1、1山东省莱西市第一中学 2019 届高三数学第一次模拟考试试卷 理（含解析）一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合 ， ，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】依题意， ，则 ，故选 A2.若复数 对应复平面内的点 ，且 ，则复数 的虚部为A. B. C. D. 【答案】B【解析】依题意， ，故 ，故复数 的虚部为 ，故选 B3.为了检验设备 与设备 的生产效率，研究人员作出统计，得到如下表所示的结果，则（ ）设备 设备生产出的合格产品 48 43生产出的不合格产品 2 7附：(2) 0.15 0.10
2、 0.05 0.0250.0100.0050.001 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式： ，其中 .2= ()2(+)(+)(+)(+) =+2A. 有 90%的把握认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性B. 没有 的把握认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性90%C. 可以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性D. 不能在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性【答案】A【解析】将表中的数据代入公式，计算得 ， ，有2=100(487243)25050919 3.
3、0533.0532.70690%的把握认为生产的产品质量与设备的选择具有相关性，故选 A4.已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 上，则 35=0+(72+2)=A. B. C. D. 1785 1785 1185 1185【答案】C【解析】角 的终边在直线 ，即 上，则 , 35=0 =35 =35(72+2)=(32+2)，故 ，故选 C=2=222+2=212+1=817 +(72+2)=35817=11855.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A. B. C. D. 【答案】B3【解析】由三视图可知，该几
4、何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组合而成的，故所求表面积为，故选 B=12+12+12223+34(22)2=3+6+236.为了计算满足 的最大正整数 ，设置了如下图所示的程序框图，若判断=110 ()+2()1=0.若函数 有 6 个零点，则实数 的取值范围是（ ）()=1 ()=|()| A. B. C. D. (0,1) (0,1) (1,1)(1,+)【答案】A【解析】依题意，当 时， ，则 ，即 ，故0 ()+2()1=0 ()+()=1 ()=1（为常数） ，因为 ，所以 ，故 .此时 ，所()=+ ()=1 =0 ()= ()=12以当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减
5、，(0,) ()0 () (,+) ()0) 与抛物线 交于 两点（点 在 轴上方） ，与准线交于点 ，若 ，1:5=0 , |=3则=7A. B. C. D. 57 37 67 97【答案】C【解析】设 ，易知 .由题意知 ，则抛物线 .因为 ，(1,1),(2,2) 10,20,0) =52+2=242122=1 2=1,2=4双曲线 的方程为 .作直线 ，交双曲线 于点 ，交渐近线于点 ， 224=1 =(06) 交 轴于点 .则 ， ， (2,),(1+24,) |2|2=1+2424=1 |2|2.根据祖暅原理，可得该几何体与底面积为 、高为 6 的柱体体积相等，故所求体积为= 9.
6、6三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知等差数列 满足 ， ，数列 满足 . 9=1177=19 =121=（1）求数列 、 的通项公式； （2）求数列 的前 项和.1+1+ 【答案】 （1） ， ；（2）=32 =121 3+1+2121【解析】（1）依题意， ，即 ，所以 ，则 ，9=117 95=117 5=13 =752 =3故 .=7+(7)=19+(7)3=32因为 ，所以 ，=121= 1+22+43+21=当 时， ，2 1+22+43+221=1 得 ，即 . 21=1 =121当 时， 满足上式.=1 1=1数列 的通
7、项公式为 . =121（2）由（1）知， ， ， 1+1= 1(32)(3+1)=13( 132 13+1) =121记数列 的前 项和为 ， 的前 项和为 ，1+1 则 ，=13(114+1417+ 132 13+1)= 3+1，=1+12+122+121=2 121故数列 的前 项和为 .1+1+ += 3+1+2 12118.为了了解某市高三学生的身体情况，某健康研究协会对该市高三学生组织了两次体测，其中第一次体测的成绩（满分：100 分）的频率分布直方图如下图所示，第二次体测的成绩 .(65,2.52)10（）试通过计算比较两次体测成绩平均分的高低；（）若该市有高三学生 20000 人
