1、1专题训练(五)函数与几何图形的综合1.2017济宁已知函数 y=mx2-(2m-5)x+m-2的图象与 x轴有两个公共点 .(1)求 m的取值范围,并写出当 m取范围内最大整数时函数的解析式;(2)题(1)中求得的函数记为 C1. 当 n x -1时, y的取值范围是 1 y -3n,求 n的值; 函数 C2:y=m(x-h)2+k的图象由函数 C1的图象平移得到,其顶点 P落在以原点为圆心,半径为 的圆内或圆上 .设函5数 C1的图象顶点为 M,求点 P与点 M距离最大时函数 C2的解析式 .2.2017攀枝花改编如图 ZT5-1,抛物线 y=x2+bx+c与 x轴交于 A,B两点, B点
2、坐标为(3,0),与 y轴交于点 C(0,3).图 ZT5-1(1)求抛物线的解析式;(2)点 P在 x轴下方的抛物线上,过点 P的直线 y=x+m与直线 BC交于点 E,与 y轴交于点 F,求 PE+EF的最大值 .(3)点 D为抛物线对称轴上一点 .当 BCD是以 BC为直角边的直角三角形时,求点 D的坐标 .23.2017无锡如图 ZT5-2,以原点 O为圆心,3 为半径的圆与 x轴分别交于 A,B两点(点 B在点 A的右边), P是半径 OB上一点,过点 P且垂直于 AB的直线与 O分别交于 C,D两点(点 C在点 D的上方),直线 AC,DB交于点 E.若ACCE= 1 2.图 ZT
3、5-2(1)求点 P的坐标;(2)求过点 A和点 E,且顶点在直线 CD上的抛物线的函数表达式 .4.2018柳北区三模如图 ZT5-3,抛物线 y=a(x-2)2-1过点 C(4,3),交 x轴于 A,B两点(点 A在点 B的左侧) .图 ZT5-3(1)求抛物线的解析式,并写出顶点 M的坐标;(2)连接 OC,CM,求 tan OCM的值;(3)若点 P在抛物线的对称轴上,连接 BP,CP,BM,当 CPB= PMB时,求点 P的坐标 .35.2018柳北区 4月模拟如图 ZT5-4 ,在平面直角坐标系 xOy中,直线 l:y= x+m与 x轴, y轴分别交于点 A和点 B(0,-341)
4、,抛物线 y= x2+bx+c经过点 B,且与直线 l的另一个交点为 C(4,n).12图 ZT5-4(1)求 n的值和抛物线的解析式 .(2)点 D在抛物线上,且点 D的横坐标 为 t(00.解得: m ,且 m0 .2512当 m=2时,函数解析式为 y=2x2+x.(2) 函数 y=2x2+x图象开口向上,对称轴为直线 x=- ,14当 x- 时 ,y随 x的增大而减小 .14当 n x -1时, y的取值范围是 1 y -3n,2 n2+n=-3n. n=-2或 n=0(舍去) . n=-2.5 y=2x2+x=2 x+ 2- ,14 18函数 C1的图象顶点 M的坐标为 - ,- .
