1、注册公用设备工程师暖通空调基础考试下午（数学）历年真题试卷汇编 10及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：31，分数：62.00)1.2008年第 18题下列函数中不是方程 y“一 2y+y=0的解的函数是( )。（分数：2.00）A.x 2 e xB.e xC.xe xD.(x+2)e x2.2014年第 13题函数 y=C1 （分数：2.00）A.通解B.特解C.不是解D.解，既不是通解，又不是特解3.2016年第 3题微分方程 （分数：2.00）A.齐次微分方程B.可分离变量的微分方程C.一阶线性微分方程D.二阶微分方程4.2005年第 17题万程
2、y=p(x)y的通解是( )。（分数：2.00）A.y=e -p(x)dx +CB.y=e p(x)dx +CC.y=Ce -p(x)dxD.y=Ce p(x)dx5.2006年第 11题设 0 x f(t)dt=2f(x)4，且 f(0)=2，则 f(x)是( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.6.2006年第 16题微分方程(1+y)dx 一(1x)dy=0 的通解是( )。（分数：2.00）A.B.(1+y)=C(1一 x) 2C.(1x)(1+y)=CD.7.2007年第 16题微分方程 cos ydx+(1+e -x )sinydy=0满足初始条件 y x=0 = （分数：2.
3、00）A.cos y= B.cos y=(1+e x )C.cosy=4(1+e x )D.cos 2 y=1+e x8.2008年第 16题微分方程(1+2y)xdx+(1+x 2 )dy=0的通解是( )。（分数：2.00）A.B.(1+x 2 )(1+2y)=CC.(1+2y) 2 = D.(1+x 2 ) 2 (1+2y)=C9.2009年第 15题微分方程(3+2y)xdx+(1+x 2 )dy=0的通解是( )。（分数：2.00）A.1+x 2 =CyB.(3+2y)=C(1+x 2 )C.(1+x 2 )(3+2y)=CD.(3+2y) 2 = 10.2011年第 15题微分方程
4、 xydx= 的通解是( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.11.2012年第 14题微分方程 （分数：2.00）A.x 2 +y 2 =C(CR)B.x 2 一 y 2 =C(CR)C.x 2 +y 2 =C 2 (CR)D.x 2 +y 2 =C 2 (CR)12.2013年第 10题微分方程 xy一 ylny=0的满足 y(1)=e的特解是( )。（分数：2.00）A.y=exB.y=e xC.y=e 2xD.y=ln x13.2006年第 17题微分方程 y+ y=2满足初始条件 y x=1 =0的特解是( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.14.2010年第 15题微分方
5、程 ydx+(x一 y)dy=0的通解是( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.15.2011年第 16题微分方程 的通解是( )。 （分数：2.00）A.B.C.D.16.2012年第 12题已知微分方程 y+p(x)y=q(x)(q(x)0)有两个不同的解 y 1 (x)和 y 2 (x)，C 为任意常数，则该微分方程的通解是( )。（分数：2.00）A.y=C(y 1 一 y 2 )B.y=C(y 1 +y 2 )C.y=y 1 +C(y 1 +y 2 )D.y=y 1 +C(y 1 y 2 )17.2014年第 10题微分方程 xy一 y=x 2 e 2x 通解 y等于( )。（分
6、数：2.00）A.x( B.x(e 2x +C)C.x( D.x 2 e 2x +C18.2007年第 17题微分方程 y“=x+sin x的通解是( )。(C 1 ，C 2 为任意常数)（分数：2.00）A.B.C.D.19.2008年第 17题微分方程 y“=y 2 的通解是( )(C 1 ，C 2 为任意常数)。（分数：2.00）A.lnx+CB.ln(x+C)C.C 2 +lnx+C 1 D.C 2 一 lnx+C 1 20.2009年第 16题微分方程 y“+ay 2 =0的满足条件 y x=0 =0，y x=0 =一 1的特解是( )。（分数：2.00）A.ax一 1B.ln(ax
