1、2016年内蒙古赤峰市中考真题数学 一、选择题：每小题 3 分，共 30分 1. 12016的倒数是 ( ) A. 12016B. 12016C.2016 D. 2016 解 析 ： 12016的倒数是 2016. 答案： C. 2.等腰三角形有一个角是 90 ，则另两个角分别是 ( ) A.30 ， 60 B.45 ， 45 C.45 ， 90 D.20 ， 70 解析： 等腰三角形的两底角相等， 两底角的和为 180 90=90 ， 两个底角分别为 45 ， 45 ， 答案： B. 3.平面直角坐标系内的点 A( 1， 2)与点 B( 1， 2)关于 ( ) A.y轴对称 B.x轴对称 C
2、.原点对称 D.直线 y=x对称 解析：平面直角坐标系内的点 A( 1， 2)与点 B( 1， 2)关于 x轴对称 . 答案： B. 4.中国的领水面积约为 370000km2，其中南海的领水面积约占我国领水面积的 12，用科学记数法表示中国南海的领水面积是 ( ) A.37 105km2 B.37 104km2 C.0.85 105km2 D.1.85 105km2 解析： 370000 12=185000=1.85 105， 答案： D. 5.从数字 2， 3， 4中任选两个数组成一个两位数，组成的数是偶数的概率是 ( ) A.23B.12C.13D.56解析：画树状图为： 共有 6种等可
3、能的结果数，其中组成的数是偶数的结果数为 4， 所以组成的数是偶数的概率 =42=63. 答案： A. 6.如图，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制一个变形管道 ABCD，使其拐角 ABC=150 ， BCD=30 ，则 ( ) A.AB BC B.BC CD C.AB DC D.AB与 CD相交 解析： ABC=150 ， BCD=30 ， ABC+ BCD=180 ， AB DC. 答案： C. 7.一个长方体的三视图如图所示，则这个长方体的体积为 ( ) A.30 B.15 C.45 D.20 解析：观察图形可知，该几何体为长 3，宽 2，高 5的长方体， 长方体的体积为 3 2
4、5=30. 答案： A. 8.如图， O的半径为 1，分别以 O的直径 AB上的两个四等分点 O1， O2为圆心， 12为半径作圆，则图中阴影部分的面积为 ( ) A. B.12 C. D.2 解析： 12 12= 1 12=12 . 答：图中阴影部分的面积为 12 . 答案： B. 9.函数 y=k(x k)与 y=kx2， kyx(k 0)，在同一坐标系上的图象正确的是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ：一次函数 y=k(x k)=kx k2， k 0， k2 0， 一次函数与 y轴的交点在 y轴负半轴 . A、一次函数图象与 y 轴交点在 y轴正半轴， A不正确； B、一次函数图
5、象与 y 轴交点在 y轴正半轴， B不正确； C、一次函数图象与 y 轴交点在 y轴负半轴， C可以； D、一次函数图象与 y 轴交点在 y轴正半轴， D不正确 . 答案： C. 10. 8月份是新学期开学准备季，东风和百惠两书店对学习用品和工具实施优惠销售 .优惠方案分别是：在东风书店购买学习用品或工具书累计花费 60元后，超出部分按 50%收费；在百惠书店购买学习用品或工具书累计花费 50 元后，超出部分按 60%收费，郝爱同学准备买价值 300元的学习用品和工具书，她在哪家书店消费更优惠 ( ) A.东风 B.百惠 C.两家一样 D.不能确定 解 析 ：依题意， 若在东风书店购买，需花费
