设 a 2； a2 b22.其中能推出“ a， b 中至少有一个大于 1”的条件是_(填序号)考点 反证法及应用题点 反证法的应用答案 10某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是_考点 反证法及应用题点 反证法的应用答案 甲解析 假如甲：我没有偷是真的，则乙：丙是小偷；丙：丁是小偷是假的；丁：我没有偷就是真的，与他们四人中有一人说真话矛盾假如甲：我没有偷是假的，则丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷，丙：丁是小偷是假的，成立可
11、以判断偷珠宝的人是甲11若下列两个方程 x2( a2) x a20， x2 ax2 a0 中至少有一个方程有实根，则实数 a 的取值范围是_考点 反证法及应用题点 反证法的应用答案 (，82，)解析 若两方程均无实根，10则 1( a2) 24 a2(3 a2)( a2) .23 2 a28 a a(a8)0.这与 a b c0 矛盾，假设不成立，故 a， b， c 中至少有一个是大于 0 的13已知 f(x) ax (a1)，求证：方程 f(x)0 没有负数根x 2x 1考点 反证法及应用题点 反证法的应用证明 假设 x0是 f(x)0 的负数根，则 x00 且 x01，且 ax0 ，x0
12、2x0 10 ax01，0 1，x0 2x0 1解得 x02，这与 x00 矛盾，12故方程 f(x)0 没有负数根四、探究与拓展14若 a， b， c， d 都是有理数， ， 都是无理数，且 a b ，则 a 与 b， c 与 d 之c d c d11间的数量关系为_考点 反证法及应用题点 反证法的应用答案 a b， c d解析 假设 a b，令 a b m(m 是不等于零的有理数)，于是 b m b ，c d所以 m ，两边平方整理得 .c d cd c m22m左边是无理数，右边是有理数，矛盾，因此 a b，从而 c d.15设 an是公比为 q 的等比数列(1)推导数列 an的前 n
13、项和公式；(2)设 q1，证明数列 an1不是等比数列考点 反证法及应用题点 反证法的应用(1)解 设数列 an的前 n 项和为 Sn，当 q1 时， Sn a1 a1 a1 na1；当 q1 时， Sn a1 a1q a1q2 a1qn1 ，qSn a1q a1q2 a1qn，由得，(1 q)Sn a1 a1qn，所以 Sn ，a11 qn1 q综上所述， SnError!(2)证明 假设 an1是等比数列，则对任意的 kN *，(ak1 1) 2( ak1)( ak2 1)，a 2 ak1 1 akak2 ak ak2 1，2k 1a q2k2 a1qk a1qk1 a1qk1 a1qk1 a1qk1 ，21因为 a10，所以 2qk qk1 qk1 .因为 q0，所以 q22 q10，所以 q1，这与已知矛盾所以假设不成立，故数列 an1不是等比数列
