1、理科数学 第 1页 共4 页重庆市中山外国语高2016级期中测试理科数学理科数学测试卷共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第 卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的（1）设全集 U R， 集合 A1， 0， 1， 2， B x | log2 x1， 则 A( UB)（A） 1， 2 （B） 1， 0， 2 （C） 2 （D） 1， 0（2）复数 z 满足 z(12i) 3i ， 则 z （A） 1i （B） 1i （C） 1 i5 （ D） 1 i5 （ 3） 设 等 差 数 列 na 的 前 n项
2、 和 为 nS ， 若 73 a ， 123 S ， 则 10a（ A） 10 （ B） 28 （ C） 30 （ D） 145（ 4） “ 1cos2 2 ” 是 “ ( )6k k Z ” 的（ A） 充 分 不 必 要 条 件 （ B） 必 要 不 充 分 条 件（ C） 充 要 条 件 （ D） 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件（ 5） 已 知 定 义 域 为 I 的 偶 函 数 ( )f x 在 (0 )， 上 单 调 递 增 ， 且 0x I ， 0( ) 0f x ， 则 下 列 函 数 中 符 合 上 述条 件 的 是（ A） 2( ) | |f x x x （ B） (
3、 ) 2 2x xf x （ C） 2( ) log | |f x x （ D） 43( )f x x（ 6） 已 知 向 量 a ， b 满 足 | | 3a b 且 (0 1)b ， ， 若 向 量 a 在 向 量 b 方 向 上 的 投 影 为 2 ， 则 | |a （ A） 2 （ B） 2 3 （ C） 4 （ D） 12（ 7） 中 国 古 代 名 著 孙 子 算 经 中 的 “ 物 不 知 数 ” 问 题 ： “ 今 有 物 不 知 其 数 ， 三三 数 之 剩 二 ， 五 五 数 之 剩 三 ， 七 七 数 之 剩 二 ， 问 物 几 何 ？ ” 即 “ 有 数 被 三除 余
4、二 ， 被 五 除 余 三 ， 被 七 除 余 二 ， 问 该 数 为 多 少 ？ ” 为 解 决 此 问 题 ， 现有 同 学 设 计 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 则 框 图 中 的 “ ” 处 应 填 入（ A） 221a Z （ B） 215a Z （ C） 27a Z （ D） 23a Z 1n 开 始结 束输 出 a 1n n 否5 3a n 是理科数学 第 2页 共4 页（ 8） 如 图 ， 在 矩 形 ABCD中 ， 2AB ， 3AD ， 两 个 圆 的 半 径 都 是 1， 且 圆 心 1 2O O， 均 在 对 方 的 圆 周 上 ， 在矩 形 ABCD内 随
5、机 取 一 点 ， 则 此 点 取 自 阴 影 部 分 的 概 率 为（ A） 2+ 312 （ B） 4 2 324（ C） 10 6 336 （ D） 8+3 336（ 9） 设 函 数 6cosy x 与 5tany x 的 图 象 在 y 轴 右 侧 的 第 一 个 交 点 为 A， 过 点 A作 y 轴 的 平 行 线 交 函 数sin 2y x 的 图 象 于 点 B， 则 线 段 AB的 长 度 为（ A） 5 （ B） 3 52 （ C） 14 59 （ D） 2 5（ 10） 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 其 正 视 图 为 等 腰 梯 形 ，则 该 几
6、 何 体 的 表 面 积 是（ A） 18 （ B） 8 8 3（ C） 24 （ D） 12 6 5（ 11） 已 知 双 曲 线 2 22 2 1( 0 0)x y a ba b ， 的 左 右 焦 点 分 别 为 1 2F F， ， 点 P在 双 曲 线 的 左 支 上 ， 2PF 与 双 曲 线的 右 支 交 于 点 Q， 若 1PFQ 为 等 边 三 角 形 ， 则 该 双 曲 线 的 离 心 率 是（ A） 2 （ B） 2 （ C） 5 （ D） 7（ 12） 已 知 函 数 ( ) lnf x x a ， ( ) 1g x ax b ， 若 0x ， ( ) ( )f x g
