1、1第 1 讲 坐标系与参数方程考情考向分析 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化、常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线的位置关系等解析几何知识热点一 极坐标与直角坐标的互化直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点， x 轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位如图，设 M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为( x， y)和( ， )，则Error! Error!例 1 (2018佛山模拟)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为Error
2、!( t 为参数，a0)以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C1上一点 A 的极坐标为 ，曲线 C2的极坐标方程为 cos .(1， 3)(1)求曲线 C1的极坐标方程；(2)设点 M， N 在 C1上，点 P 在 C2上(异于极点)，若 O， M， P， N 四点依次在同一条直线 l 上，且| MP|，| OP|，| PN|成等比数列，求 l 的极坐标方程解 (1)曲线 C1的直角坐标方程为( x a)2 y23，化简得 x2 y22 ax a230.又 x2 y2 2， x cos ，所以 22 a cos a230.代入点 ，得 a2 a20，(1， 3)2
3、解得 a2 或 a1(舍去)所以曲线 C1的极坐标方程为 24 cos 10.(2)由题意知，设直线 l 的极坐标方程为 ( R)，设点 M ， N ， P ，( 1， ) ( 2， ) ( 3， )则 1b0)的参数方程为Error!( 为参数)x2a2 y2b2(2)抛物线 y22 px(p0)的参数方程为Error!( t 为参数)例 2 (2018全国)在平面直角坐标系 xOy 中， O 的参数方程为Error!( 为参数)，过点(0， )且倾斜角为 的直线 l 与 O 交于 A， B 两点2(1)求 的取值范围；(2)求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程解 (1) O 的直角坐标方程
4、为 x2 y21.当 时， l 与 O 交于两点 2当 时，记 tan k，则 l 的方程为 y kx .l 与 O 交于两点当且仅当 2 241，即 或 .|2|1 k2 ( 2， 34) ( 4， 2)综上， 的取值范围是 .( 4， 34)(2)l 的参数方程为Error! .(t为 参 数 ， 40)(1)求 C 和 l 的极坐标方程；(2)设点 A 是 m 与 C 的一个交点(异于原点)，点 B 是 m 与 l 的交点，求 的最大值|OA|OB|解 (1)曲线 C 的普通方程为( x1) 2 y21，由Error! 得 2 2sin2 1，( cos 1)化简得 C 的极坐标方程为
5、2cos .因为 l 的普通方程为 x y40，所以极坐标方程为 cos sin 40，所以 l 的极坐标方程为 sin 2 .( 4) 2(2)设 A( 1， )， B( 2， )，则 2cos |OA|OB| 1 2 sin cos 4 (sin cos cos 2 ) sin ，12 24 (2 4) 14由射线 m 与 C，直线 l 相交，则不妨设 ，( 4， 4)则 2 ， 4 ( 4， 34)所以当 2 ，即 时， 取得最大值， 4 2 8 |OA|OB|即 max .(|OA|OB|) 2 14思维升华 (1)利用参数方程解决问题，要理解参数的几何意义(2)在解决直线、圆和圆锥曲
6、线的有关问题时，常常将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于认识方程所表示的曲线，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用跟踪演练 3 (2018黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学模拟)在平面直角坐标系中，以原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为 2cos .(1)若曲线 C2的参数方程为Error!( 为参数)，求曲线 C1的直角坐标方程和曲线 C2的普通6方程；(2)若曲线 C2的参数方程为Error!( t 为参数)， A(0,1)，且曲线 C1与曲线 C2的交点分别为P， Q，求 的取值范围1|AP| 1
7、|AQ|解 (1) 2cos ， 22 cos ，又 2 x2 y2， cos x，曲线 C1的直角坐标方程为 x2 y22 x0，曲线 C2的普通方程为 x2( y1) 2 t2.(2)将 C2的参数方程Error!( t 为参数)代入 C1的方程 x2 y22 x0，得 t2(2sin 2cos )t10. (2sin 2cos )248sin 2 40，( 4) ，|sin( 4)| (22， 1sin .( 4) 1， 22) (22， 1t1 t2(2sin 2cos )2 sin ，2 ( 4)t1t210， t1t210， t1， t2同号，| t1| t2| t1 t2|.由点
