1、注册公用设备工程师暖通空调基础考试上午（数学）历年真题试卷汇编 12及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：35，分数：70.00)1.2013年第 4题设 f(x)有连续的导数，则下列关系中正确的是( )。（分数：2.00）A.f(x)dx=f(x)B.(f(x)dx)=f(x)C.f(x)dx=df(x)D.(f(x)dx)=f(x)+C2.2013年第 5题已知 f(x)为连续的偶函数，则 f(x)的原函数中( )。（分数：2.00）A.有奇函数B.都是奇函数C.都是偶函数D.没有奇函数，也没有偶函数3.2014年第 6题不定积分 等于( )。 （分数
2、2.00）A.B.C.D.4.2016年第 7题若 sec 2 x是 f(x)的一个原函数，则xf(x)dx 等于( )。（分数：2.00）A.tanx+CB.xtanxlncosx+CC.xsec 2 x+tanx+CD.xsec 2 xtanx+C5.2005年第 9题下列结论中，错误的是( )。（分数：2.00）A. a -a f(x 2 )dx=2 0 a f(x 2 )dxB. 0 2 sin 10 xdx= 0 2 cos 10 xdxC. - cos5xsin7xdx=0D. 0 1 10 x dx=96.2006年第 10题若 0 k (3x 2 +2x)dx=0(k0)，则
3、 k等于( )。（分数：2.00）A.1B.一 1C.D.7.2007年第 10题 -3 3 x （分数：2.00）A.0B.9C.3D.8.2008年第 10题设函数 f(x)在0，+)上连续，且 f(x)=xe -x +e x 0 1 f(x)dx满足，则 f(x)是( )。（分数：2.00）A.xe -xB.xe -x 一 e x1C.e x1D.(x一 1)e -x9.2009年第 10题 （分数：2.00）A.sinxB.sinxC.一 sin 2 xD.sinxsinx10.2011年第 9题设 f(x)是连续函数，且 f(x)=x 2 +2 0 2 f(t)dt满足，则 f(x)
4、 )。（分数：2.00）A.x 2B.x 2 2C.2xD.x 2 一 11.2011年第 10题 -2 2 （分数：2.00）A.B.2C.3D.12.2012年第 6题定积分 等于( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.13.2014年第 4题 等于( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.14.2016年第 6题设f(f)dt= 等于( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.15.2007年第 11题 0 + xe -2x dx等于( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.16.2008年第 11题广义积分 0 + dx=1，则 c等于( )。 （分数：2.00）A.B.C
5、D.17.2009年第 11题下列结论中正确的是( )。（分数：2.00）A. -1 1 B.C. 1 + D. - 0 18.2010年第 10题下列广义积分中收敛的是( )。（分数：2.00）A. 0 1 B. 0 2 C. - 0 e -x dxD. 1 + lnxdx19.2013年第 8题下列广义积分中发散的是( )。（分数：2.00）A. 0 + e -x dxB. 0 + C. 0 + D. 0 1 20.2016年第 10题若 - + dx=1，则常数 A等于( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.21.2005年第 10题设平面闭区域。由 x=0，y=0，x+y= ，x
6、y=1 所围成，I 1 = （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3B.I 1 I 3 I 2C.I 3 I 2 I 1D.I 3 I 1 I 222.2006年第 12题设 f(x，y)是连续函数，则 0 1 dx 0 x f(x，y)dy=( )。（分数：2.00）A. 0 x dy 0 1 f(x，y)dxB. 0 1 dy 0 x f(x，y)dxC. 0 1 dy 0 1 f(x，y)dxD. 0 1 dy y 1 f(x，y)dx23.2007年第 12题设 D是曲线 y=x 2 与 y=1所围闭区域， （分数：2.00）A.1B.C.0D.224.2008年第 12题D 域
