1、- 1 -湖北省部分重点中学 20182019 学年度下学期高一期中考试数学试卷一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知非零向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为,ab4a2abA B C D 323562已知 ， ，若不等式 恒成立，则实数 的最大值是（ ）A10 B9 C8 D73在平行四边形 中， 是 边的中点， 与 相交于 ，则 （ ）A B C D4已知 ,点 为 所在平面内的点，且 ，COHAACHBA, , 则点 O 为 的 ( )B HA.内心 B.外心 C.重心 D.垂心5已知 a，b，c 为
2、的三个内角 A，B，C 的对边，向量 =（ ，-1），=（cosA，sinA），若 ，且 ，则角 B=（ ）A B C D6若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球表面积之比为A3 ：1 B4 ：1 C5 ：1 D6 ：17在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，则 （ ）A B C D- 2 -8若一元二次不等式 的解集为 ，则 的解集为（ ）A BC D9已知 不等式 的解集是 ，若对于任意 ，不等式恒成立，则 t 的取值范围（ ）A B C D10已知 中， A， B， C 的对边分别是 a， b， c，且 ，则 AB 边上的中线的长为 A B C 或 D 或11已知 的内角
3、， ， 的对边分别是 ， ， ，且，若 的外接圆半径为 ，则 的周长的取值范围为（ ）A B C D12已知 是等边 的外接圆，其半径为 4， M 是 所在平面内的动点，且，则 的最大值为 2MA4 B6 C8 D10二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置.13如图，棱长均为 2 的正四棱锥的体积为_14已知向量 满足 ， ， ，则向量 在向量 上的投影为_15若关于 x 的不等式 的解集为（1,2），则关于 x 不等式20axbc的解集为 2(1)0ac- 3 -16已知在边长为 2 的正方形 ABCD 中，M，N 分别为边 AB，AD 的中
4、点，若 P 为线段 MN 上的动点，则 的最大值为_三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知向量 ， 不共线， ， dab若 ，求 k 的值，并判断 是否同向；/cd,c若 ， 与 夹角为 ，当 k 为何值时， abcd18已知 的内角 所对的边分别为 ，且 .（1）求角 的大小；（2）若 ， ，求 的面积.19如图所示，在边长为 的正三角形 中， 依次是 的中点，, ， ， 为垂足，若将 绕 旋转 ，求阴影部分形成的几何体的表面积与体积.20某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为轮船的最大速度为 15
5、海里 小时 当船速为 10 海里 小时，它的燃料费是每小时 96 元，其余航行运作费用（不论速度如何)总计是每小时 150 元 假定运行过程中轮船以速度 v 匀速航行求 k 的值；求该轮船航行 100 海里的总费用 燃料费 航行运作费用 的最小值21设函数 . （1）当 时，若对于 ，有 恒成立，求 的取值范围；（2）已知 ，若 对于一切实数 恒成立，并且存在 ，使得 成立，求 的最小值.22已知函数 .- 4 -（1）当 时，求该函数的定义域；（2）当 时，如果 对任何 都成立，求实数 的取值范围；（3）若 ，将函数 的图像沿 轴方向平移，得到一个偶函数 的图像，设函数 的最大值为 ，求 的
6、最小值.- 5 -20182019 下学期高一数学期中考试试题答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C B A B A C C D B C B C13 14-1 15 163431(,3,)217. ， ， ，即又向量 ， 不共线， ，解得 ， ，即 ，故 与 反向， 与 夹角为 ，又 故 ，即 解得 故 时， 18. （1） ，由正弦定理可得 ，即 ， 是 的内角， ，（2） ， .由余弦定理可得： ，即：可得 ，又 ， ，的面积 .19. 旋转后几何体是一个圆锥，从里面挖去一个圆柱，- 6 -因为ABC 为边长为 8 的正三角形，所以 BD=4，AD=EBH
7、中，B=60，EB=4，BH=HD=DG=2，EH= ，圆锥底面半径 HD=2，高 EH= ，圆柱底面半径 BD=4，高为 AD= .， 所以几何体的表面积为： 所以 ， 所求几何体积为20. 由题意，设燃料费为 ，当船速为 10 海里 小时，它的燃料费是每小时 96 元，当 时， ，可得 ，解之得 其余航行运作费用 不论速度如何 总计是每小时 150 元航行 100 海里的时间为 小时，可得其余航行运作费用为 元因此，航行 100 海里的总费用为，当且仅当 时，即 时，航行 100 海里的总费用最小，且这个最小值为 2400 元答： 值为 ， 该轮船航行 100 海里的总费用 W 的最小值为
8、 元 21. （1）据题意知，对于 ，有 恒成立，即 恒成立，因此 ，设 ，所以 ，函数 在区间 上是单调递减的， （2）由 对于一切实数 恒成立，可得 ， - 7 -由存在 ，使得 成立可得 ，当且仅当 时等号成立，22. （1）a=-1 时，f（x）=log 2（ax 2+2x-a）=log 2（-x 2+2x+1），解-x 2+2x+10 得所以函数的定义域为（2） 当 a0 时，f（x）1 即 log2（ax 2+2x-a）1，即 ax2+2x-a-20 对任何 x2，3都成立，则 令 ，因为当 x2，3时 是单调递增函数所以所以 ，又因为所以 a 的取值范围为（3）当 a0 时，设将 f（x）的图象沿 x 轴方向平移 t 个单位得到 g（x）的图象，则 g（x）= a（x+t） 2+2（x+t）-a= ax2+（2at+2）x+at 2+2t-a，因为 g（x）为偶函数，所以 g（-x）=g（x），则 ax2-（2at+2）x+at 2+2t-a= ax2+（2at+2）x+at 2+2t-a，所以 2at+2=0，所以所以 因为 a0 所以 x=0 时， 因为 此时 ，解得所以即 的最小值为 1