6、： 60+(300 60) 50%=180(元 )， 若在百惠书店购买，需花费： 50+(300 50) 60%=200(元 ). 180 200 郝爱同学在东风书店购买学习用品或工具书便宜 . 答案 ： A 二、填空题：每小题 3 分，共 18分 11.分解因式： 4x2 4xy+y2= . 解 析 ： 4x2 4xy+y2， =(2x)2 2 2x y+y2， =(2x y)2. 12.数据 499， 500， 501， 500的中位数是 . 解 析 ：将该组数据按照从小到大的顺序排列为： 499， 500， 500， 501， 可得改组数据的中位数为： 500 5002=500， 答案
7、： 500. 13.如图，两同心圆的大圆半径长为 5cm，小圆半径长为 3cm，大圆的弦 AB与小圆相切，切点为 C，则弦 AB 的长是 . 解 析 ： AB 是 O切线， C AB， AC=BC， 在 Rt BOC中， BCO=90 ， OB=5， OC=3， BC= 2253 =4(cm)， AB=2BC=8cm. 答案 ： 8cm. 14.下列图表是由我们熟悉的一些基本数学图形组成的，其中是轴对称图形的是 (填序号 ) 解 析 ：根据轴对称图形的概念，可得出 均为轴对称图形 . 答案 ： . 15.如图，正方形 ABCD 的面积为 3cm2， E为 BC 边上一点， BAE=30 ， F
8、为 AE 的中点，过点 F作直线分别与 AB， DC相交于点 M， N.若 MN=AE，则 AM的长等于 cm. 解 析 ：如图，作 DH MN， 四边形 ABCD是正方形， AD=AB， DAB= B=90 ， AB CD， 四边形 DHMN是平行四边形， DH=MN=AE， 在 RT ADH和 RT BAE 中， AD ABDH AE， ADH BAE， ADH= BAE， ADH+ AHD= ADH+ AMN=90 ， BAE+ AMN=90 ， AFM=90 ， 在 RT ABE中， B=90 ， AB= 3 ， BAE=30 ， AE cos30=AB ， AE=2， 在 RT AF
9、M中， AFM=90 ， AF=1， FAM=30 ， AM cos30=AF ， AM=233， 根据对称性当 MN=AE 时， BM= 233， AM 33答案： 33或 233. 16.甲乙二人在环形跑道上同时同地出发，同向运动 .若甲的速度是乙的速度的 2倍，则甲运动 2周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度 3倍，则甲运动 32周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度 4倍，则甲运动 43周，甲、乙第一次相遇， ，以此探究正常走时的时钟，时针和分针从 0点 (12 点 )同时出发，分针旋转 周，时针和分针第一次相遇 . 解 析 ：设分针旋转 x周后，时针和分针第一次相遇，则时针
10、旋转了 (x 1)周， 根据题意可得： 60x=720(x 1)， 解得： x=1211. 答案 ： 1211. 三、解答题：共 102分 17.计算： 1 2 0 1 63 3 0 2 7 113 t a n （ ） （ ）. 解析： 根据实数的运算顺序，首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式 1 2 0 1 63 3 0 2 7 113 t a n （ ） （ ）的值是多少即可 . 答案 ： 1 2 0 1 63 3 0 2 7 113 t a n （ ） （ ）= 33 3 3 3 13 = 3 3 3 3 1 = 2 23 18.化简：221142a a a并任选一个
11、你认为合理的正整数代入求值 . 解析： 根据分式的除法法则把原式进行化简，再选取合适的 a的值代入进行计算即可 . 答案 ：原式 = 112 2 2a a a a = 212 2 1aaaa =2aa， 当 a=1时，原式 = 1319.在平面直角坐标系内按下列要求完成作图 (不要求写作法，保留作图痕迹 ). (1)以 (0， 0)为圆心， 3为半径画圆； (2)以 (0， 1)为圆心， 1为半径向下画半圆； (3)分别以 ( 1， 1)， (1， 1)为圆心， 0.5为半径画圆； (4)分别以 ( 1， 1)， (1， 1)为圆心， 1为半径向上画半圆 . (向上、向下指在经过圆心的水平线的