7、x ， 则（ 14） 已 知 实 数 x y， 满 足 3 3 01 01 0x yx yx y ， 若 目 标 函 数 z ax y 在 点 (3 2)， 处 取 得 最 大 值 ， 则 实 数 a的 取 值范 围 为 2O1OAB CD2 2 24正 视 图 侧 视 图俯 视 图 2ba 的 最 小 值 是（ A） 1 e （ B） 1 e （ C） 1e （ D） 12e第 卷本 卷 包 括 必 考 题 和 选 考 题 两 部 分 。 第 13 题 第 21 题 为 必 考 题 ， 每 个 试 题 考 生 都 必 须 做 。 第 22 题 第 23题 为 选 考 题 ， 考 生 根 据
8、要 求 做 答 。二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20分 把 答 案 填 写 在 答 题 卡 相 应 位 置 上 （ 13） 某 公 司 对 一 批 产 品 的 质 量 进 行 检 测 ， 现 采 用 系 统 抽 样 的 方 法 从 100件 产 品 中 抽 取 5件 进 行 检 测 ， 对 这 100件 产 品 随 机 编 号 后 分 成 5组 ， 第 一 组 1 20 号 ， 第 二 组 21 40号 ， ， 第 五 组 81100号 ， 若 在 第 二 组中 抽 取 的 编 号 为 24， 则 在 第 四 组 中 抽 取 的 编 号 为
9、 理科数学 第 3页 共4 页（ 15） 根 据 党 中 央 关 于 “ 精 准 ” 脱 贫 的 要 求 ， 我 市 某 农 业 经 济 部 门 决 定 派 出 五 位 相 关 专 家 对 三 个 贫 困 地 区 进 行 调研 ， 每 个 地 区 至 少 派 遣 一 位 专 家 ， 其 中 甲 、 乙 两 位 专 家 需 要 派 遣 至 同 一 地 区 ， 则 不 同 的 派 遣 方 案 种 数 为（ 用 数 字 作 答 ） .（ 16） 设 集 合 2 2( )|( 3sin ) ( 3cos ) 1 A x y x y R ， ， ， ( )|3 4 10 0B x y x y ， ， 记
10、 P A B ，则 点 集 P所 表 示 的 轨 迹 长 度 为 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 70分 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 （ 17） （ 本 小 题 满 分 12 分 ）设 函 数 ( ) cos(2 ) 2sin cos6f x x x x （ ） 求 ( )f x 的 单 调 递 减 区 间 ；（ ） 在 ABC 中 ， 若 4AB ， 1( )2 2Cf ， 求 ABC 的 外 接 圆 的 面 积 次 数 10 18 12 8 2将 老 李 统 计 的 各 时 间 段 频 率 视 为 相 应 概 率
11、， 假 定 往 返 的 路 况 不 变 ， 而 且 每 次 路 上 开 车 花 费 时 间 视 为 用 车 时 间 （ ） 试 估 计 小 刘 每 天 平 均 支 付 的 租 车 费 用 （ 每 个 时 间 段 以 中 点 时 间 计 算 ） ；（ ） 小 刘 认 为 只 要 上 下 班 开 车 总 用 时 不 超 过 45分 钟 ， 租 用 “ 共 享 吉 利 博 瑞 车 ” 为 他 该 日 的 “ 最 优 选 择 ” ，小 刘 拟 租 用 该 车 上 下 班 2天 ， 设 其 中 有 天 为 “ 最 优 选 择 ” ， 求 的 分 布 列 和 数 学 期 望 （ 19） （ 本 小 题 满
12、 分 12 分 ）如 图 ， 在 三 棱 柱 1 1 1ABC ABC 中 ， AC BC ， 1CC 平 面 ABC ， 侧 面1 1ABB A 是 正 方 形 ， 点 E为 棱 AB的 中 点 ， 点 M 、 N 分 别 在 棱 1 1AB 、 1AA 上 ，且 1 1 138AM AB ， 114AN AA （ ） 证 明 ： 平 面 CMN 平 面 CEN ；（ ） 若 AC BC， 求 二 面 角 1M CN A 的 余 弦 值 E ANMCB A1C1B1（ 18） （ 本 小 题 满 分 12 分 ）重 庆 市 推 行 “ 共 享 吉 利 博 瑞 车 ” 服 务 ， 租 用 该
