1、1专题 34 平面向量 平面向量的应用【考点讲解】1、具本目标：一）向量的应用1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.二）考点解读与备考:1.近几年常以考查向量的共线、数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度较低； 2.常与平面几何、三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查，常用向量的知识入手.力学方面应用的考查较少.3.备考重点：(1) 理解有关概念是基础，掌握线性运算、坐标运算的方法是关键；(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，应注意运用数形结合的数学思想，将共线、垂直等问题，通过建立平面直角坐标
2、系，利用坐标运算解题.4.难点：向量与函数、三角函数、解析几何的综合问题.以向量形式为条件，综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题.要充分应用向量的公式及相关性质，会用向量的几何意义解决问题 ，有时运用向量的坐标运算更能方便运算.二、知识概述：常见的向量法解决简单的平面几何问题：1.垂直问题:(1)对非零向量 a与 b, .(2)若非零向量 .2.平行问题:(1)向量 a与非零向量 b共线,当且仅当存在唯一一个实数 ,使得 .(2)设 是平面向量,则向量 a与非零向量 b共线 .3.求角问题:2(1)设 ,ab是两个非零向量,夹角记为 ,则 cos .(2)若 是平面向量,则 .4.距离（长度
3、）问题:(1)设 (,)axy,则2a,即 a .(2)若 ,且 AB,则 .【答案】1. 2.(1)ab,(2) 3.(1) ,(2) .4.(1) (2) .【优秀题型展示】1. 在平面几何中的应用：已知 ABCD中， ,BC边上的高为 AD，求点 和向量 AD的坐标. 解得 1yx 点 D 坐标为（1，1） ， （1，2）.【答案】 AD（1，2）【变式】已知四边形 BC的三个顶点 (02)A， ， (1)B， ， (3)C， ，且 2BAD，则顶点 的坐标为 （ ）A 72， B 12， C (3)， D ()，【答案】A【变式】已知正方形 OABC的边长为 1，点 DE、 分别为 A
4、BC、 的中点，求 cosDOE的值.【解析】以 O、 为坐标轴建立直角坐标系,如图所示.Ey3由已知条件,可得2.在三角函数中的应用：已知向量 3(sin,)4ax， 设函数 ，已知在 ABC中，内角 BC、 、 的对边分别为 bc、 、 ，若 a， 2b， 6sin3B，求 （ 0,3x）的取值范围.因为 + 32.所以 1,， ,所以 .【答案】3.在解析几何中的应用：（1）已知直线 x y a 与圆 x2 y24 交于 A、 B 两点，且| | |，其中 O 为坐标原点，则OA OB OA OB 实数 a 的值为_【解析】如图所示，以 OA、 OB 为边作平行四边形 OACB，则由|
5、| |得，OA OB OA OB OCBADx4平行四边形 OACB 是矩形， . OA OB 由图象得，直线 y x a 在 y 轴上的截距为2.【答案】2（2)椭圆 的焦点为 F ,1F2，点 P 为其上的动点，当 F1P F2为钝角时，点 P 横坐标的取值范围是 .【答案】 （ ）法二： F1（ 5,0） F2（ ,0）,设 P（ x,y）.2P为钝角， = 25109x.解得：.点 P 横坐标的取值范围是（ ）.【答案】 （ ）【真题分析】1.【2017 浙江，15】已知 向量 ba,满足 则 的最小值是_，最大值是_5设 ，则 ，那么有 ，因为 ，所以，可以得到 的最小值是 4，最大
6、值是 52.【答案】4， 252. 【2015 高考安徽，文 15】 ABC是边长为 2 的等边三角形，已知向量 ba、 满足 aAB，则下列结论中正确的是 .（写出所有正确结论得序号） a为单位向量； b为单位向量； ba；/； 。【解析】本题主要考查平面向量的基本概念和基本性质的应用.等边三角形 ABC 的边长为 2, AB2 2 a2 1,故正确； ，故错误，正确；由于夹角为 120，故错误；又 ，故正确 因此，正确的编号是【答案】3.【2014 上海,文 14】已知曲线 C： ，直线 l： x=6.若对于点 A（ m， 0） ,存在 C 上的点 P 和l 上的点 Q 使得 ，则 m 的
7、取值范围为 .【解 析】本题考点是向量线性运算与解析几何中点与直线的位置关系的应用.由 知 A是6PQ的中点，设 (,)xy，则 ，由题意 20x， 6mx，解得 23m【答案】 2,34.【 2014 湖南 16】在平面直角坐标系中, O为原点, 动点 D满足 C=1，则的最大值是_.【答案】 175.【2014，安徽文 10】设 ,ab为非零向量， 2ba，两组向量 1234,x和 均由 2 个a和 2 个 b排 列而成，若 所有可能取值中的最小值为2a，则 与 b的夹角为 （ ）A 23 B C 6 D0【解析】本题的考点是向量的数量积运算与分类讨论思想的应用由题意 有以下三种可能： ；
8、7；，已知第种情况原式的值最小，即 ，解得，即 ,3ab，故选 B 【答案】 936.已知向量 a(sin ，cos )与 b( ，1)，其中 (0， )3 2(1)若 b，求 sin 和 cos 的值；(2)若 f( )( a b)2，求 f( )的值域【解析】(1) ，sin 1 cos 0，求得 tan .3 3又 (0， )， . 2 3sin ，cos .32 12(注：本问也可以结合 sin2 cos 2 1 或化为 2sin( )0 来求解) 3(2)f( )(sin )2(cos 1) 22 sin 2cos 54sin( )5，3 3 6又 (0， )， ( ， )， sin
9、( )1， 2 6 6 23 12 67 f( )9，即函数 f( )的值域为(7,9.7.已知 ji,是 x,y 轴正方向的单位向量，设 a= , b= ,且满足|a| b|=2.求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程.8.在直角坐标系 xOy中，已知点 ，点 (,)Pxy在 ABC三边围成的区域（含边界）上，且 .8（1）若 23mn，求 |OP；（2）用 ,xy表示 mn，并求 的最大值.【解析】（1） ， (2,1)AC.，又 23mn.，. （2） 即 ，两式相减得： .令 yxt，由图可知，当直线 yxt过点 (2,3)B时， t取得最大值 1，故 mn的最大值为 1.【 答案】 （1） 2；（2） ，1.9
