1、1综合检测三(标准卷)考生注意：1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 4 页2答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上3本次考试时间 120 分钟，满分 150 分4请在密封线内作答，保持试卷清洁完整第卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1集合 A2,3， a， B3， a2，若 A B3， a，则 a 的值为( )A0 B1C1 D0 或 1答案 D解析 (特值法)通过观察题干和选项，取 a0，则 A2,3,0， B3,0， A B
2、3,0，排除 B，C；取 a1，则 A2,3,1， B3,1， A B3,1，排除 A.故选 D.2已知复数 z (其中 i 为虚数单位)，若 z 为纯虚数，则实数 a 等于( )a i1 iA1 B0C1 D. 2答案 C解析 若复数 z i 为纯虚数，则 0，且 0，即a i1 i2 a 12 a 12 a 12 a 12a1，故选 C.3下列说法中正确的是( )A “f(0)0”是“函数 f(x)是奇函数”的充要条件B若 p： x0 R， x x010，则綈 p： xR， x2 x10，则綈 p： xR， x2 x10，所以 B 错误； p， q 只要有一个是202假命题，则 p q 是
3、假命题，所以 C 错误；否命题是将原命题的条件和结论都否定，所以 D正确4已知 sin cos ，则 cos2 等于( )( 6 ) ( 6 )A1 B1C. D012答案 D解析 sin cos ，( 6 ) ( 6 ) cos sin cos sin ，12 32 32 12即 sin cos ，(12 32) (12 32)tan 1，sincoscos2 cos 2 sin 2 cos2 sin2sin2 cos2 0.1 tan2tan2 15下列四个图中，函数 y 的图象可能是( )ln|x 1|x 1答案 C解析 y 是奇函数，其图象向左平移 1 个单位所得图象对应的函数解析式为
4、 yln|x|x，ln|x 1|x 1 y 的 图 象 关 于 ( 1,0)中 心 对 称 ， 故 排 除 A， D， 当 x 2 时 ， y 0 恒 成 立 ， 排ln|x 1|x 1除 B.6已知非零向量 a， b，则使得| a b| a| b|成立的一个充分不必要条件是( )3A a b B a2 b0C. D a ba|a| b|b|答案 B解析 | a b| a| b|成立，其充要条件是向量 a， b 共线且方向相反当 a2 b0 时，a2 b，| a b| a| b|成立；反之，不成立7实数 x， y 满足Error!则 z| x y|的最大值是( )A2 B4C6 D8答案 B解
5、析 由题意画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，令 m y x，则 m 为直线 l： y x m 在y 轴上的截距，由图知在点 A(2,6)处 m 取最大值 4，在 C(2,0)处取最小值2，所以m2,4，所以 z0,4，即 z 的最大值是 4，故选 B.8若数列 x， a1， a2， y 成等差数列， x， b1， b2， y 成等比数列，则 的取值范围是a1 a22b1b2( )A(，2 B(，0C4，) D(，04，)答案 D解析 在等差数列中， a1 a2 x y；在等比数列中， xy b1b2. a1 a22b1b2 x y2xy 2.x2 2xy y2xy xy yx当 xy0
6、时， 2，故 4；xy yx a1 a22b1b2当 xylogbb1，又 1，所以 0， b0)的左、右焦点，若在双曲线的右支上存x2a2 y2b2在一点 M，使得( ) 0(其中 O 为坐标原点)，且| | | |，则双曲线的OM OF2 F2M MF1 3MF2 离心率为( )A. 1 B.53 12C. D. 15 12 3答案 D解析 ，F2M OM OF2 ( ) ( )( )0，OM OF2 F2M OM OF2 OM OF2 即 2 0，| | | c，OM OF 2 OF2 OM 在 MF1F2中，边 F1F2上的中线等于| F1F2|的一半，可得 .MF1 MF2 | |
7、| |， 可 设 | | ， | | ( 0)， 得 ( )2 2 4c2， 解 得MF1 3 MF2 MF1 3 MF2 3 c， | | c，| | c，根据双曲线定义得 2a| | |( 1) c，MF1 3 MF2 MF1 MF2 3双曲线的离心率 e 1.2c2a 3第卷(非选择题 共 90 分)二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)13在边长为 2 的正方形 ABCD 内部任取一点 M，则满足 AMB90的概率为_答案 8解析 如图，6以 AB 为直径作圆，则圆在正方形 ABCD 内的区域为半圆，其面积 S 1 2 ，满足12 2条件 AM
8、B90的点 M 在半圆内，故所求概率 P .S阴 影S正 方 形 ABCD 222 814.某篮球队 6 名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：队员 i 1 2 3 4 5 6三分球个数 a1 a2 a3 a4 a5 a6如图是统计该 6 名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填_，输出的 S_.答案 i0)是函数 y f(x)的一个“伙伴点组”中的一个点，则其关于原点的对称点( m， n)必在该函数图象上，故Error!消去 n，整理得 m2 km k10.若函数 f(x)有两个“伙伴点组” ，则该方程组有两个不等的正实数根，得Error!解得 k2