13、车 按 行 驶 里 程 加 用 车 时 间 收 费 ， 标 准 是 “ 1 元 /公 里 0.2 元 /分 钟 ” 刚 在 重 庆 参 加 工 作 的 小 刘 拟 租 用 “ 共 享 吉 利 博 瑞 车 ” 上 下 班 ， 同 单 位 的 邻 居 老 李 告 诉 他 ： “ 上 下 班 往 返总 路 程 虽 然 只 有 10 公 里 ， 但 偶 尔 开 车 上 下 班 总 共 也 需 花 费 大 约 1 小 时 ” ， 并 将 自 己 近 50 天 的 往 返 开 车 的 花 费 时 间情 况 统 计 如 下 ： 时 间 （ 分 钟 ） 15 25)， 25 35)， 35 45)， 45 5
14、5)， 55 65)，理科数学 第 4页 共4 页（ 20） （ 本 小 题 满 分 12 分 ）椭 圆 2 22 2: 1x yE a b ( 0)a b 的 左 右 焦 点 分 别 为 21 0 )1 (1 0( )F F ， ， ， ， 左 右 顶 点 分 别 为 21A A， ， P为 椭圆 E上 的 动 点 （ 不 与 21A A， 重 合 ） ， 且 直 线 1PA 与 2PA 的 斜 率 的 乘 积 为 43 .（ ） 求 椭 圆 E的 方 程 ；（ ） 过 2F 作 两 条 互 相 垂 直 的 直 线 1l 与 2l （ 均 不 与 x轴重 合 ） 分 别 与 椭 圆 E交 于
15、 A B C D， ， ， 四 点 ， 线段 AB、 CD的 中 点 分 别 为 M 、 N ， 求 证 ： 直 线MN过 定 点 ， 并 求 出 该 定 点 坐 标 .（ 21） （ 本 小 题 满 分 12 分 ）已 知 函 数 ( ) lnf x x ， 2( )g x ax bx ( 0 )a b R ， （ ） 若 2a ， 3b ， 求 函 数 ( ) ( ) ( )F x f x g x 的 单 调 区 间 ；（ ） 若 函 数 ( )f x 与 ( )g x 的 图 象 有 两 个 不 同 的 交 点 1 1( ( )x f x， ， 2 2( ( )x f x， ， 记 1
16、20 2x xx ， 设 ( )f x ，( )g x 分 别 是 ( ) ( )f x g x， 的 导 函 数 ， 证 明 ： 0 0( ) ( )f x g x 请 从 下 面 所 给 的 22、 23两 题 中 选 定 一 题 作 答 ， 并 用 2B铅 笔 在 答 题 卡 上 将 所 选 题 目 对 应 的 题 号 方 框 涂 黑 ， 按所 涂 题 号 进 行 评 分 ； 不 涂 、 多 涂 均 按 所 答 第 一 题 评 分 ； 多 答 按 所 答 第 一 题 评 分 。（ 22） （ 本 小 题 满 分 10 分 ） 选 修 4-4： 坐 标 系 与 参 数 方 程在 直 角 坐
17、 标 系 xOy中 ， 曲 线 1C 的 参 数 方 程 为 22x ty t （ t为 参 数 ） ， 以 原 点 O为 极 点 ， x轴 正 半 轴 为 极 轴 建立 极 坐 标 系 ， 曲 线 2C 的 极 坐 标 方 程 为 5cos . （ ） 写 出 曲 线 1C 的 极 坐 标 方 程 和 2C 的 直 角 坐 标 方 程 ；（ ） 记 曲 线 1C 和 2C 在 第 一 象 限 内 的 交 点 为 A， 点 B在 曲 线 1C 上 ， 且 2AOB ， 求 AOB 的 面 积 .（ 23） （ 本 小 题 满 分 10 分 ） 选 修 4-5： 不 等 式 选 讲已 知 函 数
18、 2( ) | 2 | | |f x x x a （ ） 若 关 于 x的 不 等 式 ( )f x a 有 解 ， 求 实 数 a的 取 值 范 围 ；（ ） 若 正 实 数 m n， 满 足 2m n a ， 当 a取 （ ） 中 最 大 值 时 ， 求 1 1m n 的 最 小 值 1A B A 2AC D1F 2F xO y 1l 2l理科数学参考答案一 、 选 择 题1 6 BABBCA 7 12 ADCCDB第 （ 12） 题 提 示 ： 由 ln 1x a ax b 得 0a ， 即 ln 1 0ax x a b ， 令 ( ) ln 1h x ax x a b ，1( )h x