8、，记体测成绩在 70 分以上的同学的身体素质为优秀，假设这 20000 人都参与了第二次体测，试估计第二次体测中身体素质为优秀的人数；（）以频率估计概率，若在参与第一次体测的学生中随机抽取 4 人，记这 4 人成绩在的人数为，求的分布列及数学期望.60,80)附： ， ，(65（）因为 ，所以 (65,2.52) (70)=1(600) (1,63) 63（1）求椭圆 的标准方程；（2）若直线 与椭圆 交于 两点，且 ，设 分别是直线 的=(1) , (3,2) , ,斜率，试探究 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.+【答案】 （1） ；（2）定值 223+2=1【解析】（1）
9、将 代入椭圆 中，得 ，又 ，(1,63) :22+22=1(0) 12+232=1 =63，解得 ，故椭圆 的标准方程为 .2=2+2 =3,=1 23+2=1（2）将 代入 ，整理化简，得 ，=(1)23+2=1 (32+1)262+323=0直线 与椭圆 交于 两点，设 ， ，=(1) , (1,1) (2,2)则 ， . 1+2=6232+1 12=32332+113又 ， ，所以 1=(11) 2=(21) +=2131+2232=(21)(32)+(22)(31)(31)(32)=2(11)(32)+2(21)(31)93(1+2)+12 =122(1+2)+2124(1+2)+6
10、93(1+2)+12=1226232+1+232332+146232+1+6936232+1+32332+1 =12(22+1)6(22+1)=2.故 为定值 2.+21.已知函数 .()=1(+1)（）当 时，判断函数 的单调性；0 ()（）当 时，证明： .（ 为自然对数的底数）=2 252()+2 【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】（1）函数 的定义域为 .() (0,+).()=+12+1=2(+1)+12 =(1)(1)2当 时， .=0 ()=(1)2当 时， ，函数 单调递增；00 ()当 时， ，函数 单调递减. 1 ()1当 时， ，函数 单调递增；00 ()当 时
11、， ，函数 单调递减；11 ()0 ()当 时， .=11=1易知 恒成立，函数 在 上单调递增； ()0 () (0,+)当 时， .1 00 ()当 时， ，函数 单调递减；11 ()0 ()14综上，当 时，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减；1 () (0,1) (1,+) (1,1)当 时，函数 在 上单调递增；=1 () (0,+)当 时，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减；00记 ，则 .()=252(1) ()=252(1+12)显然 在 上单调递增，() (0,+)且 ，(1)=2152(1+1)=2(52)0所以 在 上有唯一的零点，且 .() (0,+) (1
12、,2)所以当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数(0,) ()0单调递增. ()由 ，即 ，得 ，()=0 252(1+12)=0 2=52(1+12)所以 ，()()=252(1)=52(1+12)52(1) =52(2+12)而易知函数 在 上单调递减，=2+12 (1,2)所以 ，2+1222+142=5420所以 .52(2+12)0所以 ，即 .()0 252()+2请考生在第 22、23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22.选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为 （为参数）.以坐标原点 为极点， 轴
13、=41=332 的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 的极坐标方程为 . 2=22(4)（）求直线的普通方程以及圆 的直角坐标方程；15（）若点 在直线上，过点 作圆 的切线 ，求 的最小值. |【答案】 （1） ， ；（2） .343=0 (+1)2+(1)2=2 2【解析】（1）由直线的参数方程消去参数，得 ，即 .=3+1432 343=0所以直线的普通方程为 .343=0圆 的极坐标方程为 ，即 ， 2=22(4) 2=22将极坐标方程与直角坐标方程的转化公式 代入上式可得 ，=2+2=2 2+2+22=0即 ，此为圆 的直角坐标方程. (+1)2+(1)2=2 （2）由（1）可知圆 的
14、圆心为 ，半径 ， (1,1) =2所以 ，|=|22=|22而 的最小值为圆心 到直线的距离 .| =|3(1)413|32+(4)2 =2所以 的最小值为 .| 22=2选修 4-5：不等式选讲 23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 .()=2|+|3|（）解关于 的不等式 ； ()13 130当 时，不等式可化为 ，解得 ，故 ； 03 2(3)4 1 01当 时，不等式可化为 ，解得 .显然与 矛盾，故此时不等式3 2+(3)4 73 3无解.综上，不等式 的解集为 .()4 (13,1)（2）由（1）知， .()=3+3,0+3,0333,3 16作出函数 的图象，如图，()显然 .()(0)=3故由不等式 恒成立可得 ，解得 .()22 223 13所以的取值范围为 .1,317