7、由 x轴，x 2 +y 2 一 2x=0(y0)及 x+y=2所围成，f(x，y)是连续函数，化 （分数：2.00）A.B. 0 1 dy C.D. 0 1 dy 25.2012年第 7题若 D是由 y=x，x=1，y=0 所围成的三角形区域，则二重积分 f(x，y)dxdy 在极坐标下的二次积分是( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.26.2013年第 9题二次积分 0 1 dx （分数：2.00）A.B. 0 1 dy C.D. 0 1 dy 27.2014年第 16题设 D是由 y=x，y=0 及 y= (x0)所围成的第一象限区域，则二重积分（分数：2.00）A.B.C.D.28
8、2016年第 15题若 D是由 x=0，y=0，x 2 +y 2 =1所围成在第一象限的区域，则二重积分 x 2 ydxdy等于( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.29.2009年第 12题曲面 x 2 +y 2 +z 2 =2z之内以及曲面 z=x 2 +y 2 之外所围成的立体的体积 V为( )。（分数：2.00）A. 0 2 d 0 1 rdr B. 0 2 d 0 r rdr C. 0 2 d 0 r rdr r 10r dzD. 0 2 d 0 1 rdr 30.2010年第 12题计算 I= （分数：2.00）A.I= 0 2 d 0 1 rdr 0 1 zdzB.I=
9、0 2 d 0 1 rdr r 1 zdzC.I= 0 2 d 0 1 zdz r 1 rdrD.I= 0 1 dz 0 d 0 z zrdr31.2006年第 13题设 L为连接点(0，0)与点(1，1)的抛物线 y=x 2 ，则对弧长的曲线积分 xds等于( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.32.2011年第 11题设 L为连接点(0，2)与点(1，0)的直线段，则对弧长的曲线积分 (x 2 +y 2 )ds=( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.33.2013年第 16题设 L是连接点 A(1，0)及点 B(0，一 1)的直线段，则对弧长的曲线积分 （分数：2.00）A.一
10、 1B.1C.D.34.2014年第 14题设 L为从点 A(0，一 2)到点 B(2，0)的有向直线段，则对坐标的曲线积分 （分数：2.00）A.1B.一 1C.3D.335.2016年第 16题设 L是抛物线 y=x 2 上从点 A(1，1)到点 O(0，0)的有向弧线，则对坐标的曲线积分 （分数：2.00）A.0B.1C.一 1D.2注册公用设备工程师暖通空调基础考试上午（数学）历年真题试卷汇编 12答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：35，分数：70.00)1.2013年第 4题设 f(x)有连续的导数，则下列关系中正确的是( )。（分数：2.00
11、A.f(x)dx=f(x)B.(f(x)dx)=f(x) C.f(x)dx=df(x)D.(f(x)dx)=f(x)+C解析：解析：由(f(x)dx)=f(x)，故应选 B。2.2013年第 5题已知 f(x)为连续的偶函数，则 f(x)的原函数中( )。（分数：2.00）A.有奇函数 B.都是奇函数C.都是偶函数D.没有奇函数，也没有偶函数解析：解析：由于奇函数的导数一定是偶函数，所以偶函数的原函数中有奇函数，但原函数不唯一，并不都是奇函数，故应选 A。3.2014年第 6题不定积分 等于( )。 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：4.2016年第 7题若 sec 2 x是
12、f(x)的一个原函数，则xf(x)dx 等于( )。（分数：2.00）A.tanx+CB.xtanxlncosx+CC.xsec 2 x+tanx+CD.xsec 2 xtanx+C 解析：解析：因 sec 2 x是 f(x)的一个原函数，故有xf(x)dx=xddsec 2 x，利用分部积分公式，xdsec 2 x=xsec 2 x一sec 2 xdx=xsec 2 xtanx+C。应选 D。5.2005年第 9题下列结论中，错误的是( )。（分数：2.00）A. a -a f(x 2 )dx=2 0 a f(x 2 )dxB. 0 2 sin 10 xdx= 0 2 cos 10 xdxC
13、 - cos5xsin7xdx=0D. 0 1 10 x dx=9 解析：解析： 0 1 10 x dx= 6.2006年第 10题若 0 k (3x 2 +2x)dx=0(k0)，则 k等于( )。（分数：2.00）A.1B.一 1 C.D.解析：解析：由 0 k (3x 2 +2x)dx=k 3 +k 2 =0，得 k=一 1(k0)，故应选 B。7.2007年第 10题 -3 3 x （分数：2.00）A.0 B.9C.3D.解析：解析：积分区间关于原点对称，被积函数是奇函数，故积分为 0，应选 A，该题也可用第一类换元法求解。8.2008年第 10题设函数 f(x)在0，+)上连续，