12、上方和下方 ) 解析： (1)直接利用坐标系结合圆心的位置以及半径长画出圆即可； (2)直接利用坐标系结合圆心的位置以及半径长画出半圆即可； (3)直接利用坐标系结合圆心的位置以及半径长画出圆即可； (4)直接利用坐标系结合圆心的位置以及半径长画出半圆即可 . 答案 ： (1)如图所示： O，即为所求； (2)如图所示：半圆 O1，即为所求； (3)如图所示： O2， O3，即为所求； (4)如图所示：半圆 O2，半圆 O3，即为所求 . 20.下表是博文学校初三 一班慧慧、聪聪两名学生入学以来 10次数学检测成绩 (单位：分 ). 慧慧 116 124 130 126 121 127 126
13、 122 125 123 聪聪 122 124 125 128 119 120 121 128 114 119 回答下列问题： (1)分别求出慧慧和聪聪成绩的平均数； (2)分别计算慧慧和聪聪两组数据的方差； (3)根据 (1)(2)你认为选谁参加全国数学竞赛更合适？并说明理由； (4)由于初三 二班、初三 三班和初三 四班数学成绩相对薄弱，学校打算派慧慧和聪聪分别参加三个班的数学业余辅导活动，求两名学生分别在初三 二班和初三 三班的概率 . 解析： (1)把慧慧和聪聪的成绩都减去 125，然后计算她们的平均成绩； (2)根据方差公式计算两组数据的方差； (3)根据平均数的大小和方差的意义进行
14、判断； (4)画树状图展示所有 6种等可能的结果数，再找出两名学生分别在初三 二班和初三 三班的结果数，然后根据概率公式计算 . 答案 ： (1)慧慧的平均分数 =125+110( 9 1+5+1+6+2+1 3+0 2)=125(分 )， 聪聪的平均分数 =125+110( 3 1+0+3 6 5+6+3 11 6)=123(分 )； (2)慧慧成绩的方差 S2=11092+12+52+12+42+22+12+32+02+22=14.2， 聪聪成绩的方差 S2=11012+12+22+52+42+32+82+52+92+42=24.2， (3)根据 (1)可知慧慧的平均成绩要好于聪聪，根据
15、(2)可知慧慧的方差小于聪聪的方差，因为方差越小越稳定，所以慧慧的成绩比聪聪的稳定，因此选慧慧参加全国数学竞赛更合适一些 . (4)画树状图为： 共有 6种等可能的结果数，其中两名学生分别在初三 二班和初三 三班的结果数为 2， 所以两名学生分别在初三 二班和初三 三班的概率 =21=63. 21.为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛进行了全面调查，一测量船在 A岛测得 B岛在北偏西 30 ， C岛在北偏东 15 ，航行 100海里到达 B岛，在 B岛测得 C岛在北偏东 45 ，求 B， C两岛及 A， C两岛的距离 ( 6 2.45，结果保留到整数 ) 解析： 过点 B作 BD
16、AC 于点 D，由等腰直角三角形的性质求出 AD 的长，再由直角三角形的性质即可得出结论 . 答案 ：由题意知： BAC=45 ， FBA=30 ， EBC=45 ， AB=100海里； 过 B点作 BD AC 于点 D， BAC=45 ， BAD为等腰直角三角形； BD=AD=50 2 ， ABD=45 ； CBD=180 30 45 45=60 ， C=30 ； 在 Rt BCD中 BC=100 2 141海里， CD=50 6 ， AC=AD+CD=50 2 +50 6 193海里 . 22.如图，一块长 5米宽 4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹 (图中阴影部分 )，已知配
