1、- 1 -醴陵二中 醴陵四中 2019 年上学期高二年级数学理科期中考试试卷考试时间：120 分钟 总分：150 分一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。每小题只有一个选项最符合题意。 ）1.复数 在复平面内，z 所对应的点在（ ）1iZA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.如图是导函数 的图象，那么函数 在下面哪个区间是减函数( )/()yfx)yfxA. B. C. D. 13(,)x24(,)x46(,)x56(,)x3.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数 ，如果 ，那么 是函数 的极值点，因为函数()f0()f0()f在 处的导数值
2、，所以， 是函数 的极值点.3()fx0x3x以上推理中 （ ） A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D结论正确4. 9 件产品中，有 4 件一等品，3 件二等品，2 件三等品，现在要从中抽出 4 件产品来检查，至少有两件一等品的种数是（ ）A. B. C. D.254 4324254C0541534254C5. 的展开式中，含 的项的系数（ ）678(1)()(1)()xx3xA.9 B.121 C.-74 D.-1216.函数 在 处有极值 10, 则点 为 （ ）223)(abf1),(baA. B. C. 或 D.不存在,),4()3,(14- 2 -7随机变量 服从二项分布
3、，且 则 等于（ ）pnB, ,20,3DEpA. B. C. 1 D. 0 32318. （ ） 0()0,xkdk则A.1 B.2 C.3 D.49、函数 若函数 上有 3 个零点，则 m 的32()94,fx()2,5gxfmx在取值范围为 （ ）A B C D 2,3,9,910.从 5 名志愿者中选出 4 人分别到 A、B、C、D 四个部门工作，其中甲、乙两名志愿者不能到A、B 二个部门工作，其他三人能到四个部门工作，则选派方案共有（ ） A.120 种 B.24 种 C.18 种 D.36 种11曲线 ， 和直线 围成的图形面积是 （ ）xyex1A B C D11e2e12e12
4、已知 在区间 上是减函数，那么 （ ） 32fxbcxd(), bcA有最大值 B有最大值 C有最小值 D有最小值152 152 152 152二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请将答案填在答题纸的对应位置上。 ）13已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 。2(0,)N(30).P(30)P14曲线 上的点到直线 的最短距离是 。ln(21)yx8yx15甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 A1，A 2和 A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机
5、取出一球，以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是_ _(写出所有正确结论的编号)P(B) ； P(B|A 1) ； 事件 B 与事件 A1相互独立；25 511A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；P(B)的值不能确定，因为不知道它与 A1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关16一同学在电脑中打出如下图形（表示空心圆，表示实心圆）- 3 - 若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前 2019 个圆中有实心圆的个数为 三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17 （10 分）已知 ， ，1a1nna（1）求：
6、， ， 的值； （2）猜想 的通项公式，并用数学归纳法证明。 234 n18 （12 分）用 0，1，2，3，4 这五个数字组成无重复数字的自然数。（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；（2）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数” ，如 301， 42等都是“凹数” ，试求“凹数”的个数；（3）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数。19.（12 分）在某校组织的高二女子排球比赛中，有 A、B 两个球队进入决赛，决赛采用7 局 4 胜制假设 A、B 两队在每场比赛中获胜的概率都是 并记需要比赛的场数为 21（
7、）求 大于 4 的概率； （）求 的分布列与数学期望。 - 4 -20.（12 分）已知函数 1()ln)xfx（1）求 的单调区间； ()fx（2）求曲线 在点（1， ）处的切线方程；yf()f（3）求证：对任意的正数 与 ，恒有。ab1lnba21 （12 分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为 1000 元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量(kg) 300 500概率 0.5 0.5作物市场价格(元/kg) 6 10概率 0.4 0.6（1）设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润，求 X 的分布列；（2）若在这块地上连续