7、1)C.ln1 一 axD.一21.2007年第 18题微分方程 y“一 4y=4的通解是( )。(C 1 ，C 2 为任意常数)（分数：2.00）A.C 1 e 2x +C 2 e 2x +1B.C 1 e 2x +C 2 e 2x 1C.e 2x e -2x +1D.C 1 e 2x +C 2 e -2x +222.2008年第 18题下列函数中不是方程 y“一 2y+y=0的解的函数是( )。（分数：2.00）A.x 2 e xB.e xC.xe xD.(x+2)e x23.2010年第 16题；2006 年第 18题微分方程 y“+2y=0的通解是( )。 （分数：2.00）A.B.C
8、D.24.2012年第 13题以 y 1 =e x ，y 2 =e -3x 为特解的二阶线性常系数齐次微分方程是( )。（分数：2.00）A.y“一 2y一 3y=0B.y“+2y一 3y=0C.y“一 3y+2y=0D.y“一 2y一 3y=025.2013年第 14题微分方程 y“一 3y+2y=xe x 的待定特解的形式是( )。（分数：2.00）A.y=(Ax 2 +Bx)e xB.y=(Ax+B)e xC.y=Ax 2 e xD.y=Axe x26.2014年第 13题函数 y=C 1 （分数：2.00）A.通解B.特解C.不是解D.解，既不是通解，又不是特解27.2016年第 1
9、2题微分方程 y“一 2y+y=0的两个线性无关的特解是( )。（分数：2.00）A.y 1 =x，y 2 =e xB.y 1 =e -x ，y 2 =e xC.y 1 =e -x ，y=xe -xD.y 1 =e x ，y 2 =xe x28.2005年第 18题设 A和 B都是 n阶方阵，已知A=2，B=3，则BA -1 等于( )。（分数：2.00）A.B.C.6D.529.2007年第 22题设行列式 （分数：2.00）A.一 2B.2C.1D.130.2009年第 17题设 a 1 ，a 2 ，a 3 是三维列向量，1a=a 1 ，a 2 ，a 3 则与A相等的是( )。（分数：2.
10、00）A.a 1 ，a 2 ，a 3 B.a 2 ，a 3 ，a 2 C.a 1 +a 2 ，a 2 +a 3 ，a 3 +a 1 D.a 1 ，a 1 +a 2 ，a 1 +a 2 +a 3 31.2010年第 17题设 A是 m阶矩阵，B 是 n阶矩阵，行列式 （分数：2.00）A.一ABB.ABC.(一 1) m+n ABD.(一 1) mn AB注册公用设备工程师暖通空调基础考试下午（数学）历年真题试卷汇编 10答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：31，分数：62.00)1.2008年第 18题下列函数中不是方程 y“一 2y+y=0的解的函数是(
11、 )。（分数：2.00）A.x 2 e x B.e xC.xe xD.(x+2)e x解析：解析：利用微分方程的定义，用验证法。y“一 2y+y=(2+4x+x 2 )e x 一 2(2x+x 2 )e x +x 2 e x =2e x 0，故 y=x 2 e x 不是解，应选 A。2.2014年第 13题函数 y=C1 （分数：2.00）A.通解B.特解C.不是解D.解，既不是通解，又不是特解 解析：解析：因 y=C 1 3.2016年第 3题微分方程 （分数：2.00）A.齐次微分方程B.可分离变量的微分方程C.一阶线性微分方程 D.二阶微分方程解析：解析：将所给微分方程改写为 4.200
12、5年第 17题万程 y=p(x)y的通解是( )。（分数：2.00）A.y=e -p(x)dx +CB.y=e p(x)dx +CC.y=Ce -p(x)dxD.y=Ce p(x)dx 解析：解析：这是可分离变量微分方程，对方程 y=p(x)y分离变量，得 5.2006年第 11题设 0 x f(t)dt=2f(x)4，且 f(0)=2，则 f(x)是( )。 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：对 0 x f(t)df=2f(x)一 4两边关于 x求导，得 f(x)=2f(x)，这是可分离变量微分方程，求解得 f(x)= 6.2006年第 16题微分方程(1+y)dx 一(1x)
13、dy=0 的通解是( )。（分数：2.00）A.B.(1+y)=C(1一 x) 2C.(1x)(1+y)=C D.解析：解析：这是可分离变量微分方程，分离变量并两边积分得 7.2007年第 16题微分方程 cos ydx+(1+e -x )sinydy=0满足初始条件 y x=0 = （分数：2.00）A.cos y= B.cos y=(1+e x )C.cosy=4(1+e x )D.cos 2 y=1+e x解析：解析：这是可分离变量微分方程，分离变量并两边积分得 ，计算得，ln(1+e x )=lncosy+lnC，整理得通解 1+e x =C cosy，再代入初始条件 y x=0 =
