1、- 1 -四川省成都外国语学校 2018 届高三下学期 3 月月考数学（文）试题一：选择题。1.设全集 2，3，4， ，集合 3， ，集合 ，则 A. B. C. D. 3，【答案】B【解析】由题意，因为全集 ，集合 ，所以 ，又因为集合 ，所以 ，故选 B2.i 为虚数单位，则 的虚部为 A. 2 B. C. 2i D. 【答案】B【解析】【分析】化简已知复数，由复数的基本概念易得虚部。【详解】化简可得复数的虚部为本题正确选项：【点睛】本题考查复数的运算法则，涉及复数的基本概念。需要注意 的虚部为 ，不要误写为 。3.抛物线 的焦点到准线的距离为 A. B. C. 2 D. 8【答案】C【解
2、析】【分析】抛物线方程化为标准方程，利用抛物线的标准方程可得 ，由焦点到准线的距离为 ，得到结果。- 2 -【详解】将抛物线 整理为由标准方程 可得根据抛物线性质可知，焦点到准线的距离为本题正确选项：【点睛】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，判断焦点到准线的距离为 是解题的关键。4.数列 中“ 对任意 且 都成立”是“ 是等比数列”的 A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由“a n为等比数列”能推出“a n2=an1 an+1”，当数列为 an=an1 =an+1=0 时，尽管满足“a n2=an1 an+1”，但“
3、a n不为等比数列，故“a n为等比数列”是“a n2=an1 an+1”的必要不充分条件，故选：A5.如图所示的程序框图，若输出的 ，则判断框内应填入的条件是 A. ？ B. ？ C. ？ D. ？【答案】B- 3 -【解析】执行循环得结束循环，输出 ，所以 ，选 C.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.6.设函数 的图象为 C，下面结论中正确的是 A. 函数 的最小正周期是B. 函数 在区间 上是增函数
4、C. 图象 C 可由函数 的图象向右平移 个单位得到D. 图象 C 关于点 对称【答案】D【解析】【分析】利用正弦函数的周期性、单调性、图象的对称性以及 的图象变换规律，依次排除，得到正确结果。【详解】函数 的最小正周期为 ，可得 错误；在区间 上， ，根据 图像可知， 在 不单调，可得 错误；把函数 的图象向右平移 个单位，可得 的图象，与 不符，可得 错误；令 ，可得 ，图象 关于点 对称，可得 正确。本题正确选项：【点睛】判断 的基本性质，往往采用整体代入的方法，对应 的图像，来判断结论是否正确；图像左右平移时，需要注意左右平移的单位是针对 的变化。7.已知 l， m， n 为三条不同直
5、线， ， ， 为三个不同平面，则下列判断正确的是 A. 若 ， ，则- 4 -B. 若 ， ， ，则C. 若 ， ， ，则D. 若 ， ， ， ，则【答案】C【解析】对于选项 A，若 m ， n ，则 m 与 n 可能平行，可能相交，也可能异面，故 A 错误对于选项 B，在正方体 ABCD A B C D中，设平面 ABCD 为平面 ，平面 CDD C为平面 ，直线 BB为直线 m，直线 A B 为直线 n，则 m ， n ， ，但直线 n与 m 不垂直，故 B 错误对于选项 C，设过 m 的平面 与 交于 a，过 m 的平面 与 交于 b， m ， m ， a， m a，同理可得m b. a
6、 b. b ， a ， a . l， a ， a l， l m.故 C 正确对于选项 D，在正方体 ABCD A B C D中，设平面 ABCD 为平面 ，平面 ABB A为平面 ，平面 CDD C为平面 ，则 AB， CD， BC AB， BC CD，但BC平面 ABCD，故 D 错误故选 C.8.已知 为区域 内的任意一点，当该区域的面积为 2 时， 的最大值是 A. 5 B. 0 C. 2 D. 【答案】【解析】试题分析：由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为 2 的 a 值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案作出可行域如图,由图可得
7、 ，目标函数可化为 当 过 A 点时，z 最大，z=1+22=5，故选 A- 5 -考点：简单的线性规划9.函数 的部分图象如图所示，则 的解析式可以是 A. B. C. D. 【答案】C【解析】观察图象知， f(x)为奇函数，排除 D；又函数在 x0 处有定义，排除 B；取 x ，得f 0，A 不适合，故选 C.10.直线 ： 、 ： 与 ： 的四个交点把 分成的四条弧长相等，则 A. 0 或 1 B. 0 或 C. D. 1【答案】B【解析】试题分析：直线 l1：y=x 与 l2:y=x+2 之间的距离为 ，C： 的圆心为- 6 -（m，m） ，半径 r2=m2+m2，由题意可得 解得 m
