1、1思想方法训练 2 分类讨论思想一、能力突破训练1.已知函数 f(x)= 若存在 x1,x2R,且 x1 x2,使得 f(x1)=f(x2)成立,则实数 a 的-2+,1,2-5,1,取值范围是 ( )A.(- ,2)B.(- ,4)C.2,4D.(2,+ )2.在 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 b2+c2-a2= bc,且 b= a,则下列关系一定不成3 3立的是( )A.a=c B.b=cC.2a=c D.a2+b2=c23.若 a0,且 a1, p=loga(a3+1),q=loga(a2+1),则 p,q 的大小关系是( )A.p=qB.pqD.当 a1
2、 时, pq;当 00,且 x1,则函数 y=lg x+logx10 的值域为 ( )A.R B.2,+ )C.(- ,-2 D.(- ,-22, + )7.设 Sn是等比数列 an的前 n 项和, S3,S9,S6成等差数列,且 a2+a5=2am,则 m 等于( )A.6 B.7C.8 D.108.已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, AB=BC=CA=3,SA=SB=SC,球心 O 到平面 ABC 的距离为 1,则 SA 与平面 ABC 所成角的大小为( )A.30 B.60C.30或 60 D.45或 609.已知函数 y=ax(a0,且 a1)在1,2上的最大值比
3、最小值大,则 a 的值是 . 10.已知函数 f(x)=|ln x|,g(x)= 则方程 |f(x)+g(x)|=1 实根的个数为 0,01,. 11.已知函数 f(x)=2asin2x-2 asin xcos x+a+b(a0)的定义域为 ,值域为 -5,1,求常数3 0,2a,b 的值 .212.设 a0,函数 f(x)= x2-(a+1)x+a(1+ln x).(1)求曲线 y=f(x)在(2, f(2)处与直线 y=-x+1 垂直的切线方程;(2)求函数 f(x)的极值 .二、思维提升训练13.若直线 l 过点 P 且被圆 x2+y2=25 截得的弦长是 8,则直线 l 的方程为( )
4、(-3,-32)A.3x+4y+15=0B.x=-3 或 y=-C.x=-3D.x=-3 或 3x+4y+15=014.已知函数 f(x)= 则方程 f(x)=ax 恰有两个不同实数根时,实数 a 的取值范围是110+1(1),-1(1),(注:e 为自然对数的底数)( )A.(-1,0 B.(-1,110)C.(-1,0 D.110,12) (-1,12)15.已知 a 为实数,函数 f(x)=|x2-ax|在区间0,1上的最大值记为 g(a).当 a= 时, g(a)的值最小 . 16.已知函数 f(x)=aln x+x2(a 为实数) .(1)求函数 f(x)在区间1,e上的最小值及相应
5、的 x 值;(2)若存在 x1,e,使得 f(x)( a+2)x 成立,求实数 a 的取值范围 .317.设函数 f(x)= cos 2x+(- 1)(cos x+1),其中 0,记 |f(x)|的最大值为 A.(1)求 f(x);(2)求 A;(3)证明 |f(x)|2 A.4思想方法训练 2 分类讨论思想一、能力突破训练1.B 解析 当 - 2a-5,即 2 aloga(a2+1),即 pq.当 a1 时, y=ax和 y=logax 在其定义域上均为增函数, a 3+1a2+1, loga(a3+1)loga(a2+1),即 pq.综上可得 pq.4.C 解析 焦点在 x 轴上时, ,此
6、时离心率 e= ;焦点在 y 轴上时, ,此时离心率 e=34 =54 =34,故选 C.=535.C 解析 不妨设 |AB|=2,以 AB 中点 O 为原点, AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系 xOy,则 A(-1,0),B(1,0),设 M(x,y),则 N(x,0), =(0,-y), =(x+1,0), =(1-x,0),代入已知式子得 x 2+y2= ,当 = 1 时,曲线为 A;当 = 2 时,曲线为 B;当 1 时, y=lg x+logx10=lg x+ 2 =2;当 01 时, y=ax在区间1,2上递增,故 a2-a=,得 a=;当 01, 0,01,所以方程 |