5、14 18由图形可知当 P为射线 MO与圆的交点时,距离最大 .点 P在直线 OM上,由 O(0,0),M - ,- 可求得直线的解析式为 y= x.14 18 12设 P(a,b),则有 a=2b.根据勾股定理可得 PO2=(2b)2+b2=( )2,解得 b=1(负值已舍) .5 a=2. PM最大时函数 C2的解析式为 y=2(x-2)2+1.2.解:(1)由题意得 解得32+3b+c=0,c=3, b= -4,c=3. 抛物线的解析式为 y=x2-4x+3.(2)方法 1(代数法):如图 ,过点 P作 PG CF交 CB于点 G,由题意知 BCO= CFE=45,F(0,m),C(0,
6、3), CFE和 GPE均为等腰直角三角形, EF= CF= (3-m),PE= PG.22 22 22又易知直线 BC的解析式为 y=-x+3.设 xP=t(1t3),则 PE= PG= (-t+3-t-m)= (-m-2t+3).22 22 226又 t2-4t+3=t+m, m=t2-5t+3. PE+EF= (3-m)+ (-m-2t+3)= (-2t-2m+6)=- (t+m-3)=- (t2-4t)=- (t-2)2+4 ,22 22 22 2 2 2 2当 t=2时, PE+EF取最大值 4 .2方法 2:(几何法)如图 ,由题易知直线 BC的解析式为 y=-x+3,OC=OB=
7、3, OCB=45.同理可知 OFE=45, CEF为等腰直角三角形 .以 BC为对称轴将 FCE对称得到 FCE,作 PH CF于点 H则 PE+EF=PF= PH.2又 PH=yC-yP=3-yP.当 yP最小时, PE+EF取最大值 .抛物线的顶点坐标为(2, -1),当 yP=-1时,( PE+EF)max= (3+1)=4 .2 2(3)由(1)知对称轴为直线 x=2,设 D(2,n),如图 .7当 BCD是以 BC为直角边的直角三角形,且 D在 BC上方 D1位置时,由勾股定理得 C +BC2=B ,D21 D21即(2 -0)2+(n-3)2+(3 )2=(3-2)2+(0-n)
8、2,解得 n=5;2当 BCD是以 BC为直角边的直角三角形,且 D在 BC下方 D2位置时,由勾股定理得 B +BC2=C ,D22 D22即(2 -3)2+(n-0)2+(3 )2=(2-0)2+(n-3)2,解得 n=-1.2当 BCD是以 BC为直角边的直角三角形时, D点坐标为(2,5)或(2, -1).3.解:(1)过点 E作 EF x轴于点 F, CD AB, CD EF,PC=PD. ACP AEF, BPD BFE. ACCE= 1 2,8 ACAE= 1 3. = = , = = . AF=3AP,BF=3PB. AF-BF=AB.APAFCPEF13DPEFPBBF133
9、 AP-3PB=AB.又 O的半径为 3,设 P(m,0),3(3 +m)-3(3-m)=6, m=1. P(1,0).(2) P(1,0), OP=1, A(-3,0). OA=3, AP=4,BP=2. AF=12.连接 BC. AB是直径, ACB=90. CD AB, ACP CBP, = .APCPCPBP CP2=APBP=42=8. CP=2 (负值已舍) . EF=3CP=6 .2 2 E(9, 6 ).2抛物线的顶点在直线 CD上, CD是抛物线的对称轴,抛物线过点(5,0) .设抛物线的函数表达式为 y=ax2+bx+c.9根据题意得 0=9a-3b+c,0=25a+5b+
10、c,6 2=81a+9b+c,解得a= 28,b= - 24,c= -1528,抛物线的函数表达式为 y= x2- x- .28 24 15284.解:(1)由抛物线 y=a(x-2)2-1过点 C(4,3),得 3=a(4-2)2-1,解得 a=1,抛物线的解析式为 y=(x-2)2-1,顶点 M的坐标为(2, -1).(2)如图,连接 OM, OC2=32+42=25,OM2=22+12=5,CM2=22+42=20, CM2+OM2=OC2, OMC=90.OM= ,CM=2 ,tan OCM= = = .5 5OMCM52512(3)如图,过 C作 CN垂直于对称轴,垂足 N在对称轴上