8、=0 或 m=-1，故选 B.考点：1.直线与圆的位置关系；2.点到直线的距离.11.设 O 是 的三边中垂线的交点， a， b， c 分别为角 A， B， C 对应的边，已知，则 的范围是 A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将 进行线性拆解，可知需要求出 ， 与 的夹角的余弦值；通过 为 外接圆圆心，利用外接圆表示出两个需求的余弦值，从而将 转化为关于 的二次函数，通过求解二次函数值域得到最终结果。【详解】 是 的三边中垂线的交点，故 是三角形外接圆的圆心，如图所示：连接 并延长交外接圆于 ， 是 的直径，并连接 ， ；则 ， ， ；设 ；当 时， 取最小值 ，又 的范围是本
9、题正确选项：- 7 -【点睛】处理向量数量积范围求解问题主要有两个思路：1.将所求向量进行线性拆解，变成已知向量的数量积问题；2.建立平面直角坐标系，利用坐标运算求解。本题易错点，在于最后利用二次函数求值域时，忽略了 的取值范围，导致求解错误。12.已知函数 的导数为 ，且 对 恒成立，则下列不等式一定成立的是 A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】通过 构造出函数 ，可求得 在 上的单调性；再通过与 的大小关系，得到最终结果。【详解】构造函数 ，可得，对 恒成立可得：函数 在 上单调递增，即本题正确选项：【点睛】本题考查利用导数判断函数单调性问题，难点在于构造函数 。构造函数是导
10、数考查的重难点知识，要注意选项中函数形式所给的提示，同时要利用好 的导函数与原函数一致的特点。二：填空题。13.设函数 的定义域为_【答案】【解析】要使函数有意义需有 ，解得 ，所以函数的定义域为 .14.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为_- 8 -【答案】【解析】【分析】根据三视图还原，得到正方体被截去四面体后的直观图，再利用体积公式求解出两个部分的体积，最终得到比值。【详解】由三视图得，原几何体为在正方体 中，截去四面体 ，直观图如图所示：设正方体棱长为 ，则故剩余几何体体积为 ，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为本题正确结果
11、为：本题考查了几何体的三视图求几何体的体积；关键是正确还有几何体，利用体积公式解答【点睛】本题考查三视图与几何体的体积问题，关键是正确还原几何体；再利用体积公式求解各部分体积；需要注意的是，对于不规则几何体的体积，经常利用割补进行求解。15.过双曲线 的右顶点 A 作斜率为 的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B、 若 ，则双曲线的离心率是_【答案】 - 9 -【解析】【分析】求出直线 l 和两个渐近线的交点，进而表示出 和 ，进而根据 求得 a 和 b 的关系，根据 c2a 2=b2，求得 a 和 c 的关系，则离心率可得【详解】直线 l：y=x+a 与渐近线 l1：bxay=0
12、 交于 B（ ， ） ，l 与渐近线 l2：bx+ay=0 交于 C（ ， ） ，A（a，0） ， =（ ， ） ， =（ ， ） ， ， = ，b=2a，c 2a 2=4a2，e 2= =5，e= ，故答案为： 【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用16.洛萨 科拉茨 Collatz， 是德国数学家，他在 1937 年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数 n，如果 n 是偶数，就将它减半 即 ；如果 n 是奇数，则将它乘 3 加 即 ，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到 如初始正整数为6，按照上述变换
13、规则，我们得到一个数列：6，3，10，5，16，8，4，2， 对科拉茨猜想，目前谁也不能证明，更不能否定 现在请你研究：如果对正整数 首项按照上述规则施行变换 注：1 可以多次出现 后的第八项为 1，则 n 的所有可能的取值为_【答案】- 10 -【解析】【分析】从第八项为 出发，按照规则，逆向逐项推导，即可求出 的所有可能的取值。【详解】如果正整数 按照上述规则施行变换后的第 项为 ，则变换中的第 项一定是 ；变换中的第 项一定是 ；变换中的第 项可能是 ，也可能是 ；当第 项是 时，变换中的第 项是 ；当第 项是 时，变换中的第 项是 ；当第 项是 时，变换中的第 项是 ；当第 项是 时，
