1、河南省专升本考试高等数学模拟 5 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.函数 （分数：2.00）A.0，2B.0，1)C.(0，1)D.(-1，1)2.下列各对函数互为反函数的是_ Ay=sinx，y=cosx By=e x ，y=e -x Cy=tanx，y=cotx D （分数：2.00）A.B.C.D.3.函数 （分数：2.00）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数4.当 x0 时，x 2 是 e tanx -e x 的_（分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.等价无穷小D.同阶无穷小，但非等价
2、无穷小5.极限 则 a 的值是_ A1 B （分数：2.00）A.B.C.D.6. _ A B （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 （分数：2.00）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点8.极限 （分数：2.00）A.1B.-1C.0D.不存在9.已知 f(x)=sinx，则 （分数：2.00）A.B.C.D.10.由方程 xy+lny=1 确定的隐函数 x=x(y)的微分 dx=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.11.设 y=ln(1+x)，则 y (n) =_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.12.若点(x0，f(x0)是曲线
3、y=f(x)的拐点，则_（分数：2.00）A.f“(x0)=0B.f“(x0)不存在C.f“(x0)=0 或 f“(x0)不存在D.f“(x0)=013.若点(x 0 ，f(x 0 )是连续函数 f(x)的极值点，则 f“(x)_（分数：2.00）A.等于零B.不存在C.等于零或不存在D.以上都不对14.若 f(x)在(a，b)内二阶可导，且 f“(x)0，f“(x)0，则 f(x)在(a，b)内_（分数：2.00）A.单调增加且是凸的B.单调增加且是凹的C.单调减少且是凸的D.单调减少且是凹的15.方程 x 3 +3x+c=0(其中 c 为任意实数)在区间(0，1)内实根最多有_（分数：2.
4、00）A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个16.已知 f(x)的一个原函数为 则 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.17.设 f(x)在(0，+)上连续，且 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.无法求出18.已知 f(x)为区间-2，2上的奇函数，则 （分数：2.00）A.0B.1C.-1D.不确定19.下列广义积分收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.20.设由抛物线 y=ax 2 (a0)与 x 轴及直线 x=3 围成平面图形的面积为 9，则 a=_ A B3 C1 D （分数：2.00）A.B.C.D.21.微分方程 y“=e 2x-y
5、 的通解为_ A.yex=C B.ey=e2x+C C.2ey=e2x+C D.y=Cxe-x（分数：2.00）A.B.C.D.22.二阶线性非齐次方程 y“-2y“+5y=2sin2x 的特解为 y * 应设为_ A.y*=Acos2x B.y*=Acos2x+Bsin2x C.y*=x(Acos2x+Bsin2x) D.y*=Axcos2x（分数：2.00）A.B.C.D.23.点(2，3，-1)到平面 2x-3y+z-6=0 的距离为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.24.设 z=ln(x 2 +y 2 )，则 _ Adx+dy B2xdx+2ydy C2dx+2dy
6、 D （分数：2.00）A.B.C.D.25.二元函数 z=x 2 -(y-1) 2 _（分数：2.00）A.有极小值B.有极大值C.无极值D.可能有极值26.二重积分 (其中 D：x 2 +y 2 1)等于_ A2 B0 C7 D （分数：2.00）A.B.C.D.27.设 f(x，y)为连续函数，二次积分 交换积分次序后为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.28.设 L 为三个顶点分别为(0，0)、(1，0)和(0，1)的三角形边界，L 的方向为逆时针方向，则 _ A B C0 D （分数：2.00）A.B.C.D.29.下列级数中，发散的是_ A B C D （分数：2
7、.00）A.B.C.D.30.幂级数 （分数：2.00）A.(0，1)B.(-，+)C.(-1，1)D.(-1，0)二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.设 （分数：2.00）32.若 （分数：2.00）33.极限 （分数：2.00）34.函数 f(x)=x 4 -2x 2 +5 在区间 （分数：2.00）35. （分数：2.00）36. （分数：2.00）37.若函数 z=z(x，y)由方程 e z -xyz=0 确定，则 （分数：2.00）38.曲线 （分数：2.00）39.以 y=e 2x ，y=xe 2x 为特解的二阶常系数线性齐次方程为 1 （分数：2.00）40.级数
8、（分数：2.00）三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限 （分数：5.00）_42.已知 （分数：5.00）_43. （分数：5.00）_44. （分数：5.00）_45.求过点(3，1，-2)及直线 （分数：5.00）_46.设 z=f(e x siny，ln(x+y)，其中 f(u，v)为可微函数，求 （分数：5.00）_47.计算 （分数：5.00）_48.求微分方程 y“+ycosx=e -sinx 满足初始条件 y(0)=-1 的特解 （分数：5.00）_49.将函数 （分数：5.00）_50.求幂级数 （分数：5.00）_四、应用题(总题数：2，分数：14.00)
