1、河南省专升本考试高等数学模拟 8 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.函数 （分数：2.00）A.2，3B.-3，4C.-3，4)D.(-3，4)2.函数 （分数：2.00）A.奇函数B.偶函数C.周期函数D.有界函数3.若 f(x-1)=x(x-1)，则 f(x)=_（分数：2.00）A.x(x+1)B.(x-1)(x-2)C.x(x-1)D.不存在4.下列各式中正确的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.5.下列函数中，当 x中，无穷小量是_ A2 -x -1 B Ce -x D （分数：2.00）A.
2、B.C.D.6._ （分数：2.00）A.-1B.1C.D.不存在7.设 （分数：2.00）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点8.设函数 在 x=2 处连续，则 a=_ A4 B C2 D （分数：2.00）A.B.C.D.9.函数在某点处连续是其在该点处可导的_（分数：2.00）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.无关条件10.f(x)在点 x=1 处可导，且取得极小值，则 等于_ A0 B1 C2 D （分数：2.00）A.B.C.D.11.曲线 （分数：2.00）A.仅有水平渐近线B.既有水平又有垂直渐近线C.仅有垂直渐近线D.既无水平也无垂直渐近线12.在区
3、间-1，1上下列函数中不满足罗尔定理的是_ Af(x)=cosx Bf(x)=3x 4 +2 C （分数：2.00）A.B.C.D.13.若 f(x)是(-，+)上的偶函数，且在(0，+)内，f“(x)0，f“(x)0，则 f(x)在区间(-，0)内_（分数：2.00）A.f“(x)0，f“(x)0B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0D.f“(x)0，f“(x)014.设函数 f(x)满足 f“(x)+2xf“(x)=3+e x ，若 f“(x 0 )=0，则有_（分数：2.00）A.f(x0)为 f(x)的极小值B.f(x0)为 f(x)的极大值C.(x0，f(x0)
4、是曲线 y=f(x)的拐点D.f(x0)不是 f(x)的极值，(x0，f(x0)也不是曲线 y=f(x)的拐点15.设参数方程为 则二阶导数 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.16.设 f“(2x-1)=e x ，则 f(x)=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.17.设 f“(cos 2 x)=sin 2 x，且 f(0)=0，则 f(x)=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.18.已知 则 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.019.设函数 f(x)为连续函数且 则 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.420.下列广义积分收敛
5、的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.21.微分方程(x 2 +y 2 )dx+2xydy=0 的通解为_ A Bx 3 +xy 2 =C C D （分数：2.00）A.B.C.D.22.微分方程 y“-4y“+4y=0 的两个线性无关的解是_ A.e2x与 2e2x B.e-2x与 xe-2x C.e-2x与 4e-2x D.e2x与 xe2x（分数：2.00）A.B.C.D.23.直线 和直线 （分数：2.00）A.平行但不重合B.重合C.垂直不相交D.垂直相交24.设 z=z(x，y)是由方程 所确定的隐函数，则 （分数：2.00）A.B.C.D.25.二元函数 z=
6、x 2 -4xy+5y 2 +2y 的极小值点_（分数：2.00）A.(-1，-2)B.(1，2)C.(2，1)D.(-2，-1)26.把积分 化为极坐标形式为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.27.交换二次积分 的积分次序后，I=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.28.设 L 是抛物线 y=x 2 上从点 A(1，1)到 B(-1，1)的有向曲线弧，则 _ A0 B C D （分数：2.00）A.B.C.D.29.若级数 （分数：2.00）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定30.幂级数 （分数：2.00）A.(-3，3B.(-3，3)C.-3
7、，3D.-3，3)二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.设 f(3-2x)的定义域为(-3，4，则 f(x)的定义域为 1 （分数：2.00）32.设 （分数：2.00）33.函数 （分数：2.00）34.该 y=x 5 +e 2x +3sinx，则 y (2016) = 1 （分数：2.00）35. （分数：2.00）36.函数 y=x 2 在1，3上的平均值为 1 （分数：2.00）37.由 z 3 -2xz+y=0 确定隐函数 x=x(y，z)，则 （分数：2.00）38.旋转曲面 （分数：2.00）39.以 y=C 1 +C 2 x 2 为通解的微分方程为 1 （分数：2.
