1、高二 理 科数学 第 1 页，总 8 页 黑龙江省实验 中学 2018-2019学年度上学期高 二年级 期中考试 高二数学试卷（ 理 科） 考试时间： 120 分钟 试卷 满分 ： 150 分 命题人： 李庆亮 审题人 ： 李丽 第 I卷（选择题共 60分） 一、选择题（ 12 5分 =60分） 1 抛物线 22yx 的准线方程是（ ） A 12x B 18x C 18y D 12y 2. 若实数 k 满足 0 k 9，则曲线 x225y29 k 1 与曲线x225 ky29 1 的 ( ) A焦距相等 B实半轴长相等 C虚半轴长相等 D离心率相等 3如图所示 ,三棱锥 O ABC中 , ,O
2、 A a O B b O C c ,且 3,O M M A B N N C，则 MN （ ） A 1 1 14 3 3a b c B 1 1 14 3 3a b c C 3 1 14 2 2a b c D 3 1 14 2 2a b c 4 已知直线 与圆 相交于 两点，且 为正三角形，则实数 的值为（ ） A B C 或 D 或 5 设 、 分别是双曲线 C： 的左右焦点，点 在双曲线 C的右支上，且 ，则 （ ） A B C D 6 正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 a,点 M 在 AC1上且 , N 为 B1B 的中点 ,则 | |为 ( ) A a B a C a D a 7
3、 如图，在所有棱长均为 a 的直三棱柱 ABC A1B1C1 中， D,E 分别为 BB1,A1C1 的中点，则异面直线 高二 理科 数学 第 2 页，总 8 页 AD,CE 所成角的余弦值为 （ ） A B C D 8 在 x 轴、 y 轴上截距相等且与圆 (x 2 )2 (y 3 )2 1 相切的直线 l 共有 ( ) A 2 条 B 3 条 C 4 条 D 6 条 9. 已知 双曲线 C： 221xyab( 0, 0)ab的 左、 右焦点 分别是 1F ， 2F ， 以 2F 为圆心和双曲线的 渐近线 相切的圆与双曲线的一个交点为 M ， 若 21MFF 为等腰三角形 ，则 C 的离心率
4、是（ ） A 43 B 53 C 3 D 5 10 已知双曲线 的两个顶点分别为 、 ，点 为双曲线上除 、 外任意一点，且点 与点 、 连线的斜率分别为 、 ，若 ，则双曲线的渐进线方程为 （ ） A B C D 11 如图，过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于点 、 ，交其准线 于点 ，若点 是 的中点，且 ，则线段 的长为（ ） A 5 B 6 C D 12. 已知椭圆 22 10xy abab 的左顶点和上顶点分别为 AB、 ，左、右焦点分别是 12,FF，在 直线AB 上有且只有一个点 P 满足 12PF PF ，则椭圆的离心率为（ ） A 32 B 312 C 53 D 512 第
5、II卷（非选择题共 90分） 高二 理 科数学 第 3 页，总 8 页 二、填空题（ 4 5分 =20分） 13. 若椭圆 063 22 kykx 的一个焦点是（ 0 , 2），则 k 的值为 . 14. 已知 椭圆 22116 4xy的左、右两焦点 21,FF ， A 为椭圆上一点，11 ()2OB OA OF，21 ()2OC OA OF，则 | OCOB = . 15. 已知双曲线两渐近线为 20xy，焦点到渐近线的距离为 2， 则 此双曲线的标准方程 . 16. 已知 抛物线 C： 2 4yx ，直线 l 过 抛物线焦点 F， l 与 C 有两个交点 A， B，线段 AB 的中点 M
6、的纵坐标为 1， 则 直线 l 的 方程 为 . 三、 解答题（本大题共 6个小题，共计 70分 ） 17 （本题满分 10 分 ） 在平面直角坐标系 中，已知圆 ： x2+y2 mx 10y+37=0,圆 上存在关于 2x y 3=0 对称的两点 . （ 1） 求圆的标准方程； （ 2）若直线 过点 ，且与圆 C 相切，求直线 l 的方程 . 18. （本题满分 12 分 ） 如图 ， 在三棱柱 ABC-A1B1C1中 , AA1C1C 是边长为 4 的正方形 ， 面 ABC 面 AA1C1C , AB=3 , BC=5. （ 1） 求证 ： AA1 平面 ABC； （ 2） 求 底面三角形
