1、1专题 01 集合的含义与表示考点 1 集合的含义考点 2 集合的确定性、互异性、无序性考点 3 集合的分类与表示方法考点 1 集合的含义要点阐述1集合的含义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）2元素与集合的关系：（1）对任何 a 与 A，在 a A 与 aA 这两种情况中必有一种且只有一种成立（2）符号“”“”是表示元素与集合之间的关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系典型例题【例】已知 21Mx|a,Z，则有A 1B 0C 2MD 1M【名师点睛】解决本题的关键是根据集合 M 中元素的一般形式分别判断 1，0，2， 是否为该集合中的元素，即分别判断
2、方程 21a=1，0，2， 1是否有整数解小试牛刀1下列各组对象不能构成集合的是2A所有的直角三角形 B不超过 10 的非负数C著名的艺术家 D方程 x22 x30 的所有实数根【答案】C【解析】A，B，D 中的元素是确定的，都能构成集合但 C 中的“著名艺术家”的标准不明确，不满足确定性，所以不能构成集合故选 C【易错易混】集合是一个比较宽泛的概念，集合中的元素不一定是数，可以是点，可以是字母等，只要是研究的对象即可，集合中的元素必须是确定的2设 集 合 M=0， 1， 2， 则A1 M B2 M C3 M D0 M【答案】A【思路小结】元素在集合中是属于关系，元素不再集合中是不属于关系，判
3、断的时候，只需逐一验证即可，要注意符号的书写3表 示 正 整 数 集 的 是AQ BN CN* DZ【答案】C【解析】Q 表 示 有 理 数 集 ， N 表 示 自 然 数 集 ， N*表 示 正 整 数 集 ， Z 表 示 整 数 集 故 选 C4已知方程 （ x2016） 20 的解集为 A，则2016 与 A 的关系为x 2015A B C D【答案】A【解析】集合 A2015，2016，故2016 A【秒杀技】只需看到-2016 是方程的解，便知-2016 在集合 A 中，即可确定出答案5设不等式 32 x0，所以 0 不属于 M，即 0M；当 x2 时，32 x11 的解【答案】C【
4、名师点睛】集合中元素的三个特性：（1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都必须明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一（2）互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任意两个元素都是不同的（3）无序性：集合中元素的排列无先后顺序，任意调换集合中元素的位置，集合不变判断指定的对象能不能组成集合，关键是看作为集合的元素是否具有确定性，也就是能否找到一个明确的标准小试牛刀61下 列 不 属 于 集 合 中 元 素 的 特 性 的 是A确定性 B真实性 C互异性 D无序性【答案】B【解析】集 合 元 素 有 三 个 特 性 ： 确 定 性 ， 互 异 性 ， 无 序
5、 性 故 选 B2集合 M 是由大于2 且小于 1 的实数构成的，则下列关系式正确的是A 5 M B0 M C1 M D 2 M【答案】D【解析】 M= 21x， 2，故 D 正确3若集合 A 由 x， |两元素构成，则 x 应满足A x0 B x04集合 231x， ， 中，元素 x 应满足的条件是A B 3xC 3xx且 且 D 13x或 或【答案】C【解析】根据集合元素的互异性得 x2_2x1 且 x22x3，解得 1且 且 故选 C【易错易混】集合中元素含有字母时，应注意元素的互异性5集合 A 中只有两个元素， a3 和 2a1，若3 A，则实数 a 的值为A3 B0 C0 或1 D不
6、存在【答案】C7【秒杀技】因为有 a3 和 2a1 两个数，应该有两种情况， a=1，两个数不相等，故肯定选 C6集合 M 中含有三个元素 a， b， c，其中 a， b， c 是三角形 ABC 的三边长，则 ABC 一定不是A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰三角形【答案】D【解析】因为 a， b， c 为集合中的元素，所以 a， b， c 中任意两个不相等，故不能构成等腰三角形7定义集合 A、 B 的一种运算： A*B x|x x1 x2，其中 x1 A， x2 B，若 A1，2，3， B1，2，试求 A*B 中的所有元素数字之和【解析】 x1 A， x2 B， x1 x2的所有
7、结果如下表所示： A*B 的所有元素之和为 234514考题速递1若以 x， y， z， w 为元素的集合 A，当以 A 中的四个实数为边长构成一个四边形时这个四边形可能是A梯形 B平行四边形 C菱形 D矩形【答案】A【解析】由集合元素的互异性可知 x， y， z， w 两两不相等，排除 B，C，D故选 A2集合 x|x 为一条边为 2，一个内角为 30的等腰三角形中元素的个数为A1 B2 C3 D4【答案】D【解析】若 2 为底边长时，30角可以是顶角或底角两种情形；若 2 为腰长时，30角也可以是顶角或底角两种情形故集合中有 4 个元素故选 D3设 P， Q 为两个非空实数集合， P 中含
8、有 0，2，5 三个元素， Q 中含有 1，2，6 三个元素，定义集合P Q 中的元素是 a b，其中 aP， b Q，则集合 P Q 中元素的个数是8A9 B8 C7 D6【答案】B【解析】 P Q 中的元素有 1，2，3，4，6，7，8，11 共 8 个4已知 x， y， z 为非零实数，代数式 |xyzxy的值所组成的集合是 M，则下列判断正确的是A0 M B2 M C4 M D4 M【答案】D数学文化一个关于集合的脑筋急转弯：两对父子一起到餐厅用餐，服务员却只给了他们三副餐具，为什么？可能有些人就想不明白了其实，只有我、爸爸和爷爷三个人，重复了爸爸这个人，当然只需要三副餐具这个脑筋急转
