1、1湖北省沙市中学 2018-2019 学年高二数学下学期期中试题 理考试时间：2019 年 4 月 23 日 一选择题i 是虚数单位，复数 满足 ，则 =（ ）z32i|zA. B. C. D.5115ii命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是（ ）A任意一个有理数,它的平方是有理数 B任意一个无理数,它的平方不是有理数 C存在一个有理数,它的平方是有理数 D存在一个无理数,它的平方不是有理数iii过原点 的直线 与椭圆 ： 交于 两点， 是椭圆 上异OlC)0(12bayxNM,PC于 的任一点若直线 的斜率之积为 ，则椭圆 的离心率为 （ ）NM, PNM, 3CA B C D2
2、36312iv用数学归纳法证明 222()1(1)(1)3nnn时，由 nk的假设到证明 nk时，等式左边应添加的式子是（ ）A. 2(1)kB. 2(1)k C. 2(1)kD.3v “ ”是“不等式 对一切实数 x 恒成立”的（ ）4a220194xaxA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件vi已知向量 ，且 与 互相垂直，则 的值为（ (1,0)(,2)ab kab2k）A B C D53575vii 若函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围为21()ln1fxxa),2(a（ ）2A B C (,2,2),310D5,)viii 已知过双曲线 的右焦
3、点且倾斜角为 的直线仅与双2:1(0,)xyCab45曲线的右支有一个交点，则双曲线的离心率 的取值范围是（ ）eA B C D2,)(2,)2,1()2,1(ix 如图，在平行六面体 中，底面是边长为 1 的正方形，若1AD，且 ，则 的长为（ ）1160AB3A B C D 52417x已知 ，若 ，使得 成立，axgxef 2)1(),)( Rx21, )(12xgf则实数 的取值范围是（ ）aA B C D,)e(,e,)e(,exi已知函数 对任意的 满足 （其中yfx(2cos)in0fxfx是函数 的导函数） ，则下列不等式成立的是（ ）()fx()A B 234f()34ffC
4、 D(0)f02xii已知 为常数，函数 有两个极值点 ，则( )a)(lnaxxf(,21xA B21)(,)(1xf )(21ffC D,01ff (,0)21xff二填空题xiii已知 2 ， 3 ， 4 ， ，若 6 ，( a， t 均为正2 23 23 3 38 38 4 415 415 6 at at3实数)，由以上等式，可推测 a， t 的值，则 a t_.xiv 12()xdxv已知 是椭圆 的两个焦点, 分别是该椭圆的右顶点和上顶点，21,F142yBA,点 在线段 上，则 的最小值为 PABPFxvi若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 ykxbln3yxln(1)
5、yxb三解答题xvii已知 ,命题 ：对任意 ，不等式 恒成立；命题 ：Rmp1,0mx322q曲线 在任意一点处的切线斜率均大于 xye(）若 为真命题，求 的取值范围；(）若命题 是假命题，求实数 的取值范围pqmxviii现将一根长为 180 cm 的木条制造成一个长方体形状的木质框架，要求长方体的长与宽之比为 ，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多2:1少？xix在直角坐标系 中，点 到两点 ， 的距离之和等于 ，设点xOyP(03)， ()， 4的轨迹为 。PC4（1）求曲线 的方程； C（2）过点 作直线 与曲线 交于点 、 ，以线段 为直径的圆能否过坐标(0
6、,3)lCAB原点，若能，求出直线 的方程，若不能请说明理由 .xx如图，四棱锥 ，底面 是边长为 的菱形， ，且PABCD23ABC平面 A（）证明：平面 平面 ；（）若平面 与平面 的夹角为 ，试求线段 的长3Pxxi已知点 为抛物线 内一定点，过 作两条直线交抛物线于 ，(,0)Em2yxEDCBA,且 分别是线段 的中点NM, CDAB,（1）当 时，求 的面积的最小值；EMN（2）若 且 ，证明：直线 过定点，并求定点坐标。2ABCDkABDCP5xxii已知函数 ，且 时 有极大值 .322()7(,)fxabxabR1x()f10（） 求 的解析式；（） 若 为 的导函数，不等式