8、3 季种植此作物，求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率。- 5 -22.（12 分）已知函数 221xfxea()()(1)讨论 的单调性； (2)若 有两个零点，求 a 的取值范围。()fxf- 6 -醴陵二中 醴陵四中 2019 年上学期高二年级数学理科期中考试答案考试时间：120 分钟 总分：150 分一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。每小题只有一个选项最符合题意。 ）1.复数 在复平面内，z 所对应的点在（ B ）1iZA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.如图是导函数 的图象，那么函数 在下面哪个区间是减函数(
9、B )/()yfx)yfxA. B. C. D. 13(,)x24(,)x46(,)x56(,)x3.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数 ，如果 ，那么 是函数 的极值点，因为函数()f0()f0()f在 处的导数值 ，所以， 是函数 的极值点.3()fx0x3x以上推理中 （ A ） A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D结论正确4. 9 件产品中，有 4 件一等品，3 件二等品，2 件三等品，现在要从中抽出 4 件产品来检查，至少有两件一等品的种数是（ D ）A. B. C. D.254 4324254C0541534254C5. 的展开式中，含 的项的系数（ A ）678
10、(1)()(1)()xx3xA.9 B.121 C.-74 D.-1216.函数 在 处有极值 10, 则点 为 （ B ）223)(abf1),(baA. B. C. 或 D.不存在,),4()3,(14- 7 -7随机变量 服从二项分布 ，且 则 等于（ B ）pnB, ,20,3DEpA. B. C. 1 D. 0 32318. （ A ） 0()0,xkdk则A.1 B.2 C.3 D.49、函数 若函数 上有 3 个零点，则 m 的32()94,fx()2,5gxfmx在取值范围为 （ D ）A B C D 2,3,9,910.从 5 名志愿者中选出 4 人分别到 A、B、C、D 四
11、个部门工作，其中甲、乙两名志愿者不能到A、B 二个部门工作，其他三人能到四个部门工作，则选派方案共有（ D ） A.120 种 B.24 种 C.18 种 D.36 种11曲线 ， 和直线 围成的图形面积是 （ D ）xyex1A B C D11e2e12e12已知 在区间 上是减函数，那么 （ B ） 32fxbcxd(), bcA有最大值 B有最大值 C有最小值 D有最小值152 152 152 152二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请将答案填在答题纸的对应位置上。 ）13已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 0.6 。2(0,)N(30).P(30)P14
12、曲线 上的点到直线 的最短距离是 。ln(21)yx8yx2515甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 A1，A 2和 A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是_(写出所有正确结论的编号)P(B) ； P(B|A 1) ； 事件 B 与事件 A1相互独立；25 511A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；P(B)的值不能确定，因为不知道它与 A1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关16一同学在电脑中打出如下
13、图形（表示空心圆，表示实心圆）- 8 - 若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前 2019 个圆中有实心圆的个数为 62三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17 （10 分）已知 ， ，1a1nna（1）求： ， ， 的值； （2）猜想 的通项公式，并用数学归纳法证明 234 n解：（1） ， ， 3 分a4a（2）猜 5 分1n证明：下面用数学归纳法证明。 时，易证 6 分11a 假设 时， （k1，kN*） ，即： nk1ka则 9 分111kkak由，可知，对任意 ， 都成立。 10 分nNna18 （12 分）用 0，
14、1，2，3，4 这五个数字组成无重复数字的自然数（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；（2）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数” ，如 301， 42等都是“凹数” ，试求“凹数”的个数；（3）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数解：（1）偶数分为二类：若个位数是 0，则共有 个；24A若个位数是 2 或 4，则共有 个；318所以，共有 30 个符合题意的三位偶数。 4 分（2） “凹数”分三类：- 9 -若十位是 0，则有 个；241A若十位是 1，则有 个；36若十位是 2，则有 个；2所以，共有