7、p(x)|=1 有 2 个解,即方程 |ln x+x2-6|=1 有 2 个解 .综上可知,方程 |f(x)+g(x)|=1 共有 4 个实根 .11.解 f(x)=a(1-cos 2x)- asin 2x+a+b3=-2asin +2a+b.(2+6)x , 2x+ ,0,2 66,76- sin 1.12 (2+6)因此,由 f(x)的值域为 -5,1,可得0,-2(-12)+2+=1,-21+2+=-5或0,f(x)=x-(a+1)+.因为曲线 y=f(x)在(2, f(2)处切线的斜率为 1,所以 f(2)=1,即 2-(a+1)+ =1,所以 a=0,2此时 f(2)=2-2=0,故
8、曲线 f(x)在(2, f(2)处的切线方程为 x-y-2=0.6(2)f(x)=x-(a+1)+=2-(+1)+ =(-1)(-) . 当 00,函数 f(x)单调递增;若 x( a,1),则 f(x)0,函数 f(x)单调递增 .此时 x=a 是 f(x)的极大值点, x=1 是 f(x)的极小值点,函数 f(x)的极大值是 f(a)=- a2+aln a,极小值是 f(1)=-12 12. 当 a=1 时,若 x(0,1),则 f(x)0,若 x=1,则 f(x)=0,若 x(1, + ),则 f(x)0,所以函数 f(x)在定义域内单调递增,此时 f(x)没有极值点,也无极值 . 当
9、a1 时,若 x(0,1),则 f(x)0,函数 f(x)单调递增;若 x(1, a),则 f(x)0,函数 f(x)单调递增,此时 x=1 是 f(x)的极大值点, x=a 是 f(x)的极小值点,函数 f(x)的极大值是 f(1)=- ,极小值是 f(a)=- a2+aln a.12 12综上,当 01 时, f(x)的极大值是 - ,极小值是 - a2+aln a.12 12二、思维提升训练13.D 解析 若直线 l 的斜率不存在,则该直线的方程为 x=-3,代入圆的方程解得 y=4,故直线 l被圆截得的弦长为 8,满足条件;若直线 l 的斜率存在,不妨设直线 l 的方程为 y+=k(x
10、+3),即 kx-y+3k-=0,因为直线 l 被圆截得的弦长为 8,故半弦长为 4,又圆的半径为 5,则圆心(0,0)到直线 l 的距离为 ,解得 k=-,此时直线 l 的方程为 3x+4y+15=0.52-42=|3-32|2+114.C 解析 因为方程 f(x)=ax 恰有两个不同的实数根,所以 y=f(x)与 y=ax 的图象有 2 个交点, a表示直线 y=ax 的斜率 .当 a0,x1 时, y= 设切点为( x0,y0),k= ,所以切线方程为 y-y0= (x-x0),而1. 10 10切线过原点,所以 y0=1,x0=e2,k= ,所以切线 l1的斜率为 设过原点与 y= x
11、+1 平行的直线为 l2,12 12. 110则直线 l2的斜率为 ,所以当直线在 l1和 l2之间时,符合题意,此时实数 a 的取值范围是110当 a0,解得 0,因而 a ,x1,e, 令 g(x)= (x1,e),2-2- 2-2-8则 g(x)= ,(-1)(+2-2)(-)2当 x1,e时, x-10,ln x1, x+2-2ln x0,从而 g(x)0(仅当 x=1 时取等号),所以 g(x)在区间1,e上是增函数,故 g(x)min=g(1)=-1,所以实数 a 的取值范围是 -1,+ ).17.(1)解 f(x)=-2 sin 2x-(- 1)sin x.(2)解 (分类讨论)
12、当 1 时,|f(x)|=| cos 2x+(- 1)(cos x+1)| + 2(- 1)=3- 2=f(0).因此 A=3- 2.当 01-4 13 15.当 00,15知 g(-1)g(1)g(1-4).又 -|g(-1)|= 0,|(1-4)| (1-)(1+7)8所以 A=|(1-4)|=2+6+18 .综上, A=2-3,015,2+6+18 ,151,3-2,1. (3)证明 由(1)得 |f(x)|=|-2 sin 2x-(- 1)sin x|2 +|- 1|.当 0 时, |f(x)|1 + 2 -4 2(2-3 )=2A.15当 1 时, A= 1,15 8+18+34所以 |f(x)|1 + 2A.当 1 时, |f(x)|3 - 16 - 4=2A.所以 |f(x)|2 A.
