1、- 1 -江苏省泰州中学、如东高级中学、靖江高级中学、宜兴中学 2018-2019 学年高一上学期期中联考数学试题一、填空题（本大题共 14 小题，共 70.0 分）1.已知集合 P=x|0x6，集合 Q=x|x-30，则 PQ=_【答案】x|3x6【解析】【分析】根据集合的交集运算，可求得集合 P 与集合 Q 的交集。【详解】集合 P=x|0x6，集合 Q=x|x-30集合 Q=x|x-30，即，集合 Q=x| x3由集合交集运算可得 PQ=x|3x6【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题。2.函数 的定义域为_【答案】【解析】,所以定义域为3.已知幂函数 的图象过点 ，则 _.【答案
2、】【解析】试题分析:设幂函数为 ,由题设 ,则 ,即 ,故,故应填答案 .考点：幂函数的定义及求值运用4.若 g（x）=x 2+x，x-1，1的值域为_【答案】0，2【解析】【分析】- 2 -根据函数定义域为 x-1，1，代入函数 g（x）的解析式即可得函数值。【详解】因为 x-1，1代入 g（x）=x 2+x，可得 g（-1）=0，g（1）=2所以值域为0，2【点睛】本题考查了函数定义域与值域的关系，注意定义域为两个单独的 x 值，不是区间，是易错题，属于基础题。5.设函数 f（x）= 则 f（f（2） ）=_【答案】-3【解析】【分析】根据分段函数，先求得 f（2）=0，再将 f（0）代入
3、即可求得值。【详解】根据分段函数定义域，可得 f（2）=4+2-6=0则 f（f（2） ）= f（0）=-3【点睛】本题考查了分段函数求值，注意自变量的取值情况即可，属于基础题。6.已知 a0.3 2， blog 20.3， c2 0.3，则 a， b， c 的大小关系为_【答案】 cab【解析】， ， ，故 。点睛：指数、对数的比较大小，结合图象来判断大小，可以较容易的得到大小关系，具体可以通过与 0 和 1 的大小比较，解得答案。7.已知函数 （ 且 ）的图象如图所示，则 的值是_【答案】【解析】由函数 （ 且 ）过点 代入表达式得： ，所以- 3 -8.函数 且 恒过定点_【答案】【解析
4、】【分析】由题意，函数 ，令 ，即 时，解得 ，即可得到答案.【详解】由题意，函数 ，令 ，即 时，解得 ，即函数 的图象恒过点 .【点睛】本题主要考查了对函数的性质及过定点问题，其中解答中熟记对数函数的基本性质，合理选择求解的方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9.若方程 lgx=5-x 的根 x0（k，k+1）其中 kZ，则 k 的值为_【答案】4【解析】【分析】根据题意，将方程化为 lgx+x-5=0，令函数 f（x）=lgx+x-5，由零点存在定理即可判断出零点所在区间。【详解】由题意构造函数 f（x）=lgx+x-5则 f（5）=lg5+5-5=lg5
5、0f（4）=lg4+4-5=lg4-1 0所以函数零点在（4，5） ，即整数 k=4【点睛】本题考查了方程与函数的关系，方程的解与函数零点，函数零点存在定理的简单应用，属于基础题。10.函数 的单调递增区间是_【答案】 （4，+）【解析】由 得， ，令 ，则 ， 时，为减函数； 时， 为增函数； 为增函数，故函数的单调区间是 ，答案为 .- 4 -【方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“
6、同增异减”的含义（增增 增，减减 增，增减 减，减增 减）.11.已知函数 f（x）=x 3+lg（ +x）+5，若 f（a）=3，则 f（-a）=_【答案】7【解析】【分析】由题意，代入 a 可得 f（a）=a 3+lg（ +a）+5=3，化简得 a3+lg（ +a）=-2，再代入-a，化简即可。【详解】根据题意，当 x=a 时，f（a）=3代入化简可得 f（a）=a 3+lg（ +a）+5=3，即 a3+lg（ +a）=-2当 x=-a 时，代入得f（-a）= (-a) 3+lg（ -a）+5=-a3+lg（ -a）+5=-a3+ +5=-a3 +5=-a3 +5=-2 +5=7【点睛】本