8、00）40.若级数 收敛于 S，则级数 （分数：2.00）三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限 （分数：5.00）_42.设 （分数：5.00）_43.求不定积分 （分数：5.00）_44.计算定积分 （分数：5.00）_45.求过点 M(-1，2，-3)，垂直于向量 a=6，-2，-3，且与直线 （分数：5.00）_46.已知 x 2 +z 2 =y(z)，其中 为可微函数求 （分数：5.00）_47.计算二重积分 （分数：5.00）_48.求微分方程 y“+6y“+13y=0 的通解 （分数：5.00）_49.求幂级数 （分数：5.00）_50.求幂级数 （分数：5.0
9、0）_四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.设 D 曲线 y=f(x)与直线 y=0，y=3 围成，其中 （分数：7.00）_52.建筑一个容积为 8000m 3 ，深为 6m 的长方体形无盖蓄水池，池壁的造价为 a 元/m 2 ，池底的造价为2a 元/m 2 ，问蓄水池底面的边长各为多少时，总造价最低? （分数：7.00）_五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.设 f(x)在区间0，1上连续，且 f(x)1，证明：方程 （分数：6.00）_河南省专升本考试高等数学模拟 8 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1
10、.函数 （分数：2.00）A.2，3B.-3，4 C.-3，4)D.(-3，4)解析：解析 要使函数有意义，须满足 2.函数 （分数：2.00）A.奇函数B.偶函数C.周期函数D.有界函数 解析：解析 因为 是有界的，所以3.若 f(x-1)=x(x-1)，则 f(x)=_（分数：2.00）A.x(x+1) B.(x-1)(x-2)C.x(x-1)D.不存在解析：解析 由题 f(x-1)=x(x-1)=(x-1+1)(x-1)，故 f(x)=(x+1)x，故应选 A4.下列各式中正确的是_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 四个答案中只有选项 A 正确，B、C、D
11、 选项中右边均为 1，故应选 A5.下列函数中，当 x中，无穷小量是_ A2 -x -1 B Ce -x D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 所以当 x时，6._ （分数：2.00）A.-1B.1C.D.不存在 解析：解析 由于左右极限不等，故7.设 （分数：2.00）A.连续点B.可去间断点 C.跳跃间断点D.第二类间断点解析：解析 因为8.设函数 在 x=2 处连续，则 a=_ A4 B C2 D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 又 f(2)=a，根据连续的定义得9.函数在某点处连续是其在该点处可导的_（分数：2.00）A.充分条件B.必要条件 C.充
12、分必要条件D.无关条件解析：解析 根据函数连续与可导的关系可知，函数在某点连续是可导的必要条件，但不是充分条件，故应选 B10.f(x)在点 x=1 处可导，且取得极小值，则 等于_ A0 B1 C2 D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 因为 f(x)在 x=1 处可导，且取得极小值，所以 f“(1)=0，因此11.曲线 （分数：2.00）A.仅有水平渐近线B.既有水平又有垂直渐近线 C.仅有垂直渐近线D.既无水平也无垂直渐近线解析：解析 所以 y=0 是水平渐近线， 12.在区间-1，1上下列函数中不满足罗尔定理的是_ Af(x)=cosx Bf(x)=3x 4 +2 C （
13、分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 因为只有 C 项中 在-1，1上不连续，所以函数13.若 f(x)是(-，+)上的偶函数，且在(0，+)内，f“(x)0，f“(x)0，则 f(x)在区间(-，0)内_（分数：2.00）A.f“(x)0，f“(x)0B.f“(x)0，f“(x)0 C.f“(x)0，f“(x)0D.f“(x)0，f“(x)0解析：解析 因为 f(-x)=f(x)，从而 f“(-x)=-f“(x)， f“(-x)=f“(x)，又在(0，+)内 f“(x)0，f“(x)0， 所以在(-，0)内 f“(x)0，f“(x)0.故应选 B14.设函数 f(x)满足 f“(x)
14、+2xf“(x)=3+e x ，若 f“(x 0 )=0，则有_（分数：2.00）A.f(x0)为 f(x)的极小值 B.f(x0)为 f(x)的极大值C.(x0，f(x0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(x0)不是 f(x)的极值，(x0，f(x0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析 因为 f“(x)+2xf“(x)=3+e x ， 所以 f“(x 0 )+2x 0 f“(x 0 )=3+e x0 ，又 f“(x 0 )=0， 从而 f“(x 0 )=3+e x0 0，所以 f(x 0 )是 f(x)的极小值，故应选 A15.设参数方程为 则二阶导数 _ A B C D （分数：2.