14、变换中的第 项是 或当第 项是 时，变换中的第 项是 或 ；当第 项是 时，变换中的第 项是 ；当第 项是 时，变换中的第 项是 ；当第 项是 时，变换中的第 项是 ；当第 项是 时，变换中的第 项是 ；当第 项是 时，变换中的第 项是 或 ；当第 项是 时，变换中的第 项是 或则 的所有可能的取值为 ， ， ， ， ，本题正确结果为：【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，充分考查了学生的推理能力；关键是利用变换规则，进行逆向验证，在验证中注意多个可能取值的影响。三：解答题。17.已知 的面积为 S，且 求 的值；若 ， ，求 的面积 S【答案】(1) (2)3【解析】【分析】（1）根据向量数量
15、积的定义结合三角形的面积公式建立方程求出 ，结合正切的倍角公式进行计算即可；（2）利用两角和差的正弦公式求出 的值，结合正弦定理以及三角形的面积公式进行计算即可。【详解】 （1）设 的角 所对应的边分别为- 11 -，即（2），由正弦定理知： 得三角形的面积【点睛】本题主要考查正弦定理、两角和差公式、二倍角公式以及三角形面积的计算，属于基础变换问题，考查学生的计算能力。求解时要注意在求解 的同角三角函数值时， 的范围对三角函数值符号的影响。18.某小组共有 五位同学，他们的身高（单位:米）以及体重指标（单位:千克/米 2）如下表所示：A B C D E身高 1.69 1.73 1.75 1.7
16、9 1.82体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9()从该小组身高低于 的同学中任选 人，求选到的 人身高都在 以下的概率()从该小组同学中任选 人，求选到的 人的身高都在 以上且体重指标都在 中的概率.- 12 -【答案】() ()【解析】试题分析：列举法求试验的基本事件个数 （1）从身高低于 180 的同学中任选 2 人，共有6 种不同的结果，而两人身高在 178 以下的有 3 种不同的结果，然后由古典概型的概率计算求解即可；（2）从该小组同学中任选 2 人共有 10 种不同的结果，选到的 2 人的身高都在 170 以上且体重指标都在185，239）中的事件有有 3 种
17、结果，由古典概型的概率计算得其概率为 试题解析：（1）从身高低于 180 的同学中任选 2 人，其一切可能的结果的基本事件有：（A，B） ， （A，C） ， （A，D） ，（B，C） ， （B，D） ， （C，D） ，共 6 个由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的选到的 2 人身高都在 178 以下的事件有：（A，B） ， （A，C） ， （B，C） ，共 3 个，因此选到的 2 人身高都在 178 以下的概率为 ；从该小组同学中任选 2 人其一切可能的结果的基本事件：（A，B） ， （A，C） ， （A，D） ，（A，E） ， （B，C） ， （B，D） ， （B，E
18、） ， （C，D） ， （C，E） ， （D，E）共 10 个由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的选到的 2 人的身高都在 170 以上且体重指标都在185，239）中的事件有：（C，D） ，（C，E） ， （D，E）共 3 个因此选到的 2 人的身高都在 170 以上且体重指标都在185，239）中的概率为 考点：古典概型的概率计算19.如图，四棱锥 中， 底面ABCD， ， ， - 13 - 求证： 平面 PAC； 若侧棱 PC 上的点 F 满足 ，求三棱锥 的体积【答案】(1)见解析 (2)【解析】试题分析：（1）由于 可以证明 要证明 只需证明从而 中的两条相交
19、直线， （2）由（1）知 为等腰三角形，面积容易求出，考虑以 BCD 为底面F 为顶点 的三棱锥，以及以 BCD 为底面，P 为顶点的三棱锥面积容易求出，所以试题解析：（1）证明：因为 BC=CD,所以BCD 为等腰三角形,又ACB=ACD,故 BDAC 因为 PA底面 ABCD,所以 PABD从而 BD 与平面 PAC 内两条相交直线 PA,AC 都垂直, 所以 BD平面 PAC（2）解：三棱锥 P BCD 的底面 BCD 的面积 SBCD = BCCDsinBCD= 22sin =由 PA底面 ABCD,得 = SBCD PA= 2 =2由 PF=7FC,得三棱锥 F BCD 的高为 PA
20、,故 = SBCD PA= 2 = ,所以 = - =2- = - 14 -考点：1、线面垂直的判定定理；2、空间几何体的体积公式【方法点晴】本题主要考查的是线面垂直的判定定理及三棱锥的体积公式，属于中档题求三棱锥的体积公式的方法有：间接法，用已知几何体体积减去部分体积即得所求几何体体积直接法，直接求该几何体的一条高与所对应的底面积，这里求几何体的高可通过几何法直接做出高并计算，也可以在空间直角坐标系中用点到面的距离公式来解决20.已知 A 是椭圆 E： 的左顶点，斜率为 的直线交 E 于 A，M 两点，点 N 在 E上， .（）当 时，求 的面积（） 当 时，证明： .【答案】 （） ；（）