9、51.用薄板(不计厚度)制成一个容积为 V 的无盖长方体水箱，问如何设计尺寸，才能使所用的材料最省? （分数：7.00）_一曲线通过点(e 2 ，3)且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求：（分数：7.00）(1).该曲线的方程；（分数：3.50）_(2).该曲线与 x 轴及直线 x=e 2 所围成的图形绕 y 轴旋转一周所成旋转体的体积（分数：3.50）_五、证明题(总题数：1，分数：6.00)52.证明：方程 （分数：6.00）_河南省专升本考试高等数学模拟 5 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.函数 （分数：
10、2.00）A.0，2B.0，1) C.(0，1)D.(-1，1)解析：解析 对于 arcsin(1-x)，|1-x|1，0x2， 对于 2.下列各对函数互为反函数的是_ Ay=sinx，y=cosx By=e x ，y=e -x Cy=tanx，y=cotx D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 y=sinx 的反函数为 y=arcsinx，y=e x 的反函数为 y=lnx，y=tanx 的反函数为 y=arctanx，所以 A，B，C 都错，故选 D3.函数 （分数：2.00）A.奇函数 B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数解析：解析 因为 4.当 x0 时，x 2 是
11、 e tanx -e x 的_（分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小 C.等价无穷小D.同阶无穷小，但非等价无穷小解析：解析 5.极限 则 a 的值是_ A1 B （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 6. _ A B （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 因为当 x时， 所以 7.设 （分数：2.00）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点 解析：解析 因为8.极限 （分数：2.00）A.1 B.-1C.0D.不存在解析：解析 9.已知 f(x)=sinx，则 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 10.由方程 xy+lny=1 确定的隐
12、函数 x=x(y)的微分 dx=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 两边微分，得 即(xy+1)dy+y 2 dx=0， 所以 11.设 y=ln(1+x)，则 y (n) =_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 12.若点(x0，f(x0)是曲线 y=f(x)的拐点，则_（分数：2.00）A.f“(x0)=0B.f“(x0)不存在C.f“(x0)=0 或 f“(x0)不存在 D.f“(x0)=0解析：解析 因为拐点存在于二阶导数为零或二阶导数不存在的点处故应选 C。13.若点(x 0 ，f(x 0 )是连续函数 f(x)的极值点，
13、则 f“(x)_（分数：2.00）A.等于零B.不存在C.等于零或不存在 D.以上都不对解析：解析 因为在曲线的极值点处有 f“(x 0 )=0 或 f“(x 0 )不存在，故应选 C14.若 f(x)在(a，b)内二阶可导，且 f“(x)0，f“(x)0，则 f(x)在(a，b)内_（分数：2.00）A.单调增加且是凸的 B.单调增加且是凹的C.单调减少且是凸的D.单调减少且是凹的解析：解析 根据函数的单调性与曲线的凹凸性判定可知，当 f“(x)0 时，f(x)在(a，b)内单调增加，当 f“(x)0 时，曲线 f(x)在(a，b)内是凸的，故应选 A15.方程 x 3 +3x+c=0(其中
14、 c 为任意实数)在区间(0，1)内实根最多有_（分数：2.00）A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个 解析：解析 设 f(x)=x 3 +3x+c，由于 f“(x)=3x 2 +30，故 f(x)在(0，1)内单调递增，在区间(0，1)内 f(x)与 x 轴最多有一个交点，即方程 x 3 +3x+c=0 在(0，1)内最多有一个实根，故应选 D16.已知 f(x)的一个原函数为 则 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 17.设 f(x)在(0，+)上连续，且 （分数：2.00）A.0B.1 C.2D.无法求出解析：解析 两边对 x 求导得 f(x 2 )2
15、x=2x，所以 f(x 2 )=1，从而 f(2016)=1，故选 B18.已知 f(x)为区间-2，2上的奇函数，则 （分数：2.00）A.0 B.1C.-1D.不确定解析：解析 由于 f(x)为区间-2，2上的奇函数，cos2x 为偶函数，故 f(x)cos2x 为-2，2上的奇函数，由定积分的对称性质，可得19.下列广义积分收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 根据广义积分收敛的定义进行计算验证， 只有 20.设由抛物线 y=ax 2 (a0)与 x 轴及直线 x=3 围成平面图形的面积为 9，则 a=_ A B3 C1 D （分数：2.00）A.B
16、.C. D.解析：解析 平面图形的面积21.微分方程 y“=e 2x-y 的通解为_ A.yex=C B.ey=e2x+C C.2ey=e2x+C D.y=Cxe-x（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由 y“=e 2x-y 得 e y dy=e 2x dx， 从而 22.二阶线性非齐次方程 y“-2y“+5y=2sin2x 的特解为 y * 应设为_ A.y*=Acos2x B.y*=Acos2x+Bsin2x C.y*=x(Acos2x+Bsin2x) D.y*=Axcos2x（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 因为对应齐次方程的特征方程为 r 2 -2r+5=0，