15、00）A.B. C.D.解析：解析 16.设 f“(2x-1)=e x ，则 f(x)=_ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 f“(2x-1)=e x ，所以 从而 17.设 f“(cos 2 x)=sin 2 x，且 f(0)=0，则 f(x)=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 f“(cos 2 x)=sin 2 x=1-cos 2 x，则 f“(x)=1-x， 所以 18.已知 则 （分数：2.00）A.1B.2C.3 D.0解析：解析 由 得 f(x 2 )=3x 2 ，从而 f(x)=3x，所以 19.设函数 f(x
16、)为连续函数且 则 （分数：2.00）A.1 B.2C.3D.4解析：解析 设 则 所以 20.下列广义积分收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 21.微分方程(x 2 +y 2 )dx+2xydy=0 的通解为_ A Bx 3 +xy 2 =C C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 可通过对通解两边求微分验证， 22.微分方程 y“-4y“+4y=0 的两个线性无关的解是_ A.e2x与 2e2x B.e-2x与 xe-2x C.e-2x与 4e-2x D.e2x与 xe2x（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 方程 y“-4
17、y“+4y=0 的特征根为二重特征根 r=2，因此有两个线性无关特解为 e 2x 与 xe 2x ，故应选 D23.直线 和直线 （分数：2.00）A.平行但不重合 B.重合C.垂直不相交D.垂直相交解析：解析 因为 s 1 =-1，1，-2，s 2 =1，-1，2，s 1 /s 2 ，又因为 l 1 上点(1，3，1)代入 l 2 中不成立，所以两条直线平行，故应选 A24.设 z=z(x，y)是由方程 所确定的隐函数，则 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 构造函数 则 所以 而由 25.二元函数 z=x 2 -4xy+5y 2 +2y 的极小值点_（分数：2.00）A.(-1
18、，-2)B.(1，2)C.(2，1)D.(-2，-1) 解析：解析 由26.把积分 化为极坐标形式为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 所以 27.交换二次积分 的积分次序后，I=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 因积分区域 D 为：D=D 1 +D 2 ，其中 D 又可表示为 0x1，xy2-x， 于是交换次序后积分为 28.设 L 是抛物线 y=x 2 上从点 A(1，1)到 B(-1，1)的有向曲线弧，则 _ A0 B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 L 的参数方程为 x 从 1 变到-1， 29.
19、若级数 （分数：2.00）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散 D.不能确定解析：解析 因为 30.幂级数 （分数：2.00）A.(-3，3B.(-3，3)C.-3，3 D.-3，3)解析：解析 收敛半径为 当 x=3 时幂级数化为 收敛，当 x=-3 时幂级数化为 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.设 f(3-2x)的定义域为(-3，4，则 f(x)的定义域为 1 （分数：2.00）解析：-5，9) 解析 因为 f(3-2x)的定义域为(-3，4， 即-3x4，从而-8-2x6，-53-2x9，所以定义域为-5，9)32.设 （分数：2.00）解析：解析 33.函数 （分数：2.
