1、1第二讲解题的指导思想化归寻旧在数学习题的解答过程中，除了第一讲中对信息加工的实践操作活动外，更重要的是大脑加工信息的思维活动，它的规律就是化归寻旧思想 “寻”即“寻找” “联系”之意；“旧”指现有的知识经验也就是说信息加工的思维活动规律就是寻找问题的信息与现有的知识经验之间的联系，为加工信息的实践操作活动指明方向，即为化归活动确定方向常见的化归寻旧方法有以下几种：一、求同求异，寻旧之规律(一)求同寻旧求同寻旧就是习题解答过程中人的思维活动总是表现为寻找习题信息与已知的某项知识经验的共性特别是寻找问题信息与已知的某个公式、某个定理或某个曾经解决过的问题等在表达形式上或内容上的共同点解题者在感知
2、问题的信息时，眼睛如照相机一样将习题所呈现的信息符号拍摄下来，这些符号通过视觉神经传输到大脑，大脑对信息符号进行识别、分类，然后寻找信息符号在认知结构中的联络点，联络点一经找到，就说明习题信息与认知结构中的某项知识经验存在一定的联系例 1 已知 ，求证：sin .sin a2 1 cos 2asin 2 11 2acos 2 a2 a2 1a2 1求同寻旧 由于条件和结论都是三角等式，而结论信息是不含角 2 的三角等式，根据认知经验“条件中含有 2 的三角函数，而结论是不含 2 的三角函数，说明应当对条件信息进行加工处理，消去 2 ”为了消去 2 的三角函数，联系到熟悉结构的经验sin22 c
3、os 22 1，就会产生“先解出 sin 2 ，cos 2 ，然后平方消去参数 2 ”这一化归方案证明 因为 ，sin a2 1 cos 2asin 2所以 2asin 2 . a2 1 cos sin 因为 ，sin a2 1 11 2acos 2 a2所以 2acos 2 (1 a2)a2 1sin 由 2 2再化简得 2(a21)( a21)sin 2( a21) 2.因为 a210，所以 sin .a2 1a2 1反思归纳 此题通过求同寻旧提出了消去角 2 的解题思路，显然，解题的假设方案和化归方案都是寻旧思想对大脑作用的产物(二)求异寻旧2求异寻旧就是习题解答过程中人的思维活动总是表
4、现为寻找问题信息与认知结构中的某项知识经验的特征差异，以便化异为同，促使习题信息与认知结构的“网点”顺利“链接” 求同寻旧与求异寻旧在解题过程中总是结伴而行一般来说，两个事物总是存在着区别和联系，相同之外有不同，不同之中有相同，没有完全相同和完全不同的两件事物寻旧就是寻找习题信息与认知结构中知识经验的联系和区别，特别要善于在不同之中找到一点共性，在相似之间发现其中的差异求同寻旧旨在寻找联系，从而为处理信息或问题解决提出假设方案；求异寻旧旨在发现差异，从而为信息加工指明方向，所以求同求异是不可分的例 2 如果方程组Error!只有一组解，则实数 k 的值为_求同寻旧 由于我们认知结构中有这样一项
5、经验一元二次方程根的存在及判定，而这个问题不是一元二次方程，它是求方程组的一组解二者存在的共性都是与求解相关的问题求异寻旧 认知经验是“一元二次方程” ，而此问题是“二元二次对数方程组” ，二者在元的个数和方程的个数上存在着差异，这就要求我们对原方程组进行“消元”处理，化异为同，即Error!Error!2(log 3x)22log 3klog3x(log 3k)220.求异寻旧 认知经验中的熟悉结构是“一元二次方程” ，而方程是“对数方程” ，二者在方程形式上存在着差异，这就要求我们对方程进行“换元”处理，化异为同解析 因为 log3xR，设 log3x t(tR)，方程化为 2t22 tl
6、og3k(log 3k)220.要使原方程组只有一组解，只需方程只有一个根即可所以 4(log 3k)28(log 3k)2160k9 或 k .19答案 9 或19反思领悟 此题通过求异寻旧找到了“二元二次对数方程组只有一组解”与“一元二次方程只有一个根”的差异，提出了“消元”的解题思路，得到了.又通过求异寻旧找到了“对数方程”与“一元二次方程”的差异，提出了“换元”的解题思路，得到了熟悉的方程.显然，解题的假设方案和化归方案都是寻旧思想对大脑作用的产物二、上游下游，寻旧之方向对于两项信息 A， B，如果 A 是 B 的充分条件，我们称 A 是 B 的上游信息， B 是 A 的下游信息我们称
7、从上游信息向下游信息联想的思维活动为顺推寻旧，从下游信息向上游信息联想的思维活动为逆推寻旧3(一)下游顺推信息法就是针对一项信息 A，沿着熟悉结构中的某条线进行顺推，顺推得到的新信息是上一步信息的必要条件(或充要条件)，我们称这种寻旧为下游顺推信息法，如图所示 信 息 A 信 息 A1 信 息 A2 信 息 A3例 3 已知函数 f(x) x22 x，若存在实数 t，使不等式 f(x t) x1 对任意的x1， m(m1)恒成立，求实数 m 的取值范围解 这个习题呈现的信息有 2 项：存在实数 t，使不等式 f(x t) x1 对任意的 x1， m(m1)恒成立；求实数 m 的取值范围此题信息