14、且 f(x)=xe -x +e x 0 1 f(x)dx满足，则 f(x)是( )。（分数：2.00）A.xe -xB.xe -x 一 e x1 C.e x1D.(x一 1)e -x解析：解析：记 a= 0 1 f(x)dx，有 f(x)=xe -x +ae x ，对 f(x)=xe -x +ae x 在0，1上积分，有 0 1 f(x)dx= 0 1 xe -x dx+a 0 1 e x dx，积分得 a=1 +a(e一 1)，解得 a=一 ，所以 f(x)=xe -x 9.2009年第 10题 （分数：2.00）A.sinxB.sinxC.一 sin 2 xD.sinxsinx 解析：解析
15、利用积分上限函数导数等于被积函数，以及10.2011年第 9题设 f(x)是连续函数，且 f(x)=x 2 +2 0 2 f(t)dt满足，则 f(x)=( )。（分数：2.00）A.x 2B.x 2 2C.2xD.x 2 一 解析：解析：记 a= 0 2 f(t)dt，有 f(x)=x 2 +2a，对 f(x)=x 2 +2a在0，2上积分，有 0 2 f(x)dx= 0 2 x 2 dx+2a 0 2 dx，积分得 a= 11.2011年第 10题 -2 2 （分数：2.00）A.B.2 C.3D.解析：解析：由定积分的几何意义知积分 -2 2 12.2012年第 6题定积分 等于( )
16、 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：13.2014年第 4题 等于( )。 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：14.2016年第 6题设f(f)dt= 等于( )。 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由f(t)dt=15.2007年第 11题 0 + xe -2x dx等于( )。 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：用分部积分法，有 0 + xe -2x dx= 16.2008年第 11题广义积分 0 + dx=1，则 c等于( )。 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：用第一类换元法，有17.2009年第 11题下列结论中
17、正确的是( )。（分数：2.00）A. -1 1 B.C. 1 + D. - 0 解析：解析：因为 1 + =+发散，应选 C。 18.2010年第 10题下列广义积分中收敛的是( )。（分数：2.00）A. 0 1 B. 0 2 C. - 0 e -x dxD. 1 + lnxdx解析：解析：因为 0 2 ，该广义积分收敛，故应选 B。 0 1 19.2013年第 8题下列广义积分中发散的是( )。（分数：2.00）A. 0 + e -x dxB. 0 + C. 0 + D. 0 1 解析：解析：因为 0 + e -x dx=e -x 0 + =1， 0 + 20.2016年第 10题若 -
18、 + dx=1，则常数 A等于( )。 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析： - + dx=Aarctan x - + =A=1，所以 A= 21.2005年第 10题设平面闭区域。由 x=0，y=0，x+y= ，x+y=1 所围成，I 1 = （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3B.I 1 I 3 I 2 C.I 3 I 2 I 1D.I 3 I 1 I 2解析：解析：由图 1141 知，在积分区域 D内，有 x+y1，于是有 ln(x+y)sin(x+y)x+y， 即ln(x+y) 3 sin(x+y) 3 (x+y) 3 ，故 I 1 I 3 I 2 ，应选 B。 2
19、2.2006年第 12题设 f(x，y)是连续函数，则 0 1 dx 0 x f(x，y)dy=( )。（分数：2.00）A. 0 x dy 0 1 f(x，y)dxB. 0 1 dy 0 x f(x，y)dxC. 0 1 dy 0 1 f(x，y)dxD. 0 1 dy y 1 f(x，y)dx 解析：解析：积分区域 D如图 1142 所示，将积分区域 D看成 X型区域，则 D：yx1，0y1，故有 0 1 dx 0 x f(x，y)dy= 0 1 dy y 1 f(x，y)dx，应选 D。 23.2007年第 12题设 D是曲线 y=x 2 与 y=1所围闭区域， （分数：2.00）A.1
