1、专升本高等数学(二)-定积分及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：10，分数：10.00)1.设 f(x)为a，b上的连续函数，则 （分数：1.00）A.B.C.D.2.等于_ Aarctanx B Carctanb-arctana D0 （分数：1.00）A.B.C.D.3.下列各式中正确的是_ A B C （分数：1.00）A.B.C.D.4.变上限积分 （分数：1.00）A.B.C.D.5.极限设 （分数：1.00）A.B.C.D.6.设 （分数：1.00）A.B.C.D.7.设函数 f(x)在0，1上连续，令 t=2x，则 等于_ A B C
2、D （分数：1.00）A.B.C.D.8.设函数 f(x)=x3+x，则 的值等于_A0 B8 C D （分数：1.00）A.B.C.D.9.下列定积分等于零的是_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.10.下列广义积分收敛的是_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D.二、B填空题/B(总题数：10，分数：10.00)11.设 （分数：1.00）填空项 1:_12.若 （分数：1.00）填空项 1:_13.设 （分数：1.00）填空项 1:_14.设 f(x)在积分区间上连续，则 （分数：1.00）填空项 1:_15.定积分 （分数：1.00）填空项 1:_16.定积
3、分 （分数：1.00）填空项 1:_17.定积分 （分数：1.00）填空项 1:_18.定积分 （分数：1.00）填空项 1:_19.若 （分数：1.00）填空项 1:_20.= 1。 （分数：1.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：6，分数：80.00)求下列不定积分（分数：9.00）(1).计算 （分数：3.00）_(2).求由方程 （分数：3.00）_(3).设 （分数：3.00）_计算下列定积分（分数：15.00）(1).计算 （分数：3.00）_(2).计算 （分数：3.00）_(3).计算 （分数：3.00）_(4).计算 （分数：3.00）_(5).计算 （分数：3.0
4、0）_计算下列定积分（分数：6.00）(1).设分段函数 计算 （分数：3.00）_(2).计算 （分数：3.00）_求下列不定积分（分数：12.00）(1).计算 （分数：3.00）_(2).计算 （分数：3.00）_(3).计算 （分数：3.00）_(4).计算 （分数：3.00）_证明题（分数：12.00）(1).设 f(x)是在区间-a，a上连续的偶函数，证明 （分数：3.00）_(2).证明 （分数：3.00）_(3).设 f(x)在区间0，1上连续，证明 （分数：3.00）_(4).设函数 f(x)满足 ，证明 （分数：3.00）_求解下列各题（分数：26.00）(1).求由直线
5、y=x及抛物线 y=x2所围成的平面图形的面积。（分数：3.25）_(2).求曲线 y=x3和 （分数：3.25）_(3).求由抛物线 y=1-x2及其在点(1，0)处的切线和 y轴所围成的平面图形的面积。（分数：3.25）_(4).求由曲线 y=ex和直线 y=x，x=0，x=1 所围成的平面图形的面积。（分数：3.25）_(5).求由曲线 y2=x及直线 y=x-2所围成的平面图形的面积。（分数：3.25）_(6).求由直线 y=2x，y=x，x=2，x=4 所围成的平面图形绕 x轴旋转一周所得旋转体的体积 Vx。（分数：3.25）_(7).()求由直线 x=0，x=2，y=0 及抛物线
6、y=-x2+1所围成的图形的面积 S；()求上述平面图形绕 x轴旋转一周所得旋转体的体积 Vx。（分数：3.25）_(8).曲线 y=x2，直线 y=a，x=0 及 x=0及 x=1围成一个平面图形，其中 0a1。()求图中阴影部分的面积 S；()问 a为何值时，S 的取值最小，并求出此最小值。（分数：3.25）_专升本高等数学(二)-定积分答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B选择题/B(总题数：10，分数：10.00)1.设 f(x)为a，b上的连续函数，则 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 由定积分的定义可知，定积分*是一个数值，它仅与积分区间a，b和被
