1、1专题 02 空间点线面位置关系专题一重难点剖析1. 正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、斜高、底面正多边形、内切圆半径、外接圆半径、底面边长的一半构成的直角三角形中解决.圆柱、圆锥、圆台、球应抓住它们是旋转体这一特点，弄清旋转轴、旋转面、轴截面.台体可以看成是由锥体截得的,但一定强调截面与底面平行.2 在绘制三视图时，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线.在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被挡住的轮廓画成虚线,并做到“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”.在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于 x 轴的线段平行性不变，长度不变；平行于 y 轴的线段平行性不变，长度
2、减半”.3 多面体、旋转体与球的外接、内切问题是高考考查的重点，此类问题多借助轴截面将立体几何问题转化为平面几何问题，然后通过解三角形求解4 求空间几何体的体积与表面积时，如果是组合体，关键是将组合体合理地分解成几个简单空间几何体；而对于锥、柱、台的体积与表面积，主要是计算底面积与高(斜高)5 判断或证明直线和平面垂直的主要方法有：(1)利用直线和平面垂直的定义；(2)利用直线和平面垂直的判定定理；(3)转化为另一条平行线和这个平面垂直；6.判定或证明两平面垂直有两种方法：一是根据定义判断；二是由判定定理确定.面面垂直与线面垂直、线线垂直是密切相关的，解题时要注意三者的相互转化.在证明两平面垂
3、直时，一般先从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决.而作辅助线则应有理论根据，并有利于证明，不能随意添加.如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.7.立体几何的证明关键是学会分析和掌握一些常规的证明方法如：已知中点证明垂直时要首先考虑等腰三角形中的“三线合一” ；已知线段或角度等数量关系较多时最好标示出来，充分进行计算，从而发现蕴含的垂直等关系；已知线面垂直时会有哪些结论，是选择线线垂直还是选择面面垂直；要证明结论或要得到哪个结论，就必须满足什么条件等 8.面面垂直的性质定理的关键是“垂直于交
4、线，则垂直于平面” ，所以已知面面垂直，首先应找交线，看是否在某个平面内存在直线垂直于交线，若无，肯定要向交线作垂线在不同平面内向交线作垂线都能解决问题，但难度显然不同，做题前应认真分析9.证明线线、线面、面面平行或垂直时需要注意以下几点：(1)由已知想性质，由求证想判定，即分析法和综合法相结合寻找解题思路(2)利用题设条件添加适当的辅助线或辅助面是解题的常用方法之一例如：证明平行时遇到中点要设法构造中位线或平行四边形，而证明垂直时则要构造等腰三角形的中线、高线、角平分线三线合一；证明线面、面面垂直时要注意条件的充分性，已知线面垂直或面面垂直时要用好性质，构造适当的辅助面 210.判定直线与平
5、面平行的三种方法：(1)利用定义(常用反证法)(2) 判定定理: 关键是找平面内与已知直线平行的直线.可先直观判断平面内是否已有,若没有,则需作出该直线,常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.(3) 利用面面平行的性质定理. 11. 证明平行、垂直问题蕴含着丰富的数学思想（主要是转化思想） 。复习中如果能够适时地渗透有关的数学思想，不仅有助于降低学习难度，把握知识本质和内在规律，还可以提高数学素养，发展思维能力。平行与垂直是对立统一的辩证关系.通过平行转化某些垂直关系，是一个重要的解题技巧.二典例剖析1. 三视图的计算与求解常考查：三视图的识别与还原问题；以三视图
6、为载体考查空间几何体的表面积、体积等问题主要考查学生的空间想象能力及运算能力，是近几年高考的热点例 1 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 84 B. 82 C. 8 D. 82【分析】几何体是正方体切去两个 14圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算【答案】C【点评】(1)可以从熟知的某一视图出发，想象出直观图，再验证其他视图是否正确；(2)视图中标注的长度在直观图中代表什么，要分辨清楚；(3)视图之间的数量关系：正俯长对正，正侧高平齐，侧俯宽相等例某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为 _ 3【分析】由
7、主视图知 CD平面 ABC、B 点在 AC 上的射影为 AC 中点及 AC 长，由左视图可知 CD 长及ABC中变 AC 的高，利用勾股定理即可求出最长棱 BD 的长【答案】2 【点评】本题考查点、线、面间的距离计算，考查空间图形的三视图，考查学生的空间想象能力，考查学生分析解决问题的能力解决本题的关键是正确画出辅助线，确定实际图形中线段的长度，利用勾股定理求解即可。2空间几何体的表面积与体积此类问题常以三视图、空间几何体、组合体为载体，来求解几何体的表面积或体积，试题以客观题为主，多为容易题例 3.将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是（ ）4A. 4