9、弯已经体现出“集合元素的互异性”在生活中的应用9考点 3 集合的分类与表示方法要点阐述1集合的分类有限集、无限集有限集：含有有限个元素的集合称之为有限集无限集：含有无限个元素的集合称之为无限集2集合的表示方法列举法、描述法（1）列举法把集合中的元素一一列举出来，并用大括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法例如方程 x21=0 的所有解组成的集合可以表示为1，1（2）描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法格式： x A|P（ x），含义：在集合 A 中满足条件 P（ x）的 x 的集合如：不等式 x32 的解集可以表示为 xR| x32或 x|x32所有直角三角形组成的集合可以表
10、示为： x|x 是直角三角形典型例题【例】选择适当的方法表示下列集合：（1）1 和 70 组成的集合；（2）大于 1 且小于 70 的自然数组成的集合（3）大于 1 且小于 70 的实数组成的集合（4）平面直角坐标系中函数 2yx图象上的所有点组成的集合【答案】答案详见解析（3）设大于 1 且小于 70 的实数组成的集合为 C，则集合 C 中有无数个元素，用描述法表示为|70Cx10（4）设平面直角坐标系中函数 2yx图象上的所有点组成的集合为 E，函数 2yx图象上的点可以用坐标 (,)xy表示，则有 (,)|【名师点睛】由于本题（2）中的集合 B 中的元素是大于 1 且小于 70 的自然数
11、，具有规律性，所以还可以表示为 B2，3，69注意：由于用以表示集合的大括号已有概括“全体元素”之意，因此在大括号内不应再出现“全体”、“所有”、“集”等词例如， Q=全体有理数集， R=实数集都是错误的对于元素较少的集合宜采用列举法表示，用列举法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏、不计次序；对于元素较多的集合宜采用描述法表示但是对于有些元素较多的集合，如果其中的元素具有规律性，那么也可以用列举法表示，常用省略号表示多个元素但要注意不要忽略集合中元素的代表形式小试牛刀1下列集合为有限集的是A由大于 10 的所有自然数组成的集合B平面内到一个定点的距离等于定长的所有点 P 组成的集合C由 24
12、与 30 的所有公约数组成的集合D由 24 与 30 的所有公倍数组成的集合【答案】C【解析】根据有限集的概念判断即可2 下列说法错误的是A平面直角坐标系中的所有整点（纵横坐标都是整数的点）可形成一个集合B小于 0.01 的整数的集合是有限集C0Q，0ZD方程 x20 的实数根组成的集合，表示仅含有一个元素 0 的集合【答案】B【解析】小于 0.01 的整数有无数个3用 列 举 法 表 示 集 合 x|x22x+1=0为A 1， 1 B 1 C x=1 D x22x+1=011【答案】B【规律小结】集合的两种常用表示方法列举法、描述法，各有优缺点列举法表示易看清集合中的元素，但元素太多时不易使
13、用；描述法可以看清集合中元素的特征，但对于认识集合而言抽象些故应根据具体问题确定采用哪种表示方法，即选择适当的方法来表示集合4集合1， ， ，2， ， 用描述法表示为2 3 5A x|x n， nN * B x|x ， nN *nC x|x ， nN D x|x n2， nN *n【答案】B【解析】注意到集合中的元素的特征为 ，且 nN *，所以用描述法可表示为 x|x ， nN *n n【解题技巧】用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用联结词“且”与“或”等联结；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围5集合 xN| x3的另一种表示方法为A0，1
14、，2，3 B1，2，3C1，2，3，4 D0，1，2，3，4【答案】A【解析】N 表示自然数集0，1，2，3，题目要求 x3故选 A6下 列 集 合 中 ， 不 同 于 另 外 三 个 集 合 的 是A x|x=1 B x|x2=1C 1 D y|（ y1） 2=0【答案】B【解析】A x|x=1=1 B x|x2=1=x|x=1 或 x=1=1， 1 D y|（ y1） 2=0=y|y=1=1 只 有 B 和 另 外 三 个 集 合 不 同 故 选 B【易错易混】读懂集合中元素的属性是解决这类问题的关键考题速递121下 列 集 合 表 示 方 法 正 确 的 是A1，3，3 B全体实数C2，
15、4 D不等式 x210 的解集是 x210【答案】C【解析】对 于 A， 不 满 足 元 素 的 互 异 性 ； 对 于 B， 不 需 要 全 体 ； 对 于 C， 正 确 ； D 是 用 描 述法 ， 不 正 确 ， 应 该 为 不 等 式 x210 的 解 集 是 x|x1 或 x0， xR， yR【解析】 （1）设集合为 A，因为 10 以内的正偶数只有 2，4，6，8，所以用列举法表示为A2，4，6，8（2）设集合为 B，元素为 y，用描述法表示为 B y|y43 x， xN *（3）设集合为 C，元素为（ x， y） ，用描述法表示为 C（ x， y）| xy0， xR， yR数学文化音乐如何整理分类？13音乐越来越多，有流行的有古典的，有摇滚有无人唱的怎样能找到一种统一的整理方法以便利于提取？分类的方法有很多种比如：语种：华语，英语，日韩，小语种主题：影视，动漫，舞曲，网络，古典，经典流派：流行，摇滚，爵士心情：伤感，安静，浪漫，幸福，思念，开心，忧郁的当然也可以按个人的喜好但综上的分类方法都是按照一个一个的集合来进行分类的