15、20 个符合题意的“凹数” 。 8 分（3）符合题意的五位数分为三类：若两个奇数数字在一、三位置：共有 个；231A若两个奇数数字在二、四位置：共有 个；8C若两个奇数数字在三、五位置：共有 个；21所以，共有 28 个符合题意的五位数。 12 分19.（12 分）在某校组织的高二女子排球比赛中，有 A、B 两个球队进入决赛，决赛采用7 局 4 胜制假设 A、B 两队在每场比赛中获胜的概率都是 并记需要比赛的场数为 21（）求 大于 4 的概率； （）求 的分布列与数学期望 解：（）依题意可知， 的可能取值最小为 4当 4 时，整个比赛只需比赛 4 场即结束，这意味着 A 连胜 4 场，或 B
16、 连胜 4 场，于是，由互斥事件的概率计算公式，可得P（ 4）2 4012C8 P（ 4）1 P（ 4）1 7即 4 的概率为 4 分78（） 的可能取值为 4，5， 6，7，可得P（ 4）2 P（ 5）2 0412C834412C1P（ 6）2 P（ 7）2 35512163661251- 10 -8 分 的分布列为：4 5 6 7P 18110 分 的数学期望为： E 4 5 6 7 12 分569320.（12 分）已知函数 1xfxln()（1）求 的单调区间； ()fx（2）求曲线 在点（1， ）处的切线方程；yf()f（3）求证：对任意的正数 与 ，恒有 ab1lnba解：（1）单
17、调增区间 ，单调减区间 4 分0(,)0(,)（2）切线方程为 8 分423lxy（3）所证不等式等价为 9 分1nab而 ，设 则 ，由（1）结论可得，1()ln)fxx,tx()lnFtt由此 ，所以0,(,)Ft 在 单 调 递 减 ， 在 单 调 递 增 ， 0mi()即 ，记 代入得证。 12 分1()10)lnFttatb21 （12 分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为 1000 元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量(kg) 300 500概率 0.5 0.5作物市场价格(元/kg) 6 10概率 0.4 0.6（1）设
18、 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润，求 X 的分布列；（2）若在这块地上连续 3 季种植此作物，求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概- 11 -率解：（1）设 A 表示事件“作物产量为 300 kg”，B 表示事件“作物市场价格为 6 元/kg” ，由题设知 P(A)0.5，P(B)0.4，利润产量市场价格成本，X 所有可能的取值为5001010004000，500610002000，3001010002000，30061000800 2 分()10.5.4040 3PABX，15.2 10.45P，().8.2，X 的分布列为X 4000 2000 800P
19、0.3 0.5 0.26 分（2）设 Ci表示事件“第 i 季利润不少于 2000 元”(i1，2，3)，由题意知 C1，C 2，C 3相互独立，由（1）知，P(Ci)P(X4000)P(X2000)0.30.50.8(i1，2，3)，3 季的利润均不少于 2000 元的概率为 P(C1C2C3)P(C 1)P(C2)P(C3)0.8 30.512；8 分3 季中有 2 季的利润不少于 2000 元的概率为2131231230.8.4PCCP， 10 分这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率为 0.5120.3840.89612 分22.（12 分）22.（12 分）已知函
20、数 221xfxea()()(1)讨论 的单调性； (2)若 有两个零点，求 a 的取值范围。()fxf解：(1) f( x)( x1)e x2 a(x1)( x1)(e x2 a) 1分设 a0，则当 x(，1)时， f( x)0；当 x(1，)时， f( x)0.所以 f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增 3 分 设 a0，由 f( x)0 得 x1 或 xln(2 a)若 a ，则 f( x)( x1)(e xe)， e2- 12 -所以 f(x)在(，)上单调递增 4 分若 a ，则 ln(2 a)1，e2故当 x(，ln(2 a)(1，)时， f( x)0；当 x(ln
21、(2 a)，1)时， f( x)0.所以 f(x)在(，ln(2 a)，(1，)上单调递增，在(ln(2 a)，1)上单调递减 5 分若 a ，则 ln(2 a)1，e2故当 x(，1)(ln(2 a)，)时， f( x)0；当 x(1，ln(2 a)时， f( x)0.所以 f(x)在(，1)，(ln(2 a)，)上单调递增， 在(1，ln(2 a)上单调递减 6 分(2)设 a0，则由(1)知， f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增又 f(1)e， f(2) a，取 b 满足 b0 且 bln ，则 f(b) (b2) a(b1)a2 a22 a 0，所以 f(x)有两个零点 (b232b)8 分设 a0，则 f(x)( x2)e x，所以 f(x)只有一个零点 9分设 a0，若 a ，则由(1)知， f(x)在(1，)上单调递增又当 x1 时， f(x)e20，故 f(x)不存在两个零点；若 a ，则由(1)知， f(x)在(1，ln(2 a)上单调递减，e2在(ln(2 a)，)上单调递增又当 x1 时， f(x)0，故 f(x)不存在两个零点 11 分 综上， a 的取值范围为(0，) 12 分- 13 -
