1、1二 一般形式的柯西不等式名称 形式 等号成立条件三维形式的柯西不等式 设a1， a2， a3， b1， b2， b3R，则( a a a )21 2 23(b b b )21 2 23( a1b1 a2b2 a3b3)2当且仅当 b1 b2 b30 或存在一个实数 k 使得ai kbi(i1,2,3)一般形式的柯西不等式 设a1， a2， a3， an， b1， b2， b3， bn是实数，则(a a a )(b b21 2 2n 21 2 b )2n( a1b1 a2b2 anbn)2当且仅当bi0( i1,2， n)或存在一个实数 k，使得ai kbi(i1,2， n)点睛 一般形式的柯
2、西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方在使用时，关键是构造出符合柯西不等式的结构形式利用柯西不等式证明不等式例 1 设 x1， x2， xn都是正数，求证： .1x1 1x2 1xn n2x1 x2 xn思路点拨 根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的积的形式，利用柯西不等式证明证明 ( x1 x2 xn)(1x1 1x2 1xn)( 1)2( )2( )2 x x2 xn (1x1)2 (1x2)2 (1xn)22 n2，(x11x1 x21x2 xn1xn) .1x1 1x2 1xn n2
3、x1 x2 xn柯西不等式的结构特征可以记为：2(a1 a2 an)(b1 b2 bn)( a1b1 )2.a2b2 anbn其中 ai， biR (i1,2， n)，在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键1设 a， b， c 为正数，且不全相等求证： .2a b 2b c 2c a 9a b c证明：构造两组数 ， ， ； ， ， ，则由柯西不等式得a b b c c a1a b 1b c 1c a(a b b c c a) (111) 2，即 2(a b c)(1a b 1b c 1c a)9，(1a b 1b c 1c a)于是
4、 .2a b 2b c 2c a 9a b c由柯西不等式知，中有等号成立 a b1a bb c1b ca b b c c aa b c.c a1c a因为 a， b， c 不全相等，故中等号不成立，于是 .2a b 2b c 2c a 9a b c利用柯西不等式求最值例 2 (1)已知 x， y， zR ，且 x y z1.求 的最小值；1x 4y 9z(2)设 2x3 y5 z29，求函数 的最大值2x 1 3y 4 5z 6思路点拨 (1)利用 1x 4y 9z (x y z)(1x 4y 98)(2)利用( )22x 1 3y 4 5z 6(1 1 1 )2.2x 1 3y 4 5z
5、63解 (1) x y z1， (x y z)；1x 4y 9z (1x 4y 9z) 2(1xx 2yy 3zz)(123) 236.当且仅当 x ，y2 z3即 x ， y ， z 时取等号16 13 12所以 的最小值为 36.1x 4y 9z(2)根据柯西不等式，有( 1 1 1)22x 1 3y 4 5z 6(2 x1)(3 y4)(5 z6)(111)3(2 x3 y5 z11)340120.故 2 ，2x 1 3y 4 5z 6 30当且仅当 2x13 y45 z6，即 x ， y ， z 时等号成立376 289 2215此时 max2 .30利用柯西不等式求最值时，关键是对原
6、目标函数进行配凑，以保证出现常数结果同时，要注意等号成立的条件2已知 x， y， zR，且 x2 y2 z5，则( x5) 2( y1) 2( z3) 2的最小值是( )A20 B25C36 D47解析：选 C ( x5) 2( y1) 2( z3) 212(2) 22 2( x5)(2)(y1)2( z3) 2324，当且仅当 ，即 x3， y3， z1 时取等x 51 y 1 2 z 32号故( x5) 2( y1) 2( z3) 2的最小值是 36.3若 2x3 y4 z11，则 x2 y2 z2的最小值为_解析：2 x3 y4 z11，由柯西不等式，得4(x2 y2 z2)(4916)
7、(2 x3 y4 z)2，故 x2 y2 z2 ，12129当且仅当 ，即 x ，x2 y3 z4 2229y ， z 时取等号3329 4429答案：121294把一根长为 12 m 的细绳截成三段，各围成三个正方形问：怎样截法，才能使围成的三个正方形面积之和 S 最小，并求此最小值解：设三段绳子的长分别为 x， y， z，则 x y z12，三个正方形的边长分别为 ，x4， 均为正数，三个正方形面积之和： S 2 2 2 (x2 y2 z2)y4 z4 (x4) (y4) (z4) 116(1 21 21 2)(x2 y2 z2)( x y z)212 2，即 x2 y2 z248.从而