20、00）解析：x 1 =-1，x 2 =3 解析 由于 34.该 y=x 5 +e 2x +3sinx，则 y (2016) = 1 （分数：2.00）解析：2 2016 e 2x +3sinx 解析 因为 35. （分数：2.00）解析：arctanf(x)+C解析 36.函数 y=x 2 在1，3上的平均值为 1 （分数：2.00）解析： 解析 y=x 2 在1，3上的平均值为 37.由 z 3 -2xz+y=0 确定隐函数 x=x(y，z)，则 （分数：2.00）解析： 解析 令 F(x，y，z)=z 3 -2xy+y， 则 F x =-2z，F z =3z 2 -2x， 所以 38.旋转
21、曲面 （分数：2.00）解析：z 轴 解析 因为方程中 x 2 与 y 2 项系数相同而与 z 2 系数不同，所以旋转曲面的旋转轴为 z轴39.以 y=C 1 +C 2 x 2 为通解的微分方程为 1 （分数：2.00）解析：xy“-y“=0 解析 y“=2C 2 x，y“=22C 2 ，所以 y“=xy“，即 xy“-y“=0.40.若级数 收敛于 S，则级数 （分数：2.00）解析：2S-u 1 解析 设 S n =u 1 +u 2 +u n ， 则(u 1 +u 2 )+(u 2 +u 3 )+(u n +u n+1 )=2(u 1 +u 2 +u n )+u n+1 -u 1 =2S
22、n +u n+1 -u 1 ， 三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：42.设 （分数：5.00）_正确答案：()解析：43.求不定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：44.计算定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：45.求过点 M(-1，2，-3)，垂直于向量 a=6，-2，-3，且与直线 （分数：5.00）_正确答案：()解析：设交点为 M 0 (x 0 ，y 0 ，z 0 )，则 即 x 0 =1-2t，y 0 =-1+3t，z 0 =3+5t， 由于 于是 6(x 0 +1)-2(y 0 -2)-3(z 0
23、 +3)=0， 即 6(1-2t+1)-2(-1+3t-2)-3(3+5t+3)=0， 解得 t=0，故 x 0 =1，y 0 =-1，z 0 =3， 直线的方向向量 s=2，-3，6， 所以所求直线方程为 46.已知 x 2 +z 2 =y(z)，其中 为可微函数求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：F(x，y，z)=x 2 +z 2 -y(z)，则 F x =2x，F y =-(z)，F z =2z-y“(z)， 所以 47.计算二重积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：积分区域如图所示， 48.求微分方程 y“+6y“+13y=0 的通解 （分数：5.00）_正确答案：()
24、解析：该方程的特征方程为 r 2 +6r+13=0， 解得特征根为 r 1，2 =-32i， 故所求方程的通解为 y=e -3x (C 1 cos2x+C 2 sin2x)，(C 1 ，C 2 为任意常数)49.求幂级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：令 x 2 =t，则 因为 所以幂级数 的收敛半径为 由 x 2 3 解得 当 时幂级数化为 发散， 所以原幂级数 的收敛域为 50.求幂级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：设幂级数的和函数为 四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.设 D 曲线 y=f(x)与直线 y=0，y=3 围成，其中 （分数：7.00）_正确
25、答案：()解析：平面图形如图，取 y 为积分变量，y0，3，所以所求旋转体的体积为 52.建筑一个容积为 8000m 3 ，深为 6m 的长方体形无盖蓄水池，池壁的造价为 a 元/m 2 ，池底的造价为2a 元/m 2 ，问蓄水池底面的边长各为多少时，总造价最低? （分数：7.00）_正确答案：()解析：设蓄水池底面边长分别为 x，y，总造价为 z， 则 z=2axy+12a(x+y)， 满足条件 所以 解得 又 从而 是极小值点， 即最小值点，此时 故当蓄水池底面边长都是 五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.设 f(x)在区间0，1上连续，且 f(x)1，证明：方程 （分数：6.00）_正确答案：()解析：证明 设 因为 f(x)在0，1上连续，所以 F(x)也在0，1上连续 由于 f(t)1，则 故 F(1)0，由零点定理可知至少存在一个 (0，1)使 F()=0. 又因为 F“(x)=2-f(x)0，所以 F(x)在(0，1)上单调增加， 因此方程
