1、1“212”压轴满分练(二)1已知 A， B， C， D 四点均在以点 O1为球心的球面上，且AB AC AD2 ， BC BD 4 ， CD8.若球 O2在球 O1内且与平面 BCD 相切，则球 O2直5 2径的最大值为( )A1 B2C4 D8解析：选 D 由题意，得 BC2 BD2 CD2，所以 BC BD，所以BCD 为等腰直角三角形如图，设 CD 的中点为 O，则 O 为 BCD 的外心，且外接圆半径 r4.连接 AO， BO，因为 AC AD2 ，所以5AO CD， AO2，又 BO4，所以 AO2 BO2 AB2，所以 AO BO，所以AO平面 BCD，所以球心 O1在直线 AO
2、 上设球 O1的半径为 R，则有r2 OO R2，即 16( R2) 2 R2，解得 R5.当球 O2直径最大时，球 O2与平面 BCD 相切，21且与球 O1内切，此时 A， O， O1， O2四点共线，所以球 O2直径的最大值为 R OO18.2已知函数 f(x)( x a)33 x a(a0)在1， b上的值域为22 a,0，则 b的取值范围是( )A0,3 B0,2C2,3 D(1,3解析：选 A 由题意，得 f( x)3( x a)233( x a1)( x a1)由 f( x)0，得 x a1 或 x a1，所以当 a1a1 时，f( x)0，所以函数 f(x)在( a1， a1)
3、上单调递减，在(， a1)，( a1，)上单调递增又 f(a1)2 a2， f(a1)2 a2.若 f(1)2 a2，即(1 a)33 a2 a2，则 a1，此时 f(x)( x1) 33 x1，且 f(x)4 时， x1 或x2；由 f(x)0，解得 x0 或 x3.因为函数 f(x)在1， b上的值域为4,0，所以 0 b3.若 f(1)2 a2，因为 a0，所以 a11，要使函数 f(x)在1， b上的值域为22 a,0，需 a1 b，此时 a11， b，所以Error!即Error! 无解综上所述， b 的取值范围是0,33在平面四边形 ABCD 中， AB1， AC ， BD BC，
4、 BD2 BC，则 AD 的最小值为5_解析：设 BAC ， ABD ( (0，)，则 ABC .在 ABC 中，由余 2弦定理，得 BC2 AB2 AC22 ABACcos 62 cos ，由正弦定理，得 5BCsin ，即 BC .在 ABD 中，由余弦定理，得 AD2 AB2 DB22 ABDBcos ACsin( 2) 5sin cos 2 14 BC24 BCcos 14(62 cos )4 cos 258 cos 55sin cos 5 4 sin 2520sin( )（其中 sin ，cos ） ，所以当5255 55sin( )1，即 sin ，cos 时， AD2取得最小值
5、5，所以 AD 的最小值为55 255.5答案： 54椭圆 E： 1( ab0)的右顶点为 A，右焦点为 F，上、下顶点分别是x2a2 y2b2B， C，| AB| ，直线 CF 交线段 AB 于点 D，且| BD|2| DA|.7(1)求 E 的标准方程；(2)是否存在直线 l，使得 l 交椭圆于 M， N 两点，且 F 恰是 BMN 的垂心？若存在，求l 的方程；若不存在，说明理由解：(1)法一：由题意知 F(c,0)， A(a,0)， B(0， b)， C(0， b)，所以直线 AB 的方程为 1，xa yb直线 CF 的方程为 1，xc yb由Error! 得， xD .2aca c因
6、为| BD|2| DA|，所以 2 ，BD DA 所以 | |，得 a，BD 23 BA 2aca c 23解得 a2 c，所以 b c.a2 c2 3因为| AB| ，即 ，所以 c ，7 a2 b2 7 7 7所以 c1， a2， b ，3所以椭圆 E 的标准方程为 1.x24 y23法二：如图，设椭圆 E 的左焦点为 G，连接 BG，由椭圆的对称性得 BG CF，则 2，|GF|FA| |BD|DA|即| GF|2| FA|，由题意知 F(c,0)，则| GF|2 c，|FA| a c，所以 2c2( a c)，得 a2 c，3所以 b c.a2 c2 3因为| AB| ，即 ，即 c
7、，7 a2 b2 7 7 7所以 c1， a2， b ，3所以椭圆 E 的标准方程为 1.x24 y23(2)假设存在直线 l，使得 F 是 BMN 的垂心，连接 BF，并延长，连接 MF，并延长，如图，则 BF MN， MF BN.由(1)知， B(0， )， F(1,0)，3所以直线 BF 的斜率 kBF ，3易知 l 的斜率存在，设为 k，则 kBFk1，所以 k，33设 l 的方程为 y x m， M(x1， y1)， N(x2， y2)，33由Error! 消去 y 得 13x28 mx12( m23)0，3由 (8 m)241312( m23)0 得，3 0， f( x)0，所以
8、f(x)的单调递增区间为(，)当 a0 时， (4 a)24 a(2a1)4 a(2a1)，()当 a 时， 0，令 u(x)0，得 x1 ， x2 ，且12 2a 2a2 aa 2a 2a2 aax10， f( x)0，当 x( x1， x2)时， u(x)0，令 u(x)0，得 x1 ， x2 ，且 2a 2a2 aa 2a 2a2 aax20， f( x)0，当 x(， x2)( x1，)时， u(x) 时， f(x)的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ；12当 0 a 时， f(x)的单调递增区间为(，)；12当 a0， g(x)在(1，)上单调递增，所以当 x0 时， g(x) g(1)144e0，从而当 x0 时， f(x)0.