8、 A 在曲线 C2上，根据 t 的几何意义，可得 1|PA| 1|AQ| 1|t1| 1|t2| |t1| |t2|t1|t2| |t1| |t2|t1t2| |t1 t2|12 (2,2 2|sin( 4)| 2 (2,2 1|PA| 1|AQ| 2真题体验1(2018全国)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的方程为 y k|x|2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 22 cos 30.(1)求 C2的直角坐标方程；7(2)若 C1与 C2有且仅有三个公共点，求 C1的方程解 (1)由 x cos ， y sin ，得 C2的直角坐标方程为( x1
9、) 2 y24.(2)由(1)知 C2是圆心为 A(1,0)，半径为 2 的圆由题设知， C1是过点 B(0,2)且关于 y 轴对称的两条射线记 y 轴右侧的射线为 l1， y 轴左侧的射线为 l2.由于点 B 在圆 C2的外部，故 C1与 C2有且仅有三个公共点等价于 l1与 C2只有一个公共点且l2与 C2有两个公共点，或 l2与 C2只有一个公共点且 l1与 C2有两个公共点当 l1与 C2只有一个公共点时，点 A 到 l1所在直线的距离为 2，所以 2，故 k| k 2|k2 1或 k0.43经检验，当 k0 时， l1与 C2没有公共点；当 k 时， l1与 C2只有一个公共点， l
10、2与 C2有两个公共点，满足题意43当 l2与 C2只有一个公共点时，点 A 到 l2所在直线的距离为 2，所以 2，故 k0 或|k 2|k2 1k .43经检验，当 k0 时， l1与 C2没有公共点；当 k 时， l2与 C2没有公共点43综上，所求 C1的方程为 y |x|2.432(2017全国)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为 cos 4.(1)M 为曲线 C1上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足| OM|OP|16，求点 P 的轨迹 C2的直角坐标方程；(2)设点 A 的极坐标为 ，点 B 在曲线 C2
11、上，求 OAB 面积的最大值(2， 3)解 (1)设点 P 的极坐标为( ， )( 0)，点 M 的极坐标为( 1， )( 10)，由题设知，|OP| ，| OM| 1 .4cos 由| OM|OP|16，得 C2的极坐标方程 4cos ( 0)所以 C2的直角坐标方程为( x2) 2 y24( x0)(2)设点 B 的极坐标为( B， )( B0)8由题设知| OA|2， B4cos .于是 OAB 的面积S |OA| Bsin AOB124cos |sin( 3)|4cos |12sin 32cos |sin 2 cos 2 |3 32 2 .|sin(2 3) 32| 3当 2 ，即 时
12、， S 取得最大值 2 ， 3 2 12 3所以 OAB 面积的最大值为 2 .3押题预测1已知曲线 C 的极坐标方程是 4cos .以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是Error!( t 是参数)(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A， B 两点，且| AB| ，求直线的倾斜角 的值13押题依据 极坐标方程和参数方程的综合问题一直是高考命题的热点本题考查了等价转换思想，代数式变形能力，逻辑推理能力，是一道颇具代表性的题解 (1)由 4cos ，得 24 cos .因为 x2 y2 2
13、， x cos ，所以 x2 y24 x，即曲线 C 的直角坐标方程为( x2) 2 y24.(2)将Error! 代入圆的方程( x2) 2 y24，得( tcos 1) 2( tsin )24，化简得 t22 tcos 30.设 A， B 两点对应的参数分别为 t1， t2，由根与系数的关系，得Error!所以| AB| t1 t2| t1 t22 4t1t2 ，4cos2 12 13故 4cos2 1，解得 cos .129因为直线的倾斜角 0，)，所以 或 . 3 232在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：Error!( 为参数)，其中 ab0.以 O 为极点， x 轴的正半轴为
14、极轴的极坐标系中，曲线 C2： 2cos ，射线 l： ( 0)若射线 l与曲线 C1交于点 P，当 0 时，射线 l 与曲线 C2交于点 Q，| PQ|1；当 时，射线 2l 与曲线 C2交于点 O，| OP| .3(1)求曲线 C1的普通方程；(2)设直线 l：Error!( t 为参数， t0)与曲线 C2交于点 R，若 ，求 OPR 的面积 3押题依据 将椭圆和直线的参数方程、圆和射线的极坐标方程相交汇，考查相应知识的理解和运用，解题中，需要将已知条件合理转化，灵活变形，符合高考命题趋势解 (1)因为曲线 C1的参数方程为Error!( 为参数)，且 ab0，所以曲线 C1的普通方程为