21、详见解析.【解析】试题分析：（）先求直线 的方程，再求点 的纵坐标，最后求 的面积；（）设，将直线 的方程与椭圆方程组成方程组，消去 ，用 表示 ，从而表示 ，同理用 表示 ，再由 求 的取值范围.试题解析：（）设 ，则由题意知 .由已知及椭圆的对称性知，直线 的倾斜角为 .又 ，因此直线 的方程为 .将 代入 得 .解得 或 ，所以 .因此 的面积 .（）将直线 的方程 代入 得.由 得 ，故 .- 15 -由题设，直线 的方程为 ，故同理可得 .由 得 ，即 .设 ，则 是 的零点， ，所以 在 单调递增.又 ，因此 在 有唯一的零点，且零点 在 内，所以 .【考点】椭圆的性质，直线与椭圆
22、的位置关系【名师点睛】对于直线与椭圆的位置关系问题，通常将直线方程与椭圆方程联立进行求解，注意计算的准确性.请考生在第 2224 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.21.设函数 ， 为自然对数的底数（1）若曲线 在点 处的切线方程为 ，求实数 的值；（2）当 时，若存在 ，使 成立，求实数 的最小值【答案】 （1） ;（2） .【解析】【试题分析】 （1）先依据题设运用导数的几何意义建立方程求解；（2）先不等式进行等价转化与化归，再够 造函数运用导数知识分析求解：（1）由已知得 ， ， ，则 ，且 ，解之得 ， .（2）当 时， .- 16 -又 = .故当 ，即 时， .“存
23、在 ， 使 成立”等价于“当 时，有 ”，又当 时， ， ，问题等价于“当 时，有 ”.当 时， 在 上为减函数，则 .故 ；当 时， 在 上的值域为 .（i）当 ，即 时， 在 上恒成立，故 在 上为增函数，于是 ，不合题意；（ii）当 ，即 时，由 的单调性和值域知.存在唯一 ，使 ，且满足当 时， ， 为减函数；当 时， ， 为增函数.所以 ， .所以 ，与 矛盾.综上，得 的最小值为 .点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，设立了两个问题，旨在考查与检测导数工具在研究函数的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。求解第一问时，依据题设与导数的几何意义，先求导数再与切线方程进行比对，从而求
24、得 ， ；第二问的求解则先依据题设- 17 -条件将“存在 ， 使 成立”等价转化为“当 时，有”。然后再借助导数的知识分类分析探求 的值，从而使得问题获解。22.在直角坐标系 中，曲线 （ 为参数） ，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的方程为：当极点 到直线 的距离为 时，求直线 的直角坐标方程；若直线 与曲线 有两个不同的交点，求实数 的取值范围【答案】 （1） (2)【解析】【分析】（1）将直线 的方程化为直角坐标方程，由点到直线的距离公式求出 值，可得直线的方程；（2）曲线 中消去参数 ，得出普通方程，并根据三角函数的有界性求出 的取值范围，将直线 与曲线 有两个
25、不同的交点，转化为直线 与二次函数 有两个不同的交点，通过二次函数图象可得出 的取值范围。【详解】 （1）直线 的方程为：则直角坐标方程为极点 到直线 的距离为： ；解得故直线 的直角坐标方程为（2）曲线 的普通方程为直线 的普通方程为联立曲线 与直线 的方程，消去 可得即 与 在 上有两个不同的交点的最大值为 ；且 ；实数 的范围为【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的互化，以及函数与方程思想的应用。求解直线与曲线交点类问题时，通常转化为 与函数的交点，通过函数图像来进行求解；易错点为：- 18 -参数方程化普通方程时，忽略自变量的取值范围。23.已知 ， ， ，设函数 ， 若 ，求不等式 的解集； 若函数 的最小值为 1，证明：【答案】 （1） （2）见证明【解析】【分析】（I）根据 的取值，得到绝对值不等式，利用零点讨论法进行求解；（II）通过绝对值不等式的性质得到 ，将式子化成符合柯西不等式的形式，利用柯西不等式求得结果。【详解】 （I） ，不等式 ，即当 时，当 时，当 时，解集为（II）【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和性质。难点在于对于柯西不等式形式的构造，要巧用数字 构造符合题意的形式。- 19 -