7、题考查了函数值的求法及化简，注意对数式化简中“分子有理化”方法的应用，属于中档题。12.已知函数 ，则不等式 的解集是_【答案】(1,3).【解析】【分析】- 5 -先判断函数的单调性，由 ，可得 或 ，解不等式即可得到所求解集.【详解】当 时， ，在 上递增， 由 ，可得 或 ，解得 或 ，即为 或 ，即 ，即有解集为 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.13.记号 表示 中取较大的数，如 . 已知函数 是定义域为 的
8、奇函数，且当 时， . 若对任意 ，都有 ，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】由题意，当 时，令 ，解得 ，此时 令 ，解得 ，此时 ，又因为函数 是定义域 上的奇函数，所以图象关于原点对称，且 ，所以函数 的图象如图所示，要使得 ，根据图象的平移变换，可得 且 ，解得 且 ，即 且 .- 6 -点睛：本题主要考查了分段函数图象与性质的综合应用，其中解答中借助新定义，得到函数在 的解析式，并作出函数的图象，在根据函数的奇偶性，得到函数 的图象，由，根据图象的变换得出相应的条件，即可求解 的取值范围，解答中正确得到函数的图象，利用图象得到 是解答关键.14.已知函数 是定义域为 上的偶函数，
9、当 时， ，若关于 的方程 ， 有且仅有 8 个不同实数根，则实数 的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，由于函数是定义域为 上的偶函数，则 在 和 上递减，在 和 上递增，当时，函数取得极大值 ；当 时，函数取得极小值 ，当 时，要使得关于 的方程 ，有且仅有 个不同的实数根，设 ，则 的两根均为 ，有且仅有 个不同的实数根，则 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 - 7 -考点：方程根的个数的判定【方法点晴】本题主要考查了方程中根的个数的判定问题，其中解答中涉及到函数的单调性和函数的奇偶性的运用，函数的零点的判定及应用，以及方程与函数的零点的关系，本
10、题的解得中熟练掌握一元二次方程的根的分布是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的考查，试题有一定的难度，属于中档试题二、解答题（本大题共 6 小题，共 80.0 分）15.求值：（1） ；（2） .【答案】(1)-45；(2)6.【解析】试题分析：（1）根据指数运算性质 进行化简求值（2）根据对数运算性质 进行化简求值试题解析：（1）原式（2）原式16.已知集合 ，集合 ，集合.（1）求 ；（2）若 ，求实数 的取值范围.【答案】 （1） ；（2） 或 【解析】试题分析：（1）根据定义域求得集合 A，根据值域求得集合 B，再根据数轴求交集（2）先将条件转化为集
11、合包含关系： ，再根据空集讨论，最后根据数轴研究两集合包含关系.试题解析：（1） ， 即即 - 8 -（2） 当 为空集满足条件 ;当 即 时 , ;又 综上 或 点睛：(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解.17.已知 f(x) ，x(2，2)(1) 判断 f(x)的奇偶性并说明理由；(2) 求证
12、：函数 f(x)在(2，2)上是增函数；(3) 若 f(2a)f(12a)0，求实数 a 的取值范围【答案】(1) 见解析：(2) 见解析：(3)【解析】试题分析：（1）定义域 关于原点对称，同时满足 f(x)=-f(-2)，所以是奇函数。 （2）由定义法证明函数的单调性，按假设，作差，变形，判断，下结论过程完成。 （3）由奇函数，原不等式变形为 f(2a)f(12a)f(2a1)，再由函数单调性及定义域可知 ，解不等式组可解。试题解析：(1) 解： f(x) f(x)， f(x)是奇函数(2) 证明：设 x1，x2 为区间(2，2)上的任意两个值，且 x10，x1x240 得，f(2a)f(