15、 1，而其极坐标方程为 1.x2a2 y2b2 2cos2a2 2sin2b2将 0( 0)代入 1， 2cos2a2 2sin2b2得 a，即点 P 的极坐标为 ；(a， 0)将 0( 0)代入 2cos ，得 2，即点 Q 的极坐标为(2,0)因为| PQ|1，所以| PQ| a2|1，所以 a1 或 a3.将 ( 0)代入 1， 2 2cos2a2 2sin2b2得 b，即点 P 的极坐标为 ，(b， 2)因为| OP| ，所以 b .又因为 ab0，所以 a3，3 3所以曲线 C1的普通方程为 1.x29 y23(2)因为直线 l的参数方程为Error!( t 为参数， t0)，所以直
16、线 l的普通方程为 y x(x0)，3而其极坐标方程为 ( R， 0)， 3所以将直线 l的方程 代入曲线 C2的方程 2cos ，得 1，即| OR|1. 3因为将射线 l 的方程 ( 0)代入曲线 C1的方程 1， 3 2cos29 2sin2310得 ，即| OP| ，3105 3105所以 S OPR |OP|OR|sin POR12 1sin .12 3105 23 33020A 组 专题通关1(2018百校联盟 TOP20 联考)已知平面直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为Error!( 为参数)，直线 l1： x0，直线 l2： x y0，以原点为极点， x 轴正半轴为极轴，建立
17、极坐标系(1)写出曲线 C 和直线 l1， l2的极坐标方程；(2)若直线 l1与曲线 C 交于 O， A 两点，直线 l2与曲线 C 交于 O， B 两点，求| AB|.解 (1)依题意知，曲线 C：( x1) 2 25，即 x22 x y24 y0，(y 2)将 x cos ， y sin 代入上式，得 2cos 4sin .因为直线 l1： x0，直线 l2： x y0，故直线 l1， l2的极坐标方程为 l1： ( R)， 2l2： ( R) 4(2)设 A， B 两点对应的极径分别为 1， 2，在 2cos 4sin 中，令 ，得 12cos 4sin 4， 2 2 2令 ，得 22
18、cos 4sin 3 ， 4 4 4 2因为 ， 2 4 4所以| AB| . 21 2 2 1 2cos 4 102(2018衡水金卷模拟)以平面直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，已知直线 l 的极坐标方程是 sin 1，圆 C 的参数方程( 3)为Error! ( 为参数， r0)(1)若直线 l 与圆 C 有公共点，求实数 r 的取值范围；11(2)当 r2 时，过点 D(2,0)且与直线 l 平行的直线 l交圆 C 于 A， B 两点，求的值|1|DA| 1|DB|解 (1)由 sin 1，( 3)得 1，(sin cos 3 cos sin
19、 3)即 y x1，12 32故直线 l 的直角坐标方程为 x y20.3由Error! 得Error!所以圆 C 的普通方程为( x1) 2 y2 r2.若直线 l 与圆 C 有公共点，则圆心(1,0)到直线 l 的距离 d r，即|31 10 2|3 1r ，3 22故实数 r 的取值范围为 .3 22 ， )(2)因为直线 l的倾斜角为 ，且过点 D(2,0)， 3所以直线 l的参数方程为Error!( t 为参数)，圆 C 的直角坐标方程为( x1) 2 y24，联立，得 t2 t30，设 A， B 两点对应的参数分别为 t1， t2，则 t1 t21， t1t230 且 a1)，点
20、P 的轨迹为曲线 C2.OP OM (1)求曲线 C2的方程，并说明 C2是什么曲线；(2)在以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中， A 点的极坐标为 ，(2， 3)射线 与 C2的异于极点的交点为 B，已知 AOB 面积的最大值为 42 ，求 a 的值3解 (1)设 P(x， y)， M ，(x0， y0)由 a ，得Error!Error!OP OM 点 M 在 C1上，Error! 即Error!( 为参数)，消去参数 ，得 2 y24 a2(a0 且 a1)(x 2a)曲线 C2是以 为圆心，以 2a 为半径的圆(2a， 0)(2)方法一 A 点的直角坐标为(1， )
21、，3直线 OA 的普通方程为 y x，即 x y0.3 3设 B 点坐标为(2 a2 acos ，2 asin )，则 B 点到直线 x y0 的距离 d3a|23cos 2sin 23|2 a .|2cos( 6) 3|当 时， dmax( 2) a. 6 313 S AOB的最大值为 2( 2) a42 ， a2.12 3 3方法二 将 x cos ， y sin 代入 2 y24 a2，并整理得 4 acos ，(x 2a)令 ，得 4 acos . B .(4acos ， ) S AOB |OA|OB|sin AOB124 acos a|2sin cos 2 cos2 |sin( 3)