8、很清晰，而信息虽然是一个不等式恒成立问题，但不等式的结构是隐性的，不直观、不清晰，根据熟悉结构的解题经验(即寻旧)，首先对信息进行加工处理，使信息清晰，这样便于寻找与熟悉结构的联系将信息进行下游顺推转化为 1：“存在实数 t，使不等式( x t1) 2 x 对任意的x1， m(m1)恒成立” ，即转化为信息的充要条件；将信息 1进行下游顺推转化为 2：“存在实数 t，使不等式| x t1| 对任意的xx1， m(m1)恒成立” ，即转化为信息 1的充要条件；将信息 2进行下游顺推转化为 3：“存在实数 t，使不等式Error!对任意的 x1， m(m1)恒成立” ，即转化为信息 2的充要条件；
9、将信息 3进行下游顺推转化为 4：“存在实数 t，使不等式Error!成立” ，即转化为信息 3的充要条件；将信息 4进行下游顺推转化为 5：“不等式 m 13” ，即转化为信息 4的必m要条件；将信息 5进行下游顺推转化为 6：“1 m4” ，即转化为信息 5的充要条件由此可见，此题的解答过程就是信息的下游顺推转化过程，一次次将信息向下游转化为它的充要条件，建立一条从信息到信息的解题通道例 4 已知 a0， b0， a 4，求 的最小值b2 83a 1b解 这个习题呈现的信息有 3 项： a0， b0； a， b 之间的关系式为a 4；求 的最小值b2 83a 1b此题两个变量之间存在联系，
10、根据熟悉结构的解题经验(即寻旧)，一个自变量的问题是函数问题，求函数最小值有导数这个通法此题如果能消去一个自变量，就可以转化为求函数最小值问题于是可以采取以下两种消元处理信息的方法转化为信息的充要条件；将信息转化为求 的最小值，这也是下游顺34 b2 8 1b推信息法，即转化为信息的充要条件；此时，问题结论信息转化为“已知 0 b2 ，24求 F(b) 的最小值” ，这也是下游顺推信息法，即转化为结论信息的充要条34 b2 8 1b件由题意知 a4 (0 b2 )，b2 8 2令 F(b) .3a 1b 34 b2 8 1b因为 F( b) 3bb2 8 4 b2 8 2 1b2 .1bb2
11、8 4 b2 8 23b2 4 b2 8 21 8b2显然， f(b)4 和 g(b) 在(0,2 )上单调递减且恒正b2 81 8b2 2所以 u(b)3 b2(4 )2 在(0,2 )上单调递增b2 81 8b2 2列表如下：b (0,1) 1 (1,2 )2u(b) 0 F( b) 0 所以 F(b)min F(1)4，即 的最小值为 4.3a 1b(二)上游逆推信息法就是针对一项信息 A，沿着熟悉结构的某条线进行逆推，即要得到信息 A，只需要信息B.逆推得到的新信息都是上一步信息的充分条件(或充要条件)，我们称这种寻旧为上游逆推信息法，如图所示 信 息 A3 信 息 A2 信 息 A1
12、 信 息 A例 5 已知 an2 n1，求证： .a1a2 a2a3 anan 1n2 13证明 这个习题呈现的信息有 2 项： an2 n1；求证 .a1a2 a2a3 anan 1n2 13信息是一个不等式，根据熟悉结构的解题经验(即寻旧)，由于两边都是关于 n 的代数式，两边都是递增的，容易想到放缩法于是可以采取以下信息处理法由 ，将信息进行下游顺推转化为信息 1：求证anan 1 2n 12n 1 1 12 12n 2 2 nk 1 ，即转化为信息的充要条件；12k 2 2 13联想一个公比为 的等比数列，即 ，将信息 1进行上12 13(12 122 12n) 13(1 12n) 1
13、35游逆推转化为 2：求证 ，即转化为信息 1的充分条件；nk 1 12k 2 2nk 1 132k将信息 2进行上游逆推转化为 3：求证 ，即转化为信息 2的充分12n 2 2 132n条件；将信息 3向下顺推转化为 4：求证 2n2(显然成立)，即转化为信息 3的充要条件反思领悟 显然，此题的解答过程就是对信息进行下游顺推信息和上游逆推信息相结合的过程，特别是将信息 1向上逆推转化为 2是解答此题的关键，这就是常说的“加强命题证明不等式” 数学习题解答过程的思维规律是寻旧，究竟如何寻旧？就是寻找问题信息和熟悉结构之间的联系就是将问题的某项信息进行下游顺推或上游逆推，以此寻找新信息显然，下游顺推信息法和上游逆推信息法既是寻旧思维活动的两种方向，也是数学习题解答的基本方法值得一提的是：对问题的某些信息进行寻旧时，不是一次或几次进行下游顺推信息或上游逆推信息，可能是下游顺推信息和上游逆推信息多次交互结合进行一次次得到的新信息可能就是认知结构中某一条线上的知识点，特别是难度较大的数学习题，也可能是多条线上的公共知识点6
