1、143.2 函数的极大值和极小值读教材填要点1极值与极值点(1)极大值点与极大值：设函数 y f(x)在区间( a， b)内有定义， x0是( a， b)内的一个点，若点 x0附近的函数值都小于 f(x0)(即 f(x) f(x0)， x( a， b)，就说 f(x0)是函数 y f(x)的一个极大值，x0称为 f(x)的一个极大值点(2)极小值点与极小值：设函数 y f(x)在区间( a， b)内有定义， x0是( a， b)内的一个点，若点 x0附近的函数值都大于 f(x0)(即 f(x) f(x0)， x( a， b)，就说 f(x0)是函数 y f(x)的一个极小值，x0称为 f(x)
2、的一个极小值点极大值和极小值统称极值，极大值点和极小值点统称为极值点2极大值与极小值的判断(1)如果 f(x)在( a， x0上递增，在 x0， b)上递减，则 f(x)在 x x0处取到极大值；(2)如果 f(x)在( a， x0上递减，在 x0， b)上递增，则 f(x)在 x x0处取到极小值3极值的求法(1)求导数 f( x)；(2)求 f(x)的驻点，即求 f( x)0 的根；(3)检查 f( x)在驻点左右的符号，得到极大值或极小值小问题大思维1导数为 0 的点都是极值点吗？提示：不一定 y f(x)在 x x0及附近有定义，且 f( x0)0， y f(x)是否在x x0处取得极
3、值，还要看 f( x)在 x0两侧的符号是否异号例如 f(x) x3，由 f( x)3 x2知 f(0)0，但 x0 不是 f(x) x3的极值点2函数 f(x)的定义域为开区间( a， b)，导函数 f( x)在(a， b)内的图象如图所示，则函数 f(x)在开区间( a， b)内有几个极小值点？提示：由图可知，在区间( a， x1)，( x2,0)，(0， x3)内 f( x)0；在区间( x1， x2)，( x3， b)内 f( x)0 且 f(x)极小值 0 恒成立，即函数在(，)上单调递增，此时函数没有极值点当 a0 时，令 f( x)0，得 x1 ， x2 ，a a当 x 变化时，
4、 f( x)与 f(x)的变化如下表：x(， )a a ( ， )a a a ( ，a)f( x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 因此，函数 f(x)的单调递增区间为(， )和( ，)，单调递减区间为(a a， )，a a此时 x 是 f(x)的极大值点， x 是 f(x)的极小值点a aa 为何值时，方程 x33 x2 a0 恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根，有没有可能无实根？巧思 方程 x33 x2 a0 根的个数，即为直线 y a 和函数 f(x) x33 x2图象交点的个数，因此可借助函数的单调性和极值画出函数 f(x) x33 x2的图象，然后借助图象判断根的个数妙解 令
5、 f(x) x33 x2，则 f(x)的定义域为 R，7由 f( x)3 x26 x0，得 x0 或 x2.所以当 x0 或 x2 时， f( x)0；当 0 x2 时， f( x)0.函数 f(x)在 x0 处有极大值 0，在 x2 处有极小值4，如图所示，故当 a0 或 a4 时，原方程有一个根；当 a0 或 a4 时，原方程有两个不等实根；当4 a0 时，原方程有三个不等实根；由图象可知，原方程不可能无实根1若函数 f(x) x3 ax23 x9 在 x3 时取得极值，则 a 等于( )A2 B3C4 D5解析： f( x)3 x22 ax3，由题意知 f(3)0，即 3(3) 22(3
6、) a30，解得 a5.答案：D2.设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f( x)，且函数 y (1 x)f( x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)B函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)C函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)D函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)解析：由题图可知，当 x0；当22 时， f( x)0.由此可以得到函数 f(x)在 x2 处取得极大值，在x2 处取得极小值答案：D3若 a0， b0，且函数 (x)4 x3 ax22 bx2 在 x1 处有极值，则 a
7、b 的最大值等于( )A2 B3C6 D9解析：函数的导数为 ( x)12 x22 ax2 b，由函数 (x)在 x1 处有极值，可知函数 (x)在 x1 处的导数值为零，即 122 a2 b0，所以 a b6.由题意知 a， b 都是正实数，所以 ab 2 29，(a b2 ) (62)8当且仅当 a b3 时取到等号答案：D4若函数 f(x) x36 x2 m 的极大值为 13，则实数 m 等于_解析： f( x)3 x212 x3 x(x4)由 f( x)0，得 x0 或 x4.当 x(，0)(4，)时， f( x)0； x(0,4)时， f( x)0， x4 时 f(x)取到极大值故6
8、496 m13，解得 m19.答案：195若函数 f(x) x3 x2 ax4 在区间(1,1)上恰有一个极值点，则实数 a 的取值范围为_解析：由题意， f( x)3 x22 x a，则 f(1) f(1)0；当 x(2，ln 2)时，f( x)0，即 x(0,2)(4，)时， f( x)0， a0，所以 f(x)在(2,0)，(1，)上单调递增；在(，2)，(0,1)上单调递减10设函数 f(x) x3 bx2 cx d(a0)，且方程 f( x)9 x0 的两个根分别为a31,4.(1)当 a3 且曲线 y f(x)过原点时，求 f(x)的解析式；(2)若 f(x)在(，)内无极值点，求
9、 a 的取值范围解：由 f(x) x3 bx2 cx d，a3得 f( x) ax22 bx c.因为 f( x)9 x ax22 bx c9 x0 的两个根分别为 1,4，所以Error! (*)(1)当 a3 时，由(*)式得Error!解得 b3， c12.又因为曲线 y f(x)过原点，所以 d0，故 f(x) x33 x212 x.12(2)由于 a0，所以“ f(x) x3 bx2 cx d 在(，)内无极值点a3”等价于“ f( x) ax22 bx c0 在(，)内恒成立” 由(*)式得 2b95 a， c4 a.又 (2 b)24 ac9( a1)( a9)解Error! 得 a1,9即 a 的取值范围是1,9