7、 （ 为正整数）()fxf 1()ln)523fxkxk对任意正实数 恒成立，求 的最大值.（注： ）kl20.69,31.0,l.61AEBC6高二年级期中考试理数答案iDiiBiiiB ivBv A 解：不等式 对一切实数 x 恒成立 ，故选 A。220194xax14avi D viiCviiiA 解： beaixAxC 解： ，使得 成立，则 ，Rx21, )(12xgfminax()()fxg， ，min()(1)ffema()()gaexiAxiiDxiii41 根据题中所列的前几项的规律可知其通项应为 n ，所以当n nn2 1 nn2 17n6 时 ， ， .a35t41atx
8、iv 2xv 解： ，考虑 的几何意义即可得15 213PFxy2xy，点 在线段 上，则 ，212|3PFOABmin4|5Ominmin| 5 xvi lxvii （1）若 p 为真，则 ；3,2（2 ） 若 q 为真，则 ；由题意知，p 假或 q 假，所以 p 假： 或 ，或 q 假：352m3522m 或352mxviii解：设长方体的宽为 x（m） ，则长为 2x(m)，高为.180453(c)015xh故长方体的体积为 ，而2(43)V()18(0).Vxx令 ，解得 x=0（舍去）或 ，因此 x=1.()0Vx10x当 0x10 时， ；当 时， ，()05()0故在 x=10
9、处 V（x ）取得极大值，并且这个极大值就是 V（x）的最大值。从而最大体积 （cm 3） ，此时长方体的长为 20cm，高为 15cm.()1答：当长方体的长为 20cm 时，宽为 10cm，高为 15cm 时，体积最大，最大体积为3000cm3。xix解：（1）设 ，由椭圆定义可知，点 的轨迹 C 是以 ， 为焦点，yxP, P3-0， ，长半轴为 2 的椭圆。它的短半轴 ，故曲线 C 的方程为1322b 142yx（2）设直线 ，分别交曲线 C 于 ， ，其坐标满足3kxyl： 1,yxA1,B8消去并整理得3142kxy013242kxk故 ，4214121kx若以线段 AB 为直线的
10、圆过坐标原点，则 ，即OBA021yx而 ，于是3212121 xkxy 0346422212 kkyx化简得，所以 ，所以 直线 的方程为：042kl1xyxx 解：（）证明： 平面 ， PABCDPAz yxEABDCP四边形 是菱形 ，DAC又 ， 所以 平面 ， PABP又 平面 ，所以平面 平面 （6 分）BB（ ）取 的中点 ，由题易证 ，分别以 为 轴，建CEAEP、 、 xyz、 、立空间直角坐标系 (如图 )，xyz设 0PAm,0,3,10,10APmCD所以 （7 分）3,12D设平面 的法向量为 ,根据 ，得Cxyzn,n， 02xyz9令 ，则 （9 分）xm,03n
11、平面 的法向量可取 ， （10 分）PAB1,r由题， ，解得 ，21cos,33mn所以线段 的长为 （12 分）1xxi解： 所在直线的方程为 ，代入 中，得 ，AB1xtym2yx210ytm设 ，则有 ，从而12(,)(,)xy21t121(tt则 -3 分1(,)Mmt设 所在直线的方程为 ，同理可得 CD2xtym2(,)Ntm（1 ） ， -4 分1|Ett2|1ENt又 ，故 ，于是 的面积AB2tM，22111|()2SMtt41当且仅当 时等号成立|21t所以， 的面积的最小值为 -6 分EN（2 ） ， 所在直线的方程为 ，1212()()MtktMN2112()()yt
12、xtmt即 -9121()yttxm分又 ，即 ，代入上式，得 ，12ABCDkt122t1212()tytxm即 ， 是此方程的一组解，12()tyxm(,)所以直线 恒过定点 -12MN(2,)10分xxii解： （） 由 ，因为在 时 有极大值 ，2()3fxaxb1x()f10所以 ，从而得 或 ，-3 分， 230171ab26a当 时， ，此时 ，当 时， ，当2()341fx(,1)3x()0fx时， ，在 时 有极小值，不合题意，舍去；-4(1,)x()0fx()f分当 时， ，此时 ，符合题意。6a9b2()34)fxx所求的 -6 分32()6fx（） 由（1）知 ，所以等价于 等价于(43)x1()ln1)523fxkx2ln1)xk，即 ln0kx， 记 ()，则 22()()1x，-8 分由 ()0x，得 1k，所以 ()x在 0,)k上单调递减，在 (1,)k上单调递增，所以 ()3ln()，-9 分0x对任意正实数 x恒成立，等价于 3ln(1)0k，即 3ln(1)0k，-10 分记 因为 在 (0,)上单调递减，又 7(4)l5m，3()1ln(1)mkk)mk8560， ，k=1,2,3,4， 故 k的最大值为 4. -12 分Z