17、色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的 1780. (1)求配色条纹的宽度； (2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价 200元，其余部分每平方米造价 100元，求地毯的总造价 . 解析： (1)设条纹的宽度为 x 米，根据等量关系：配色条纹所占面积 =整个地毯面积的 1780，列出方程求解即可； (2)根据总价 =单价 数量，可分别求出地毯配色条纹和其余部分的钱数，再相加即可求解 . 答案 ： (1)设条纹的宽度为 x米 .依题意得 2x 5+2x 4 4x2=1780 5 4， 解得： x1=174(不符合，舍去 )， x2=14. 答：配色条纹宽度为 14米 . (2)条纹造价： 17
18、80 5 4 200=850(元 ) 其余部分造价： (1 1780) 4 5 100=1575(元 ) 总造价为： 850+1575=2425(元 ) 答：地毯的总造价是 2425元 . 23.如图，在平面直角坐标系中， O(0， 0)， A(0， 6)， B(8， 0)三点在 P上 . (1)求圆的半径及圆心 P的坐标； (2)M为劣弧 OB 的中点，求证： AM是 OAB的平分线； (3)连接 BM并延长交 y 轴于点 N，求 N， M点的坐标 . 解析： (1)先利用勾股定理计算出 AB=10，再利用圆周角定理的推理可判断 AB为 P的直径，则得到 P的半径是 5，然后利用线段的中点坐
19、标公式得到 P点坐标； (2)根据圆周角定理由 OM BM ， OAM= MAB，于是可判断 AM 为 OAB的平分线； (3)连接 PM交 B于点 Q，如图，先利用垂径定理的推论得到 PM OB， BQ=OQ=12OB=4，再利用勾股定理计算出 PQ=3，则 MQ=2，于是可写出 M点坐标，接着证明 MQ为 BON的中位线得到 N=2MQ=4，然后写出 N点的坐标 . 答案 ： (1) O(0， 0)， A(0， 6)， B(8， 0)， A=6， OB=8， AB= 2268 =10， AOB=90 ， AB为 P的直径， P的半径是 5 点 P为 AB 的中点， P(4， 3)； (2)
20、 M点是劣弧 OB的中点， OM BM ， OAM= MAB， AM为 OAB的平分线； (3)连接 PM交 OB于点 Q，如图， OM BM ， PM OB， BQ=OQ=12OB=4， 在 Rt PBQ中， PQ= 2 2 2 2Q = 5 4P B B=3， MQ=2， M点的坐标为 (4， 2)； MQ ON， 而 Q=BQ， MQ为 BON的中位线， N=2MQ=4， N点的坐标为 (0， 4). 24.如图，在平面直角坐标系 xOy中，反比例函数 myx的图象与一次函数 y=k(x 2)的图象交点为 A(3， 2)， B(x， y). (1)求反比例函数与一次函数的解析式及 B点坐
21、标； (2)若 C是 y轴上的点，且满足 ABC的面积为 10，求 C点坐标 . 解析： (1)根据点 A(3， 2)在反比例函数 myx，和一次函数 y=k(x 2)上列出 m和 k的一元一次方程，求出 k和 m的值即可；联立两函数解析式，求出交点坐标； (2)设 C点的坐标为 (0， yc)，求出点 M的坐标，再根据 ABC的面积为 10，知 12 3 |yc( 4)|+12 1 |yc ( 4)|=10，求出 yC的值即可 . 答案 ： (1) 点 A(3， 2)在反比例函数 myx，和一次函数 y=k(x 2)上； 2= ， 2=k(3 2)，解得 m=6， k=2； 反比例函数解析式
22、为 6yx，和一次函数解析式为 y=2x 4； 点 B是一次函数与反比例函数的另一个交点， 6x=2x 4，解得 x1=3， x2= 1； B点的坐标为 ( 1， 6)； (2) 点 M是一次函数 y=2x 4与 y轴的交点， 点 M的坐标为 (0， 4)， 设 C点的坐标为 (0， yc)，由题意知 12 3 |yc ( 4)|+12 1 |yc ( 4)|=10， 解得 |yc+4|=5， 当 yc+4 0时， yc+4=5，解得 Yc=1， 当 yc+4 0时， yc+4= 5，解得 Yc= 9， 点 C的坐标为 (0， 1)或 (0， 9). 25.如图，正方形 ABCD 的边长为 3