7、 ABC 的重心 G 到面 A1BC1的 距离 . 高二 理科 数学 第 4 页，总 8 页 19 （本题满分 12 分 ） 如图所示，四棱锥 中， 底面 ， 2SA , ， ， ， ， 为 的中点 . （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求直线 与平面 所成角的正弦值 . 20 （本题满分 12 分 ） 已知点 ， ，动点 满足 （ 1） 求动点 的轨迹 的方程； （ 2） 设点 ， 为轨迹 上异于原点 的两点，且 ， 若 为常数，求证：直线 过定点 . 21 （本题满分 12 分 ） 四棱锥 中，底面 为菱形， ， 为等边三角形 （ 1）求证： ； （ 2）若 ， ，求二面角 D PC A
8、的余弦值 22 （本题满分 12 分 ） 已知椭圆 ： 与 轴的正半轴相交于点 ，点 为椭圆的焦点，且 是边长为 2 的等边三角形，若直线 与椭圆 交于不同的两点 （ 1）直线 的斜率之积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； （ 2）求 的面积的最大值 参考答案 高二 理 科数学 第 5 页，总 8 页 一、选择题 1 5 CACDB 6 10 ACBBC 11、 12 CD 二、填空题 13. 5 14. 4 15. 141614 2222 xyoryx 16. 2x-y-2=0 三、解答题 17.（ 1） 2x y 3=0 经过圆心，解得 m=8, 圆 ： （ 2）直线斜率
9、不存在时，直线 满足题意； 直线斜率存在时，设直线方程为 ，即 . 直线 l 与圆 相切 圆心到直线的距离为 直线 l 的方程为 或 18. 重心 G（ 0,1,34 ），向量 )0,2,34(GB ,G 到面 A1BC1的 距离58| | n nGBd19.（ 1）证明：因为 ， ， ， 所以 ， ， 在 中， ， ， ， 由余弦定理可得： 解得： 高二 理科 数学 第 6 页，总 8 页 所以 ，所以 是直角三角形， 又 为 的中点，所以 又 ，所以 为等边三角形， 所以 ，所以 ， 又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . （ 2）解：由（ 1）可知 ，以点 为原点，以 , ， 所在直线分
10、别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， . 所以 ， ， . 设 为平面 的法向量，则 ，即 设 ，则 ， ，即平面 的一个法向量为 ， 设 直线 与平面 所成角为 |,c o s|s in SDn 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . 20. (1)设 ，则 ， ， ， 由 ，得 ，化简得 ， 故动点 的轨迹 的方程为 . (2)设 ， ，则 ，所以 . 设直线 的方程为 ，代入 得 ， 从而 ，即 ，故直线 的方程为 ， 所以直线 过定点 . 高二 理 科数学 第 7 页，总 8 页 21.（ 1）因为底面 ABCD为菱形，且 ，所以 为等边三角形 如下图，作 ，则 E为
11、AD的中点 又因为 为等边三角形，所以 因为 PE和 BE 为平面 PBE内的两条相交的直线，所以直线 平面 PBE， 又因为 PB为面 PBE内的直线，所以 （ 2） 为等边三角形，边长为 2， ， 所以 ， ， 因为 ， 所以 面 ， 如图建立空间直角坐标系 ， 则 ， 设平面 的法向量为 ， ， 即 ，即 ， 取 ， 则 ， ， 设平面 PCA 的法向量为 ， 00PAnACn 即0)3,0,1(),(0)0,3,3(),(cbacba 即03033caba 取 c=1， 则 = 3 ,b=3， )1,3,3(n ， 高二 理科 数学 第 8 页，总 8 页 因为 1365,co s nm 设二面角 的平面角 余弦值为 1365 22.（ 1）因为 是边长为 2 的等边三角形， 所以 ， ， ，所以 ， 所以椭圆 ： ，点 . 将直线 代入椭圆 的方程， 整理得： ，（ *） 设 ，则由（ *）式可得 ， 所以 ， ， ， 所以直线 的斜率之积 所以直线 的斜率之积是定值 . （ 2）记直线 与 轴的交点为 ， 则 当且仅当 ，即 时等号成立 . 所以 的面积的最大值为 .