17、 解得特征根为 r 1，2 =12i，从而2i 不是特征根， 所以特解 y * =Acos2x+Bsin2x，故应选 B23.点(2，3，-1)到平面 2x-3y+z-6=0 的距离为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由点到平面的距离公式知 24.设 z=ln(x 2 +y 2 )，则 _ Adx+dy B2xdx+2ydy C2dx+2dy D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 因为 所以25.二元函数 z=x 2 -(y-1) 2 _（分数：2.00）A.有极小值B.有极大值C.无极值 D.可能有极值解析：解析 由 得唯一驻点为(0，1)，
18、26.二重积分 (其中 D：x 2 +y 2 1)等于_ A2 B0 C7 D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 根据二重积分的对称性及几何意义可知， 27.设 f(x，y)为连续函数，二次积分 交换积分次序后为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 积分区域 又可表示为 所以交换积分次序后为 28.设 L 为三个顶点分别为(0，0)、(1，0)和(0，1)的三角形边界，L 的方向为逆时针方向，则 _ A B C0 D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 设 Q(x，y)=x 2 y-3xy 2 ，P(x，y)=xy 2 -y 3 ， 则
19、设三角形区域为 D， 29.下列级数中，发散的是_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 选项 B 条件收敛，选项 C 和 D 均绝对收敛，只有选项 A 是发散的故应选 A30.幂级数 （分数：2.00）A.(0，1)B.(-，+)C.(-1，1) D.(-1，0)解析：解析 因为 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.设 （分数：2.00）解析： 解析 因 所以 32.若 （分数：2.00）解析：1解析 33.极限 （分数：2.00）解析：解析 34.函数 f(x)=x 4 -2x 2 +5 在区间 （分数：2.00）解析：5 解析 f“(x)=4x 3
20、 -4x，令 f“(x)=0 得 x=0，-1，1， 计算 从而 f(x)在 35. （分数：2.00）解析：解析 36. （分数：2.00）解析：解析 37.若函数 z=z(x，y)由方程 e z -xyz=0 确定，则 （分数：2.00）解析： 解析 令 F(x，y，z)=e z -xyz， 则 F x =-yz，F z =e z -xy， 所以 38.曲线 （分数：2.00）解析： 解析 由方程组 消去 z 得 x 2 +y 2 +x+y=1. 所以所求投影曲线方程为 39.以 y=e 2x ，y=xe 2x 为特解的二阶常系数线性齐次方程为 1 （分数：2.00）解析：y“-4y“+4
21、y=0 解析 以 y=e 2x 与 y=xe 2x 为特解， 说明二阶常系数线性齐次方程有两个相等特征根 r 1 =r 2 =2， 由此可知特征方程为 r 2 -4r+4=0，所以微分方程为 y“-4y“+4y=0.40.级数 （分数：2.00）解析：p0解析 根据交错级数的莱布尼茨判别法可以确定 p0.三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：42.已知 （分数：5.00）_正确答案：()解析：43. （分数：5.00）_正确答案：()解析：44. （分数：5.00）_正确答案：()解析：45.求过点(3，1，-2)及直线 （分数：5.
22、00）_正确答案：()解析：由已知直线上的点(4，-3，0)在平面上， 故向量4-3，-3-1，0-(-2)=1，-4，2与平面平行， 平面的一个法向量为 46.设 z=f(e x siny，ln(x+y)，其中 f(u，v)为可微函数，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：设 u=e x siny，v=ln(x+y)，则 z=f(u，v)， 47.计算 （分数：5.00）_正确答案：()解析：积分区域如图阴影所示 选定先对 x 积分，后对 y 积分的次序 48.求微分方程 y“+ycosx=e -sinx 满足初始条件 y(0)=-1 的特解 （分数：5.00）_正确答案：()解析：微
23、分方程的通解为 49.将函数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：50.求幂级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析： 当 即|x-1|3，亦即-2x4 时，级数收敛，收敛半径为 3； 当 x=-2 时， x=4 时， 四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.用薄板(不计厚度)制成一个容积为 V 的无盖长方体水箱，问如何设计尺寸，才能使所用的材料最省? （分数：7.00）_正确答案：()解析：设水箱长、宽、高各为 x、y、z，表面积为 S，则 S=xy+2yz+2xz， 由 V=xyz，解得 于是 由实际问题的最小值一定存在，所以 当 时，S 取最小值，这时 故当水箱做成底是边
24、长为 的正方形，高为 一曲线通过点(e 2 ，3)且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求：（分数：7.00）(1).该曲线的方程；（分数：3.50）_正确答案：()解析：设曲线方程为 y=f(x)，则有 所以 f(x)=ln|x|+C把点(e 2 ，3)代入得 C=1，曲线为 x0 的一支 从而所求曲线的方程为 y=lnx+1； (2).该曲线与 x 轴及直线 x=e 2 所围成的图形绕 y 轴旋转一周所成旋转体的体积（分数：3.50）_正确答案：()解析：曲线与 x 轴交点为 取 y 为积分变量，则 五、证明题(总题数：1，分数：6.00)52.证明：方程 （分数：6.00）_正确答案：()解析：证明 令 则 在0，1上有意义 即有 f(x)在0，1上连续，而 f(0)=-10， 所以至少存在一个 (0，1)使 f()=0， 即方程 f(x)=0 在(0，1)内至少有一个实数根， 又 即 f(x)在(0，1)内单调增加 故方程