19、 a x ， ( )h x 在 1(0 )a， 上 递 减 ， 在 1( )a ， 上 递 增 ，min 1( ) ( ) ln 2 0h x h a a ba ， ln 21b aa a ，令 ln 2( ) 1 xu x x ， 2ln 1( ) xu x x ， min 1( ) ( ) 1u x u ee ，所 以 1b ea 二 、 填 空 题（ 13） 64 （ 14） 1 )3 ， （ 15） 36 （ 16） 4 3第 （ 16） 题 提 示 ： 圆 2 2( 3sin ) ( 3cos ) 1x y 的 圆 心 ( 3sin 3cos ) ， 在 圆 2 2 9x y 上 ，
20、当 改 变 时 ， 该 圆 在 绕 着 原 点 转 动 ，集 合 A表 示 的 区 域 是 如 右 图 所 示 的 环 形 区 域 ，直 线 3 4 10 0x y 恰 好 与 环 形 的 小 圆 相 切 ，所 以 A B 所 表 示 的 是 直 线 3 4 10 0x y 截 圆 2 2 16x y 所 得 的 弦 长 .三 、 解 答 题（ 17） （ 本 小 题 满 分 12 分 ）解 ： （ ） 3 1( ) cos(2 ) sin 2 cos2 sin 2 sin 26 2 2f x x x x x x 2sin(2 )3x 令 2 32 2 2 2 3 2k x k ， 解 得 5
21、 12 12k x k ， k Z单 调 递 减 区 间 为 5 12 12k k ， ， k Z 6分（ ） 2 1sin( )3 2C ， 2 53 6C ， 6C ，外 接 圆 直 径 2 8sinABr C ， 4r ， 外 接 圆 面 积 16S 12分（ 18） （ 本 小 题 满 分 12 分 ）解 ： （ ） 由 题 可 得 如 下 用 车 花 费 与 相 应 频 率 的 数 表花 费 14 16 18 20 22频 率 0.2 0.36 0.24 0.16 0.04估 计 小 刘 平 均 每 天 用 车 费 用 为 14 0.2 16 0.36 18 0.24 20 0.16
22、 22 0.04 16.96 6分（ ） 可 能 的 取 值 为 0,1,2用 时 不 超 过 45钟 的 概 率 为 0.8， (2 0.8)B ， 0 0 22( 0) 0.8 0.2 0.04P C ， 1 1 12( 1) 0.8 0.2 0.32P C 2 2 02( 2) 0.8 0.2 0.64P C 0 1 2P 0.04 0.32 0.642 0.8 1.6E 12分（ 19） （ 本 小 题 满 分 12 分 ）解 ： （ ） 设 8AB ， 则 1 3AM ， 2AN ， 1 6AN ， 1tan 2ANNEA AE ，11 1tan 2AMMNA AN ， 1NEA M
23、NA ，又 2NEA ENA ， 所 以 1 2MNA ENA ， MN ENBC AC ， CE AB ， 1 1 1ABC ABC 为 直 三 棱 柱 ， CE 平 面 1 1AAB B，MN CE ， MN 平 面 CEN ， 平 面 CMN 平 面 CEN . 5分（ ） 由 AC BC ， 以 C为 原 点 1CB CA CC ， ， 分 别 为 x y z， ， 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 .3 2 5 2( 8)2 2M ， ， ， (0 4 2 2)N ， ， 设 平 面 CMN 的 法 向 量 为 1 ( )n x y z ， ， ，由 1 11 0 (9 2 2