14、8.2008年第 16题微分方程(1+2y)xdx+(1+x 2 )dy=0的通解是( )。（分数：2.00）A. B.(1+x 2 )(1+2y)=CC.(1+2y) 2 = D.(1+x 2 ) 2 (1+2y)=C解析：解析：这是可分离变量微分方程，分离变量并两边积分得 9.2009年第 15题微分方程(3+2y)xdx+(1+x 2 )dy=0的通解是( )。（分数：2.00）A.1+x 2 =CyB.(3+2y)=C(1+x 2 )C.(1+x 2 )(3+2y)=C D.(3+2y) 2 = 解析：解析：这是可分离变量微分方程，分离变量并两边积分得 10.2011年第 15题微分方
15、程 xydx= 的通解是( )。 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：分离变量得告 =ln C 1 y，整理得 y= 11.2012年第 14题微分方程 （分数：2.00）A.x 2 +y 2 =C(CR)B.x 2 一 y 2 =C(CR)C.x 2 +y 2 =C 2 (CR) D.x 2 +y 2 =C 2 (CR)解析：解析：对所给方程分离变量得 ydy=一 xdx，两边积分得 x 2 +y 2 =C，由于 x 2 +y 2 0，故应有 x 2 +y 2 =C 2 (CR)，应选 C。12.2013年第 10题微分方程 xy一 ylny=0的满足 y(1)=e的特解是( )
16、分数：2.00）A.y=exB.y=e x C.y=e 2xD.y=ln x解析：解析：分离变量得 13.2006年第 17题微分方程 y+ y=2满足初始条件 y x=1 =0的特解是( )。 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：这是一阶线性非齐次微分方程，利用公式 y=e -P(x)dx Q(x)e P(x)dx dx+C，将 P(x)= ，Q(x)=2 代入公式，求得通解为 x+ 14.2010年第 15题微分方程 ydx+(x一 y)dy=0的通解是( )。 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：这是一阶齐次方程，令 u= ，两边积分得 y 2 (12u)=C
17、 1 ，将 u= 15.2011年第 16题微分方程 的通解是( )。 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：这是一阶齐次方程，令 u= ，两边积分得 sinu=Cx，将 u=16.2012年第 12题已知微分方程 y+p(x)y=q(x)(q(x)0)有两个不同的解 y 1 (x)和 y 2 (x)，C 为任意常数，则该微分方程的通解是( )。（分数：2.00）A.y=C(y 1 一 y 2 )B.y=C(y 1 +y 2 )C.y=y 1 +C(y 1 +y 2 )D.y=y 1 +C(y 1 y 2 ) 解析：解析：所给方程是一阶线性方程，其通解等于对应齐次通解加上非齐次的一个
18、特解，C(y 1 一 y 2 )是对应齐次的通解，y=y 1 +C(y 1 y 2 )是非齐次通解，应选 D。17.2014年第 10题微分方程 xy一 y=x 2 e 2x 通解 y等于( )。（分数：2.00）A.x( B.x(e 2x +C)C.x( D.x 2 e 2x +C解析：解析：将方程化为 y一 y=xe 2x ，这是一阶线性非齐次方程，且 P(x)=一 ，Q(x)=xe 2x ，代入公式 y=e -P(x)dx (Q(x)e P(x)dx +C)，经计算得 y=x( 18.2007年第 17题微分方程 y“=x+sin x的通解是( )。(C 1 ，C 2 为任意常数)（分数
19、2.00）A.B. C.D.解析：解析：对 y“=x+sin x积分两次，就可得方程的通解 y= 19.2008年第 17题微分方程 y“=y 2 的通解是( )(C 1 ，C 2 为任意常数)。（分数：2.00）A.lnx+CB.ln(x+C)C.C 2 +lnx+C 1 D.C 2 一 lnx+C 1 解析：解析：这是可降阶微分方程，方程中不显含 y，令 p=y，p=y“，则 =p 2 ，用分离变量法求解得，一 y= 20.2009年第 16题微分方程 y“+ay 2 =0的满足条件 y x=0 =0，y x=0 =一 1的特解是( )。（分数：2.00）A.ax一 1B.ln(ax1)