8、B. 3 C. 2 D. 【分析】边长为 1 的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积【答案】C【解析】边长为 1 的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：1 21= ，故选：C【点评】本题是基础题，考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，若几何体的底不规则，也需采用同样的方法，将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形，易于求解。例 4 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为（ ）A. 81 B. 6 C. 9 D. 7
9、【分析】正四棱锥 PABCD 的外接球的球心在它的高 PO1上，记为 O，求出 PO1，OO 1，解出球的半径，求出球的表面积 【答案】A【点评】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系.3线面位置关系的判断例 5.如图在正方体 ABCDA 1B1C1D1中，O 是底面 ABCD 的中心，B 1HD 1O，H 为垂足，则 B1H 与平面 AD1C的位置关系是（ ）5A垂直 B平行 C斜交 D以上都不对【分析】连接 B1D1，BD，证明 AC平面 BDD1B1，通过证明 ACB 1H，B 1HD
10、 1O，ACD 1O=O，推出结果【答案】A【点评】本小题主要考查空间线面垂直关系，化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力4开放探索问题例 5 如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M满足 时，平面 MBD平面 PCD （只要填写一个你认为是正确的条件即可）【分析】由题意要得到平面 MBD平面 PCD，容易推得 ACBD，只需 AC 垂直平面 MBD 内的与 BD 相交的直线即可【答案】DMPC（或 BMPC 等）【解析】由定理可知，BDPC当 DMPC（或 BMPC）时，即有 PC平面 MBD，6而 PC平
11、面 PCD，平面 MBD平面 PCD故选 DMPC（或 BMPC 等） 。【点评】本题考查直线与平面平行与垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题例 4.如图，AB 是O 的直径，C 是圆周上不同于 A、B 的点，PA 垂直于O 所在平面 AEPB 于 E，AFPC于 F，因此 平面 PBC（请填图上的一条直线）【分析】根据题意，BCAC 且 BCPA，结合线面垂直的判定定理，得到 BC平面 PAC，从而得到平面PBC平面 PAC，而 AF 在平面 PAC 内且垂直于交线 PC，联想平面与平面垂直的性质定理，得到 AF平面PBC，最后用直线与平面垂直的判定理可证出这个结论【答案】A
12、F【点评】本题给出一个探索性问题，通过寻找已知平面的垂线，着重考查了直线与平面垂直的判定与性质和平面与平面垂直的性质等知识点，属于中档题基础巩固：一选择题1. 以下四个命题中，正确命题的是（ ） 。(A)不共面的四点中，其中任意三点不共线；(B)若点 A、 B、 C、 D 共面，点 A、 B、 C、 E 共面，则 A、 B、 C、 D、 E 共面；(C)若直线 a、 b 共面，直线 a、 c 共面，则直线 b、 c 共面；（D）依次首尾相接的四条线段必共面【答案】A7【解析】(A)正确，可以用反证法证明；(B).从条件看出两平面有三个公共点 A、 B、 C，但是若 A、 B、 C 共线，则结论
13、不正确；(C)不正确，共面不具有传递性；(D)不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上2.若 a 不平行于平面 ，且 a ，则下列结论成立的是（ ） 。(A) 内的所有直线与 a 异面(B) 内与 a 平行的直线不存在(C) 内存在唯一的直线与 a 平行(D) 内的直线与 a 都相交【答案】B3.设 b、 c 表示两条直线， ， 表示两个平面，则下列命题是真命题的是（ ） 。(A)若 b ， c ，则 b c (B)若 b ， b c，则 c (C)若 c ， ，则 c (D)若 c ， c ，则 【答案】D【解析】A 中， b， c 亦可能异面；B 中，也可能是 c ；C 中，
14、c 与 的关系还可能是斜交、平行或c ；D 中，由面面垂直的判定定理可知正确4. 过平行六面体 1DCA任意两条棱的中点作直线，其中与平面 1DB平行的直线共有（ ）A、4 条 B、6 条 C、16 条 D、12 条【答案】D 【解析】 如图，结合三角形的中位线性质，可知与 BD 平行的直线，有 4 条；与 1D平行的直线也有 4 条；与平面 1DB平行的直线有 2 条；与平面 1B平行的直线有 2 条，故共有 12 条。二填空题5. 已知 m、 n 是不同的直线， 、 是不重合的平面，给出下列命题：若 m ，则 m 平行于平面 内的无数条直线；若 ， m ， n ，则 m n；若 m ， n