24、 4)0n CM nn CN ， ， 平 面 1CNA 的 法 向 量 2 (1 0 0)n ， ， 设 所 求 二 面 角 平 面 角 为 ， 1 21 2 3 10cos 10| | | |n nn n 12分（ 20） （ 本 小 题 满 分 12 分 ）解 ： （ ） 设 P 0 0( )x y， ， 由 题 2 2 2 22 20 0 002 2 21x y a yx aa b b 2 2 20 0 0 00 0 3 44 3y y x a yx a x a 结 合 1c 得 ， 2 4a ， 2 3b 所 求 椭 圆 方 程 为 2 2 14 3x y 4 分（ ） 设 直 线 :
25、 ( 1)AB y k x ， 联 立 椭 圆 方 程 2 23 4 12x y 得2 2 2 2(4 3) 8 4 12 0k x k x k 得 2 22 21 8 42 4 3 4 3M k kx k k ， 23( 1) 4 3M M ky k x k 2 224 44 4 33N kx kk ， 22 13 ( )1 3( 1) 4 4 33N N kky xk kk 由 题 ， 若 直 线 AB 关 于 x轴 对 称 后 得 到 直 线 AB ， 则 得 到 的 直 线 MN 与 MN 关 于 x轴 对 称 ，所 以 若 直 线 MN 经 过 定 点 ， 该 定 点 一 定 是 直
26、 线 MN 与 MN 的 交 点 ， 该 点 必 在 x轴 上 .设 该 点 为 P ( 0)s， ， ( )M MMP s x y ， ， ( )M N M NNM x x y y ， 由 / /MP NM 得 N M M NM Nx y x ys y y ， 代 入 ,M N 坐 标 化 简 得 47s 经 过 定 点 为 4( 0)7， 12 分（ 21） （ 本 小 题 满 分 12 分 ）解 ： （ ） 2( ) ln 2 3F x x x x ， 1 (4 1)( 1)( ) 4 3 x xF x xx x ( )F x 在 1(0 )4， 上 单 调 递 增 ， 在 1( )4
27、， 上 单 调 递 减 . 4 分（ ） 20 00 0 00 01 21( ) ( ) (2 ) ax bxf x g x ax bx x 22 21 2 1 2 1 2 1 20 0 2 ( ) ( )1 2 1 2 ( )2 2 2x x x x a x x b x xax bx a b 21 1 1lnax bx x ， 22 2 2lnax bx x ，1 11 2 1 2 1 2 1 22 1 2 21( )( ) ( ) ln ( ) lnx xa x x x x b x x a x x bx x x x 12 1 2 1 2 11 2 1 2 11 2 2 22 1( ) (
28、) ln ln1xx x x x xa x x b x x xx x x xx 不 妨 设 1 2x x ， 令 1( ) ln1xh x xx ( 1)x ，下 证 1 2( 1) 4 4( ) ln 2 ln 2 ln 21 1 1 1x xh x x x xx x x x 4( ) ln 1u x x x ， 22 21 4 ( 1)( ) ( 1) ( 1)xu x x x x x ， 所 以 ( ) (1) 2u x u 21 2 1 2( ) ( ) 2a x x b x x ， 0 0( ) ( )f x g x 12 分（ 22） （ 本 小 题 满 分 10 分 ）解 ： （
29、 ） 由 题 21 : 4C y x ， 2 2sin 4 cos ， 即 2sin 4cos 2 :C 2 2 5x y x 5分（ ） 联 立 2 4y x 和 2 2 5x y x 得 1Ax ， 2Ay 设 2( )4mB m， ， 由 OA OB ， 2 1 824m mm ， (16 8)B ， 1 1| | | | 5 8 5 202 2AOBS OA OB 10 分（ 23） （ 本 小 题 满 分 10 分 ）解 ： （ ） 2 2 2| 2| | | | ( 2) ( )| | 2|x x a x x a a ， 2x 时 等 号 成 立 ( )f x 的 最 小 值 为 2| 2|a ， 2| 2|a a ， 2 2a a a ， 1 2a ， 5 分（ ） 2a 时 ， 21 1 1 12( ) ( 2 )( ) (1 2)m nm n m n 1 1 3 22m n 2 2 2 2 2m n ， 时 等 号 成 立 . 10分