9、2 .2故实数 k 的取值范围是(22 ，)2三、解答题(本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12 分)已知数列 中， a11，其前 n 项和为 Sn，且满足 an (n2， nN *)an2S2n2Sn 1(1)证明：数列 是等差数列；1Sn(2)证明： S1 S2 S3 Sn .13 15 17 12n 1 12证明 (1)当 n2 时， Sn Sn1 ，2S2n2Sn 1 Sn1 Sn2 SnSn1 ， 2，1Sn 1Sn 1数列 构成以 1 为首项，2 为公差的等差数列1Sn(2)由(1)可知， ( n1)22 n1，1Sn 1S1 Sn (nN
10、 *)12n 18S1 S2 S3 Sn13 15 17 12n 1 113 135 157 12n 12n 112(1 13 13 15 15 17 12n 1 12n 1) .12(1 12n 1) 1218(12 分)如图 1， C， D 是以 AB 为直径的圆上两点， AB2 AD2 ， AC BC， F 是 AB 上 一3点 ， 且 AF AB， 将 圆 沿 直 径 AB 折 起 ， 使 点 C 在 平 面 ABD 内 的 射 影 E 在 BD 上 ， 如 图 2.13(1)求证： AD平面 BCE；(2)求证： AD平面 CEF.证明 (1)由题意知， AD BD. CE平面 AB
11、D， CE AD. BD CE E， BD， CE平面 BCE， AD平面 BCE.(2)在 Rt ABD 中， AB2 ，3AD ， BD3.3如图，连接 AE.在 Rt ACE 和 Rt BCE 中，AC BC， CE CE，Rt ACERt BCE(HL)， AE BE.设 DE x，则 AE BE3 x.在 Rt ADE 中， AD2 DE2 AE2，3 x2(3 x)2，解得 x1， BE2.9 ， AD EF，BFBA BEBD 23 AD平面 CEF， EF平面 CEF， AD平面 CEF.19(12 分)甲、乙两个班级共有 105 名学生，某次数学考试按照“大于等于 85 分为
12、优秀，85 分以下为非优秀”的原则统计成绩后，得到如下 22 列联表：优秀 非优秀 总计甲班 10乙班 30总计 105已知从甲、乙两个班级中随机抽取 1 名学生，其成绩为优秀的概率为 .27(1)请完成上面的 22 列联表；(2)能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为成绩与班级有关系？(3)按下面的方法从甲班成绩优秀的学生中抽取 1 名学生：把甲班成绩优秀的 10 名学生从 2 至 11 进行编号，先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数之和作为被抽取人的编号，求抽到 6 号或 10 号的概率附： K2 ，其中 n a b c d.nad bc2a bc da cb dP(K2
13、k0) 0.05 0.01k0 3.841 6.635解 (1)设甲、乙两个班级数学考试成绩优秀的总人数为 x，则 ，解得 x30.得到如x105 27下 22 列联表：优秀 非优秀 总计甲班 10 45 55乙班 20 30 50总计 30 75 105(2)根据列联表中的数据，得到K2 6.1093.841，1051030 4520255503075因此，可以在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，认为成绩与班级有关系10(3)设 “抽 到 6 号 或 10 号 ”为 事 件 A， 先 后 两 次 抛 掷 一 枚 质 地 均 匀 的 骰 子 ， 出 现 的 点 数 记 为 (x， y)，
14、则所有的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(6,6)，共 36 个事件 A 包含的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，共8 个，所以 P(A) .836 2920(12 分)设 f(x) ，其中 a 为正实数ex1 ax2(1)当 a 时，求 f(x)的极值点；43(2)若 f(x)为 R 上的单调函数，求 a 的取值范围解 对 f(x)求导得 f( x)e x .1 ax2 2ax1 ax22(1)当 a 时，若 f( x)0，则 4x28 x30，43解得 x1 ， x2 .32 12当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x ( ， 12) 12 (12， 32) 32 (32， )f( x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 所以 x1 是极小值点， x2 是极大值点32 12(2)若 f(x)为 R 上的单调函数，则 f( x)在 R 上不变号，结合与条件 a0，知ax22 ax10 在 R 上恒成立，即 4 a24 a4 a(a1)0，由此并结合 a0，知01，此时11 时，( k1)(2 k1)5，得 k ，此时 1k .73 73综上， k 的取值范围是 .( 1，73)13