20、C.ln1 一 ax D.一解析：解析：这是不显含 y的可降阶微分方程，令 p=y，p=y“则 =一 ap 2 ，用分离变量法求解得，=x+C 1 ，利用条件 y x=0 =一 1，得 C 2 = ，两边积分，可得 y= lnax 一 1+C 2 ，再利用条件 y x=0 =0，C 2 =0，所以 y= 21.2007年第 18题微分方程 y“一 4y=4的通解是( )。(C 1 ，C 2 为任意常数)（分数：2.00）A.C 1 e 2x +C 2 e 2x +1B.C 1 e 2x +C 2 e 2x 1 C.e 2x e -2x +1D.C 1 e 2x +C 2 e -2x +2解析：
21、解析：选项 C中不含任意常数，故不是通解；选项 A、B、D 都有 C 1 e 2x +C 2 e -2x ，显然对应齐次方程的通解为 C 1 e 2x +C 2 e -2x ，经检验 y=一 1是非齐次方程一个特解，由线性非齐次方程解的结构定理，应选 B。22.2008年第 18题下列函数中不是方程 y“一 2y+y=0的解的函数是( )。（分数：2.00）A.x 2 e x B.e xC.xe xD.(x+2)e x解析：解析：方程 y“一 2y+y=0的特征根为 r=r2=1，e x 和 xe x 是两个线性无关解，显然少=x 2 e x 不是解，应选 A。23.2010年第 16题；20
22、06 年第 18题微分方程 y“+2y=0的通解是( )。 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：这是二阶常系数线性齐次方程，特征方程为 r 2 +2=0，特征根为 r= ，故方程通解为 y=Asin 24.2012年第 13题以 y 1 =e x ，y 2 =e -3x 为特解的二阶线性常系数齐次微分方程是( )。（分数：2.00）A.y“一 2y一 3y=0B.y“+2y一 3y=0 C.y“一 3y+2y=0D.y“一 2y一 3y=0解析：解析：因 y 1 =e x ，y 2 =e -3x 是特解，故 r 1 =1，r 2 =一 3是特征方程的根，特征方程为 r 2 +2r一
23、 3=0，应选 B。25.2013年第 14题微分方程 y“一 3y+2y=xe x 的待定特解的形式是( )。（分数：2.00）A.y=(Ax 2 +Bx)e x B.y=(Ax+B)e xC.y=Ax 2 e xD.y=Axe x解析：解析：特征方程为 r 2 一 3r+2=0，解得特征根为 r 1 =1和 r 2 =2。由于方程右端中 =1 是特征方程的单根，而 P(x)=x是一次多项式，故所给微分方程的待定特解的形式应为 x(Ax+B)e x =(Ax 2 +Bx)e x ，应选 A。26.2014年第 13题函数 y=C 1 （分数：2.00）A.通解B.特解C.不是解D.解，既不是
24、通解，又不是特解 解析：解析：由微分方程 y“一 y一 2y=0的特征方程为 r 2 一 r一 2=0，求得特征根为 r=一 1和 r=2，故y=e x 是方程的解，又 y=C 1 27.2016年第 12题微分方程 y“一 2y+y=0的两个线性无关的特解是( )。（分数：2.00）A.y 1 =x，y 2 =e xB.y 1 =e -x ，y 2 =e xC.y 1 =e -x ，y=xe -xD.y 1 =e x ，y 2 =xe x 解析：解析：所给微分方程的特征方程为 r 2 一 2r+1=0，特征根为 r 1 =r 2 =1，所以两个线性无关的特解是 y 1 =e x ，y 2 =
25、xe x ，应选 D。28.2005年第 18题设 A和 B都是 n阶方阵，已知A=2，B=3，则BA -1 等于( )。（分数：2.00）A.B. C.6D.5解析：解析：因A=20，则矩阵 A可逆且A -1 = ，BA -1 =BA -1 =3 29.2007年第 22题设行列式 （分数：2.00）A.一 2 B.2C.1D.1解析：解析：由代数余子式的定义，以及行列式按行(列)展开定理，有 A 13 = =101=9，同理可得A 33 = 30.2009年第 17题设 a 1 ，a 2 ，a 3 是三维列向量，1a=a 1 ，a 2 ，a 3 则与A相等的是( )。（分数：2.00）A.
26、a 1 ，a 2 ，a 3 B.a 2 ，a 3 ，a 2 C.a 1 +a 2 ，a 2 +a 3 ，a 3 +a 1 D.a 1 ，a 1 +a 2 ，a 1 +a 2 +a 3 解析：解析：将a 1 ，a 1 +a 2 ，a 1 +a 2 +a 3 第一列的一 1倍加到第二列、第三列，再将第二列的一 1倍加到第三列，a 1 ，a 1 +a 2 ，a 1 +a 2 +a 3 =a 1 ，a 2 ，a 3 ，故应选 D。31.2010年第 17题设 A是 m阶矩阵，B 是 n阶矩阵，行列式 （分数：2.00）A.一ABB.ABC.(一 1) m+n ABD.(一 1) mn AB 解析：解析：从第 m行开始，将行列式 的前 m行逐次与后 n行交换，共交换 mn次可得