7、积函数 f(x)有关，而与积分变量符号无关，即*，所以*。2.等于_ Aarctanx B Carctanb-arctana D0 （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 根据定积分的定义，定积分*是常数值由于常数的导数等于零，所以*。3.下列各式中正确的是_ A B C （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 在区间0，1内，xx 2，*，根据定积分的单调性，*。4.变上限积分 （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 由变上限定积分求导定理，得*，所以变上限积分*是 f(x)的一个原函数。5.极限设 （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 用洛必达法则求*型未
8、定式的极限，对分子、分母求导时须用到变上限定积分求导定理，即有*。6.设 （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 等式两边同时对 x求导*，由变上限定积分求导定理得 f(x)=a2xlna(2x)=2a2xlna。7.设函数 f(x)在0，1上连续，令 t=2x，则 等于_ A B C D （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于作变量代换 t=2x，则*，当 x=0时，t=0；当 x=1时，t=2。则有*。8.设函数 f(x)=x3+x，则 的值等于_A0 B8 C D （分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 f(x)=x 3+x在区间-2，2上是连续的奇函数，则
9、*。9.下列定积分等于零的是_ A B C D （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 选项 C中，由于被积函数 f(x)=x+sinx在区间-1，1上是连续的奇函数，所以有*。10.下列广义积分收敛的是_ A B C D （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 由无穷区间上广义积分收敛性的定义可知， *二、B填空题/B(总题数：10，分数：10.00)11.设 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：tanx）解析：解析 由变上限定积分求导定理，有*。12.若 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 由变上限定积分求导定理，有 *13.设 （分数：
10、1.00）填空项 1:_ （正确答案：arctanx）解析：解析 由变上限定积分求导定理，有 *14.设 f(x)在积分区间上连续，则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 由于被积函数 x2f(x)-f(-x)在积分区间-a，a是连续的奇数，所以*。15.定积分 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 由于被积函数 f(x)=xcosx在积分区间*是连续的奇数，所以*。16.定积分 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 由于被积函数*在积分区间*是连续的奇函数，所以*。17.定积分 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确
11、答案：*）解析：解析 由奇、偶函数在对称区间上的定积分性质可得 *。18.定积分 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析 由于被积函数 f(x)=xcosx在积分区间-，是连续的奇函数，所以*。19.若 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：e）解析：解析 *，解得 b=e。20.= 1。 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 *。三、B解答题/B(总题数：6，分数：80.00)求下列不定积分（分数：9.00）(1).计算 （分数：3.00）_正确答案：(*。)解析：(2).求由方程 （分数：3.00）_正确答案：(求二元方程确定的一元隐函
12、数的微分时，须用到变上限定积分求导定理的推论。 解法(公式法)方程两边对 x求导 * 解法(直接微分法)*， 解得*。)解析：(3).设 （分数：3.00）_正确答案：(本题为将变上限定积分求导定理应用于讨论函数的连续性。 * 因为 f(0-0)f(0+0)，所以函数 f(x)在点 x=0处不连续，x=0 为函数 f(x)的间断点。)解析：计算下列定积分（分数：15.00）(1).计算 （分数：3.00）_正确答案：(*)解析：(2).计算 （分数：3.00）_正确答案：(解法：作变量代换，令 cosx=t，则 sinxdx=-dt，当 x=0时，t=1，当*时，t=0。 * 解法：连续两次凑