11、,取一点 E,使 EN=CN=2,连接 CE,EM=6.10当 y=0时,( x-2)2-1=0,解得 x1=1,x2=3, A(1,0),B(3,0). CN=EN, CEP= PMB= CPB=45, EPB= EPC+ CPB= PMB+ PBM, EPC= PBM, CEP PMB, = ,易知 MB= ,CE=2 ,EPMBCEPM 2 2 = ,解得 PM=3 ,6-PM2 22PM 5 P点坐标为(2,2 + )或(2,2 - ).5 55.解:(1)直线 l:y= x+m经过点 B(0,-1),34 m=-1,直线 l的解析式为 y= x-1.34直线 l:y= x-1经过点
12、C(4,n),34 n= 4-1=2.34抛物线 y= x2+bx+c经过点 C(4,2)和点 B(0,-1),12 1242+4b+c=2,c= -1, 解得 b= -54,c= -1,抛物线的解析式为 y= x2- x-1.12 54(2)令 y=0,则 x-1=0,34解得 x= ,4311点 A的坐标为 ,0 ,43 OA= .43在 Rt OAB中, OB=1, AB= = = .OA2+OB2 (43) 2+1253 DE y轴, ABO= DEF,在矩形 DFEG中, EF=DEcos DEF=DE = DE,OBAB35DF=DEsin DEF=DE = DE,OAAB45 p
13、=2(DF+EF)=2 + DE= DE,4535 145点 D的横坐标为 t(0t4), D t, t2- t-1 ,E t, t-1 ,12 54 34 DE= t-1 - t2- t-1 =- t2+2t,34 12 54 12 p= - t2+2t =- t2+ t,145 12 75 285 p=- (t-2)2+ ,且 - 0,75 285 75当 t=2时, p有最大值 .285(3) AOB绕点 M沿逆时针方向旋转 90, A1O1 y轴, B1O1 x轴 .设点 A1的横坐标为 x,如图 ,点 O1,B1在抛物线上时,点 O1的横坐标为 x,点 B1的横坐标为 x+1, x2
14、- x-1= (x+1)2- (x+1)-1,12 54 12 5412解得 x= .34如图 ,点 A1,B1在抛物线上时,点 B1的横坐标为 x+1,点 A1的纵坐标比点 B1的纵坐标大 ,43 x2- x-1= (x+1)2- (x+1)-1+ ,12 54 12 54 43解得 x=- .712综上所述,点 A1的横坐标为 或 - .34 7126.解:(1)令 y=0,得 x2- x- =0,33 233 3解得 x1=-1,x2=3,点 A(-1,0),B(3,0).点 E(4,n)在抛物线上, n= 42- 4- = ,33 233 3533即点 E ,(4,533)设直线 AE
15、的解析式为 y=kx+b,则 ,解得-k+b=0,4k+b=533 k= 33,b= 33,直线 AE的解析式为 y= x+ .33 33(2)令 y= x2- x- 中 x=0,得 y=- ,33 233 3 313 C(0,- ).由(1)得点 E ,3 (4,533)直线 CE的解析式为 y= x- .233 3过点 P作 PH y轴,交 CE于点 H,如图 ,设点 P t, t2- t- ,则 H t, t- ,33 233 3 233 3 PH= t- - =- t2+ t,233 3(33t2-233t- 3) 33 433 S PCE=S PHC+S PHE= PH12 |xE-
16、xC|= 412 (- 33t2+433t)=- t2+ t233 833=- (t2-4t)233=- (t-2)2+ .233 833 - 0,233当 t=2时, S PCE最大,此时点 P(2,- ).3 C(0,- ),3 PC x轴 . B(3,0),K为 BC的中点, K ,- .32 3214如图 ,作点 K关于 CP,CD的对称点 K1,K2,连接 K1K2,分别交 CP,CD于点 M,N.此时 KM+MN+NK最小,易知 K1 ,- .32 332 OC= ,OB=3,OD=1,3 OCB=60, OCD=30, CD平分 OCB,点 K2在 y轴上 . CK=OC= ,3点 K2与原点 O重合, KM+MN+NK=K1M+MN+NO=OK1= =3,(32)2+(-332)2 KM+MN+NK的最小值为 3.(3)存 在 .如图 ,点 Q的坐标分别为 Q1(3,2 ),Q2 3, ,Q3 3,- ,3-43+2213 235Q4 3, .-43-22131516