23、cm， P， Q分别从 B， A出发沿 BC， AD 方向运动， P点的运动速度是 1cm/秒， Q点的运动速度是 2cm/秒，连接 A， P并过 Q作 QE AP 垂足为 E. (1)求证： ABP QEA； (2)当运动时间 t为何值时， ABP QEA； (3)设 QEA的面积为 y，用运动时刻 t表示 QEA的面积 y(不要求考 t的取值范围 ).(提示：解答 (2)(3)时可不分先后 ) 解析： (1)根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质证明即可； (2)根据全等三角形的判定和性质，利用勾股定理解答即可； (3)根据相似三角形的性质得出函数解析式即可 . 答案： (1)证明： 四
24、边形 ABCD为正方形； BAP+ QAE= B=90 ， QE AP； QAE+ EQA= AEQ=90 BAP= EQA， B= AEQ； ABP QEA(AA) (2) ABP QEA； AP=AQ(全等三角形的对应边相等 )； 在 RT ABP与 RT QEA 中根据勾股定理得 AP2=32+t2， AQ2=(2t)2 即 32+t2=(2t)2 解得 t1= 3 ， t2= 3 (不符合题意，舍去 ) 答：当 t取 3 时 ABP与 QEA全等 . (3)由 (1)知 ABP QEA； 2ABPy A QS A P（ ） 222232 31yttt （ ）整理得： 3239 ty t
25、 . 26.在平面直角坐标系中，已知点 A( 2， 0)， B(2， 0)， C(3， 5). (1)求过点 A， C的直线解析式和过点 A， B， C的抛物线的解析式； (2)求过点 A， B及抛物线的顶点 D的 P的圆心 P的坐标； (3)在抛物线上是否存在点 Q，使 AQ 与 P相切，若存在请求出 Q点坐标 . 解析： (1)利用抛物线和 x轴的两个交点坐标，设出抛物线的解析式 y=a(x x1)(x x2)，代入即可得出抛物线的解析式，再设出直线 AC的解析式，利用待定系数法即可得出答案； (2)先求得抛物线的顶点 D的坐标，再设点 P坐标 (0， Py)，根据 A， B， D三点在
26、P上，得PB=PD，列出关于 Py的方程，求解即可得出 P点的坐标； (3)假设抛物线上存在这样的点 Q使直线 AQ 与 P相切，设 Q点的坐标为 (m， m2 4)，根据平面内两点间的距离公式，即可得出关于 m的方程，求出 m的值，即可得出点 Q的坐标 . 答案 ： (1) A( 2， 0)， B(2， 0)； 设二次函数的解析式为 y=a(x 2)(x+2) ， 把 C(3， 5)代入 得 a=1； 二次函数的解析式为： y=x2 4； 设一次函数的解析式为： y=kx+b(k 0) 把 A( 2， 0)， C(3， 5)代入 得 2035kbkb ， 解得 12kb， 一次函数的解析式为
27、： y=x+2； (2)设 P点的坐标为 (0， Py)， 由 (1)知 D点的坐标为 (0， 4)； A， B， D三点在 P 上； PB=PD； 22+Py2=( 4 Py)2， 解得： Py= 32； P点的坐标为 (0， 32)； (3)在抛物线上存在这样的点 Q使直线 AQ与 P相切 . 理由如下：设 Q点的坐标为 (m， m2 4)； 根据平面内两点间的距离公式得： AQ2=(m+2)2+(m2 4)2， PQ2=m2+(m2 4+32)2； AP=52， AP2=254； 直线 AQ是 P的切线， AP AQ； PQ2=AP2+AQ2， 即： m2+(m2 4+32)2=254+(m+2)2+(m2 4)2 解得： m1=103， m2= 2(与 A点重合，舍去 ) Q点的坐标为 (103， 649).