20、B.C.0 D.2解析：解析：由图 1143 知，积分区域 D关于 y轴对称，又被积函数 f(x，y)关于 x为奇函数，积分为零，故应选 C，或将二重积分化为二次积分，有 =2 -1 1 x(1x 2 )dx=0。 24.2008年第 12题D 域由 x轴，x 2 +y 2 一 2x=0(y0)及 x+y=2所围成，f(x，y)是连续函数，化 （分数：2.00）A.B. 0 1 dy C.D. 0 1 dy 解析：解析：画出积分区域图形，由图 1144 可知，积分区域 D为 0y1，1 一 x2 一 y，故应选 B。25.2012年第 7题若 D是由 y=x，x=1，y=0 所围成的三角形区域
21、则二重积分 f(x，y)dxdy 在极坐标下的二次积分是( )。 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：积分区域如图 1145 所示，在极坐标下有 D：0 ，所以26.2013年第 9题二次积分 0 1 dx （分数：2.00）A.B. 0 1 dy C.D. 0 1 dy 解析：解析：积分区域 D如图 1146 所示，将 D看成 Y型区域，则 D：0y1，yx f(x，y)dx，应选 D。27.2014年第 16题设 D是由 y=x，y=0 及 y= (x0)所围成的第一象限区域，则二重积分（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：积分区域 D如图扇形区域如图 1147 所
22、示，二重积分 dxdy等于区域 D的面积，即 a 2 。或在极坐标下有 D：0 ，0ra， 故有 28.2016年第 15题若 D是由 x=0，y=0，x 2 +y 2 =1所围成在第一象限的区域，则二重积分 x 2 ydxdy等于( )。 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：积分区域 D是单位圆位于第一象限部分，采用极坐标，有29.2009年第 12题曲面 x 2 +y 2 +z 2 =2z之内以及曲面 z=x 2 +y 2 之外所围成的立体的体积 V为( )。（分数：2.00）A. 0 2 d 0 1 rdr B. 0 2 d 0 r rdr C. 0 2 d 0 r rdr
23、r 10r dzD. 0 2 d 0 1 rdr 解析：解析：记 为曲面 x 2 +y 2 +z 2 =2z之内以及曲面 z=x 2 +y 2 之外所围成的立体， 的图如图1151 所示， 的体积 V= dv，因 在 xOy面的投影是圆域 x 2 +y 2 1，所以有02，0r1，z 是从球面 x 2 +y 2 +z 2 =2z的下半部到抛物面 z=x 2 +y 2 ，化为柱坐标有 1一 zr 2 ，故原积分化为柱坐标下的三重积分有 30.2010年第 12题计算 I= （分数：2.00）A.I= 0 2 d 0 1 rdr 0 1 zdzB.I= 0 2 d 0 1 rdr r 1 zdz
24、C.I= 0 2 d 0 1 zdz r 1 rdrD.I= 0 1 dz 0 d 0 z zrdr解析：解析：积分区域 是由锥面 z= 和平面 z=1所围成，积分区域 的图形，如图 1152 所示， 在 xOy面的投影是圆域 x 2 +y 2 1，故 在柱坐标下可表示为：02，0r1，rz1，所以 I= zdv= 0 2 d 0 1 rdr r 1 zdz，应选 B。 31.2006年第 13题设 L为连接点(0，0)与点(1，1)的抛物线 y=x 2 ，则对弧长的曲线积分 xds等于( )。 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：这是第一类曲线积分，使用曲线积分化定积分公式，有3
25、2.2011年第 11题设 L为连接点(0，2)与点(1，0)的直线段，则对弧长的曲线积分 (x 2 +y 2 )ds=( )。 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：连接点(0，2)与点(1，0)的直线段的方程为 y=一 2x+2，使用第一类曲线积分化定积分公式，有33.2013年第 16题设 L是连接点 A(1，0)及点 B(0，一 1)的直线段，则对弧长的曲线积分 （分数：2.00）A.一 1B.1C.D. 解析：解析：连接点 A(1，0)及点 B(0，一 1)的直线段的方程为 y=x一 1，使用第一类曲线积分化定积分公式，有34.2014年第 14题设 L为从点 A(0，一 2)到点 B(2，0)的有向直线段，则对坐标的曲线积分 （分数：2.00）A.1B.一 1 C.3D.3解析：解析：从点 A(0，一 2)到点 B(2，0)的直线段的方程为 y=x一 2(0x2)，使用第二类曲线积分化定积分公式，有35.2016年第 16题设 L是抛物线 y=x 2 上从点 A(1，1)到点 O(0，0)的有向弧线，则对坐标的曲线积分 （分数：2.00）A.0B.1C.一 1 D.2解析：解析：使用第二类曲线积分化定积分公式，有