13、12a)f(2a1)，因为函数 f(x)在(2，2)上是增函数，所以 即故 a .18.如图在长为 10 千米的河流 的一侧有一条观光带，观光带的前一部分为曲线段 ，设曲线段 为函数 （单位：千米）的图象，且图象的最高点为；观光带的后一部分为线段 （1）求函数为曲线段 的函数 的解析式；（2）若计划在河流 和观光带 之间新建一个如图所示的矩形绿化带 ，绿化带仅由线段 构成，其中点 在线段 上当 长为多少时，绿化带的总长度最长？【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）由题意首先求得 a,b,c 的值，然后分段确定函数的解析式即可；（2）设 ，由题意得到关于 t 的函数，结合二次函数的性质
14、确定当 长为多少时，绿化带的总长度最长即可.【详解】 （1）因为曲线段 OAB 过点 O，且最高点为 ，解得 .- 10 -所以，当 时， ，因为后一部分为线段 BC， ，当 时， ，综上， .（2）设 ，则 ，由 ，得 ，所以点 ，所以，绿化带的总长度：.所以当 时 .【点睛】本题考查分段函数求函数值，要确定好自变量的取值范围，再代入相应的解析式求得对应的函数值，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念.19.已知 y=f（x）是偶函数，定义 x0 时，f（x）=（1）求 f（-2） ；（2）当 x-3 时，求 f（x）的解析式；（3）设函数 y=f（x）在区间-5，5上的最
15、大值为 g（a） ，试求 g（a）的表达式【答案】 （1）2； （2） ；（3） = .【解析】【分析】根据偶函数定义，可得 f（-2）=f（2） ，代入解析式即可求解。根据偶函数定义，可得 f（x）=f（-x） ，代入即可求得 x-3 时的解析式。（3）由偶函数可得函数在-5，5上的最大值即为它在区间0，5上的最大值；对 a 分类讨论，讨论在对称轴两侧的单调情况及最值即可。【详解】 （1）已知 y=f（x）是偶函数，故 f（-2）=f（2）=2（3-2）=2；- 11 -（2）当 x-3 时，f（x）=f（-x）=（-x-3） （a+x）=-（x+3） （a+x） ，所以，当 x-3 时，f
16、（x）的解析式为 f（x）=-（x+3） （a+x）（3）因为 f（x）是偶函数，所以它在区间-5，5上的最大值即为它在区间0，5上的最大值，当 a3 时，f（x）在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，当 3a7 时，f（x）在 与 上单调递增，在 与 上单调递减，所以此时只需比较 与 的大小（A）当 3a6 时， ，所以（B）当 6a7 时， ，所以 g（a）=当 a7 时，f（x）在 与3，5上单调递增，在 上单调递减，且 f（5）=2（a-5） ，所以 g（a）=f（5）=2（a-5） ，综上所述，g（a）=【点睛】本题考查了分段函数的求值及综合应用，二次函数的最值与单调情况的综合应用
17、，属于难题。20.已知幂函数 ，满足 （ ）求函数 的解析式（ ）若函数 ， ，是否存在实数 使得 的最小值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由（ ）若函数 ，是否存在实数 ， ，使函数 在 上的值域为 ？若存在，求出实数 的取值范围；若不存在，说明理由【答案】 （ ） ；（ ） ；（ ）【解析】- 12 -试题分析：（1）根据幂函数 是幂函数，可得 ，求解 的值，即可得到函数的解析式；（2）由函数 ，利用换元法转化为二次函数问题，求解其最小值，即可求解实数 的取值范围；（3）由函数 ，求解 的解析式，判断其单调性，根据在 上的值域为 ，转化为方程有解问题，即可求解 的取值范围试题解析
18、：（ ） 为幂函数， ， 或 当 时， 在 上单调递减，故 不符合题意当 时， 在 上单调递增，故 ，符合题意 （ ） ，令 ， ， ， 当 时， 时， 有最小值， ， 当 时， 时， 有最小值 ， （舍） 当 时， 时， 有最小值， ， （舍） 综上 （ ） ，易知 在定义域上单调递减， ，即 ，令 ， ，则 ， ， ， ， - 13 - ， ， ， ， ， ， ， 点睛：本题主要考查了幂函数的解析式，函数最值的求解，方程与不等式的性质等知识点的综合应用，其中熟记一元二次函数的图象与性质是解答的关键，试题综合性强，属于难题，考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识- 14 -