8、S 483.116当且仅当 时取等号，x1 y1 z1又 x y z12， x y z4 时， Smin3.故把绳子三等分时，围成的三个正方形面积之和最小，最小面积为 3 m2.1已知 a2 b2 c2 d25，则 ab bc cd ad 的最小值为( )A5 B5C25 D25解析：选 B ( ab bc cd ad)2( a2 b2 c2 d2)(b2 c2 d2 a2)25，当且仅当 a b c d 时，等号成立52 ab bc cd bd 的最小值为5.2已知 a a a 1， x x x 1，则 a1x1 a2x2 anxn的最大值21 2 2n 21 2 2n是( )A1 B2C3
9、 D4解析：选 A ( a1x1 a2x2 anxn)2( a a a )(x x x )21 2 2n 21 2 2n5111，当且仅当 1 时取等号x1a1 x2a2 xnan a1x1 a2x2 anxn的最大值是 1.3已知 x， y， zR ，且 1，则 x 的最小值是( )1x 2y 3z y2 z3A5 B6C8 D9解析：选 D x 29，当且y2 z3 1x 2y 3z (x y2 z3) 1x x 2y y2 3z z3仅当 时等号成立1x 2y 3z 134设 a， b， c， x， y， z 是正数，且a2 b2 c210， x2 y2 z240， ax by cz20
10、，则 ( )a b cx y zA. B.14 13C. D.12 34解析：选 C 由柯西不等式得，( a2 b2 c2)(x2 y2 z2)( ax by cz)2400，当且仅当 时取等号，因此有 .ax by cz 12 a b cx y z 125已知 2x3 y z8，则 x2 y2 z2取得最小值时， x， y， z 形成的点( x， y， z)_.解析：由柯西不等式(2 23 21 2)(x2 y2 z2)(2 x3 y z)2，即 x2 y2 z2 .327当且仅当 z 时等号成立x2 y3又 2x3 y z8，解得 x ， y ， z ，87 127 47故所求点为 .(8
11、7， 127， 47)答案： (87， 127， 47)6设 a， b， c 为正数，则( a b c) 的最小值是_(4a 9b 36c)解析：( a b c)(4a 9b 36c)6( )2( )2( )2a b c (2a)2 (3b)2 (6c)2 2(a2a b3b c6c)(236) 2121.当且仅当 k(k 为正实数)时，等号成立a2 b3 c6答案：1217已知实数 x， y， z 满足 3x2 y z1，则 x22 y23 z2的最小值为_解析：由柯西不等式，得 x2( y)2( z)2 (3 x2 y z)2 3 32 (r(2)2 (13)221，所以 x22 y23
12、z2 ，334当且仅当 ，即 x ， y ， z 时，等号成立，所以 x22 y23 z2的x3 2y2 3z13 934 334 134最小值为 .334答案：3348在 ABC 中，设其各边长为 a， b， c，外接圆半径为 R，求证：( a2 b2 c2)36 R2.(1sin2A 1sin2B 1sin2C)证明： 2 R，asin A bsin B csin C( a2 b2 c2)(1sin2A 1sin2B 1sin2C) 236 R2.(asin A bsin B csin C)9在直线 5x3 y2 上求一点，使( x2 y1) 2(3 x y3) 2取得最小值解：由柯西不等
13、式得(2 21 2)(x2 y1) 2(3 x y3) 22( x2 y1)(3 x y3) 2(5 x3 y1) 29.( x2 y1) 2(3 x y3) 2 .95当且仅当 x2 y12(3 x y3)即 5x4 y70 时取等号解方程组Error!7得Error! 故所求点的坐标为 .(1335， 97)10已知函数 f(x) m| x2|， mR，且 f(x2)0 的解集为1,1(1)求 m 的值；(2)若 a， b， c 为正实数，且 m，求证： a2 b3 c9.1a 12b 13c解：(1)因为 f(x2) m| x|，所以 f(x2)0 等价于| x| m.由| x| m 有解，得 m0，且其解集为 x| m x m，又 f(x2)0 的解集为1,1，故 m1.(2)证明：由(1)知 1，1a 12b 13c所以 a2 b3 c( a2 b3 c)(1a 12b 13c) 29.(a1a 2b12b 3c13c)