13、微分，使用凑微分公式* *)解析：(3).计算 （分数：3.00）_正确答案：(作变量代换，令*，则 dx=2tdt，当 x=0时，t=0；当 x=4时，t=2。 *)解析：(4).计算 （分数：3.00）_正确答案：(作变量代换，令*，则 x=ln(1+t2)，*，当 x=0时，t=0；当 x=ln2时，t=1。*)解析：(5).计算 （分数：3.00）_正确答案：(本题主要考查用换元积分法计算定积分。解法：作变量代换，令 4-ex=t，则 x=ln(4-t)，*，当 x=0时，t=3；当 x=1时，t=4-e。*解法：凑微分法，使用凑微分公式 exdx=-d(4-ex)，*)解析：计算下列
14、定积分（分数：6.00）(1).设分段函数 计算 （分数：3.00）_正确答案：(用定积分的积分区间可加性求分段函数的定积分。 * *)解析：(2).计算 （分数：3.00）_正确答案：(用定积分的积分区间可加性求分段函数的定积分。 * *)解析：求下列不定积分（分数：12.00）(1).计算 （分数：3.00）_正确答案：(*)解析：(2).计算 （分数：3.00）_正确答案：(*)解析：(3).计算 （分数：3.00）_正确答案：(*)解析：(4).计算 （分数：3.00）_正确答案：(本小题主要考查用计算广义积分。 * *)解析：证明题（分数：12.00）(1).设 f(x)是在区间-a
15、，a上连续的偶函数，证明 （分数：3.00）_正确答案：(证明：由于 f(x)是区间-a，a上连续的偶函数，则有 f(-x)=f(x) * 对于定积分*，作变量代换，令 x=-t，得 dx=-dt。 当 x=-a时，t=a；当 x=0时，t=0，则有 *。 所以*。)解析：(2).证明 （分数：3.00）_正确答案：(证明：作变量代换，令 1-x=t，得 x=1-t，dx=-dx， 当 x=0时，t=1；当 x=1时，t=0，则有 *。)解析：(3).设 f(x)在区间0，1上连续，证明 （分数：3.00）_正确答案：(证明：作变换代换，令 1-2x=t，得*。 当 x=0时，t=1；当*时，
16、t=0。 则有*。)解析：(4).设函数 f(x)满足 ，证明 （分数：3.00）_正确答案：(证明：令*，由已知，得 f(x)=lnx-A， *。 即*，得 eA=1，*， 即*。)解析：求解下列各题（分数：26.00）(1).求由直线 y=x及抛物线 y=x2所围成的平面图形的面积。（分数：3.25）_正确答案：(画出图形(如下图所示)，解方程组*，得 x1=0，x 2=1则平面图形的面积为*)解析：(2).求曲线 y=x3和 （分数：3.25）_正确答案：(画出图形(如图所示)，解方程组*得 x1=0，x 2=1。*则平面图形的面积为*。)解析：(3).求由抛物线 y=1-x2及其在点(
17、1，0)处的切线和 y轴所围成的平面图形的面积。（分数：3.25）_正确答案：(画出图形(如图所示)，y=-2x，y| x=1=-2。*过点(1，0)处的切线方程为 y=-2(x-1)。则抛物线 y=1-x2及其在点(1，0)处的切线 y=-2(x-1)和 y轴所围成的平面图形的面积为*)解析：(4).求由曲线 y=ex和直线 y=x，x=0，x=1 所围成的平面图形的面积。（分数：3.25）_正确答案：(画出图形(如下图所示)，所求平面图形的面积 * *)解析：(5).求由曲线 y2=x及直线 y=x-2所围成的平面图形的面积。（分数：3.25）_正确答案：(画出图形(如图所示)，解方程组*
18、得两曲线的交点 A(1，-1)，B(4，2)。则曲线 y2=x及直线 y=x-2所围成的平面图形的面积*另解*)解析：(6).求由直线 y=2x，y=x，x=2，x=4 所围成的平面图形绕 x轴旋转一周所得旋转体的体积 Vx。（分数：3.25）_正确答案：(画出图形(如图所示)，所求旋转体的体积 * *)解析：(7).()求由直线 x=0，x=2，y=0 及抛物线 y=-x2+1所围成的图形的面积 S；()求上述平面图形绕 x轴旋转一周所得旋转体的体积 Vx。（分数：3.25）_正确答案：(画出图形(如下图所示) * ()* ()*)解析：(8).曲线 y=x2，直线 y=a，x=0 及 x=0及 x=1围成一个平面图形，其中 0a1。()求图中阴影部分的面积 S；()问 a为何值时，S 的取值最小，并求出此最小值。（分数：3.25）_正确答案：(如图所示，本题是用定积分求平面图形的面积及用导数求函数的最小值的综合应用题。 * ()解方程组 由*，解得*， 则有*。 ()*， 令 S(a)=0，得唯一驻点*。 *为极小值点。由于驻点唯一，因此极小值点也为最小值点，从而最小值为*。)解析：