15、 ， m n，则 ；8若 ， m ，则 m .其中，真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)【答案】【解析】中 ， m ， n m n 或 m， n 异面，所以错误而其它命题都正确6.正方体 AC1中， E、 F 分别是线段 C1D、 BC 的中点，则直线 A1B 与直线 EF 的位置关系是_【答案】相交三解答题7. 已知 ABCD为平行四边形， 2AB， C， 45AB， EFC是长方形， S是 EF的中点， ,5E平面 F平面 D， （）求证： SABC；（）求直线 D与平面 EF所成角的正切值【解析】 （）做 M于 点，连结 ,MA因为 S是 EF的中点， ,2MB2,45,ABABCS
16、C面（）作 ,DNSN于 点 ， 连 结平面 BEFC平面 AD，SNBEFCDN面 ， 是 与 面 所 成 的 角 ，9,1326tan13,2SNDSND所以直线 与平面 BEFC所成角的正切值为.8. 如图，在四棱锥 SAD中，底面 ABC是菱形， SABCD平， M为 SA的中点， N为CD的中点（）证明：平面 SBD平面 AC； （）证明：直线 MN平 10四边形 CNME 是平行四边形，MN/CE, 又 MN 平面 SBC, CE 平面 SBC, 直线 MNSBC平 11能力拓展：一选择题1. 给出下列四个命题：如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；两条直线可以确定一个平面
17、；若 M ， M ， l，则 M l；空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内其中真命题的个数为_A.1 B .2 C .3 D.4【答案】A【解析】根据平面的基本性质知正确答案 12. 已知 a，b 表示直线， 表示平面。以（1） ba；（2） /；（3） a中的两个为条件，剩下的一个为结论，可以组成真命题的个数是（ ）A、0 B、1 C、2 D、3【答案】B 3. 如图，在三棱柱 ABCABC中，点 E、F、H、 K 分别为 AC、CB、AB、BC的中点，G 为ABC 的重心. 从 K、H、G、B中取一点作为 P， 使得该棱柱恰有 2 条棱与平面 PEF 平行，则 P 为 12（ ）A.
18、 K B. H C. G D. B【答案】C 【解析】显然 EF/AB,AB/EF,若选 K，还有 FK/CC；若选 B为 P 点，只有棱 AB 与面 PEF 平行；若选 H，将有 6 条棱与平面 PEF 平行。4. 如图是一几何体的平面展开图，其中 ABCD 为矩形，E、F 分别为 PA、PD 的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：直线 BE 与直线 CF 异面；直线 BE 与直线 AF 异面；直线 EF/平面 PBC；平面 BCE平面 PAD=EF其中正确的个数为 （ ）A 1 B 2 C 3 D 4【答案】C错；显然直线 BE 与直线 AF 异面，故正确；13因为 /EFBC，EF 平
19、面 PBC，所以 /EF平面 PBC，故正确；由 E、F、C、B 四点共面知 正确。二填空题5. 设 ， ， 是三个不重合的平面， l 是直线，给出下列四个命题：若 ， l ，则 l ；若 l ， l ，则 ；若 l 上有两点到 的距离相等，则 l ；若 ， ，则 .其中正确命题的序号是_【答案】 6.三棱锥 ABCP中，底面 为直角三角形，且斜边 13BC，两直角边 5AC， 12B，又13，对于下列结论： P在底面 ABC的射影是 的中点； 在底面 的射影是底面 ABC的内心； 与底面 成 60角；三棱锥 的体积为 35.则其中正确的结论的序号是_.【答案】.【解析】 PCBA， 在底面
20、的射影是底面 ABC的外心，又 为直角三角形， 的外心为斜边 的中点.14故对.所以正确结论的序号为.三解答题7 如图，棱柱 ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD 为菱形，平面 AA1C1C平面 ABCD.（1）证明：BDAA 1；（2）证明：平面 AB1C/平面 DA1C1（3）在直线 CC1上是否存在点 P，使 BP/平面 DA1C1？若存在，求出点 P 的位置；若不存在，说明理由15证明：连 BD， 面 ABCD 为菱形，BDAC由于平面 AA1C1C平面 ABCD，则 BD平面 AA1C1C 故：BDAA 1 连 AB1，B 1C，由棱柱 ABCD-A1B1C1D1的性质知 AB
21、1/DC1，AD/B 1C，AB 1B 1C=B1,A1DDC 1=D由面面平行的判定定理知：平面 AB1C/平面 DA1C1存在这样的点 P因为 A1B1ABDC，四边形 A1B1CD 为平行四边形.A 1D/B1C在 C1C 的延长线上取点 P，使 C1C=CP，连接 BP，因 B1BCC 1，BB 1CP，四边形 BB1CP 为平行四边形 则 BP/B1C，BP/A 1DBP/ 平面 DA1C18. 如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 为矩形，SA平面 ABCD，二面角 SCDA 的平面角为 45，M 为 AB 中点，N 为 SC 中点.（1）证明：MN/平面 SAD；（2）证明：平面 SMC平面 SCD；（3）若ADC，求实数 的值，使得直线 SM 与平面 SCD 所成角为 .3016SACD，底面 ABCD 为矩形， ,ACD又 ,即 30MSN17而 MN=AE=2,aRtSAM中，22(),a而2,MNAEat中，由sinS得221,()a解得 当 时，直线 SM 与平面 SCD 所成角为 30