22、| 3 a|sin 2 cos 2 | a ，3 3 |2sin(2 3) 3|当 时， S AOB取得最大值(2 )a，12 3依题意知(2 )a42 ， a2.3 35(2018河南省南阳市第一中学考试)在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线 M 的参数方程为Error!( 为参数)， l1， l2为过点 O 的两条直线， l1交 M 于 A， B 两点， l2交 M 于 C， D 两点，且 l1的倾斜角为 ， AOC . 6(1)求 l1和 M 的极坐标方程；(2)当 时，求点 O 到 A， B， C， D 四点的距离之和的最大值(0， 6解
23、(1)依题意知，直线 l1的极坐标方程为 ( R)，由Error! 消去 ，得( x1) 2( y1) 21，将 x cos ， y sin 代入上式，得 22 cos 2 sin 10，故 M 的极坐标方程为 22 cos 2 sin 10.(2)依题意可设 A( 1， )， B( 2， )， C ，( 3， 6)D ，且 1， 2， 3， 4均为正数，( 4， 6)将 代入 22 cos 2 sin 10，14得 22(cos sin ) 10，所以 1 22(cos sin )，同理可得， 3 42 ，cos( 6) sin( 6)所以点 O 到 A， B， C， D 四点的距离之和为
24、1 2 3 42(cos sin )2cos( 6) sin( 6)(1 )sin (3 )cos 2(1 )sin ，3 3 3 ( 3)因为 ，所以 ，(0， 6 3 ( 3， 2所以当 sin sin 1，即 时，( 3) 2 6 1 2 3 4取得最大值 22 ，3所以点 O 到 A， B， C， D 四点距离之和的最大值为 22 .3B 组 能力提高6在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 E 经过点 P ，其参数方程为Error!( 为参数)，(1，233)以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线 E 的极坐标方程；(2)若直线 l 交 E 于点 A， B，且
25、 OA OB，求证： 为定值，并求出这个定值1|OA|2 1|OB|2解 (1)将点 P 代入曲线 E 的方程，(1，233)得Error!解得 a23，所以曲线 E 的普通方程为 1，x23 y22极坐标方程为 2 1.(13cos2 12sin2 )(2)不妨设点 A， B 的极坐标分别为A( 1， )， B ， 10， 20，( 2， 2)则Error!即Error!所以 ，即 ，1 21 1 2 56 1|OA|2 1|OB|2 5615所以 为定值 .1|OA|2 1|OB|2 567已知在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， P 点的极坐
26、标为 ，曲线 C 的极坐标方程为 2cos ( 为参数)(3， 4) ( 4)(1)写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的直角坐标方程；(2)若 Q 为曲线 C 上的动点，求 PQ 的中点 M 到直线 l：2 cos 4 sin 的距离的2最小值解 (1)点 P 的直角坐标为 ，(322， 322)由 2cos ，( 4)得 2 cos sin ，2 2将 2 x2 y2， cos x， sin y 代入，可得曲线 C 的直角坐标方程为2 21.(x22) (y 22)(2)直线 2 cos 4 sin 的直角坐标方程为 2x4 y 0，2 2设点 Q 的直角坐标为 ，(22 cos ， 22
27、sin )则 M ，(2cos 2 ， 2 sin 2 )点 M 到直线 l 的距离d|2(2 cos 2 ) 4(2 sin 2 ) 2|22 42|52 cos 2sin |25 ，其中 tan .52 5sin 25 12 d (当且仅当 sin( )1 时取等号)，52 525 10 12点 M 到直线 l：2 cos 4 sin 的距离的最小值为 .210 128已知 0，)，在直角坐标系 xOy 中，直线 l1的参数方程为Error!( t 为参数)；在以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l2的极坐标方程为 cos( )2sin ( 为参数)( 6)(
28、1)求证： l1 l2；16(2)设点 A 的极坐标为 ， P 为直线 l1， l2的交点，求| OP|AP|的最大值(2， 3)(1)证明 易知直线 l1的普通方程为 xsin ycos 0.又 cos( )2sin 可变形为( 6) cos cos sin sin 2sin ，( 6)即直线 l2的直角坐标方程为xcos ysin 2sin 0.( 6)因为 sin cos (cos )sin 0，根据两直线垂直的条件可知， l1 l2.(2)解 当 2， 时， 3 cos( )2cos 2sin ，( 3 ) ( 6)所以点 A 在直线 cos( )2sin 上(2， 3) ( 6)设点 P 到直线 OA 的距离为 d，由 l1 l2可知， d 的最大值为 1.|OA|2于是| OP|AP| d|OA|2 d2，所以| OP|AP|的最大值为 2.
