1、高等数学(工本)自考题-1 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)1.已知 a=-1，1，-2，b=1，2，3，则 ab=( )A-7，-1，3 B7，-1，-3C-7，1，3 D7，1，-3（分数：3.00）A.B.C.D.2.幂级数 x+2x2+3x3+nxn+的收敛区域为( )A-1，1 B(-1，1)C(-1，1 D-1，1)（分数：3.00）A.B.C.D.3.y=sin(-x)的通解为( )Asin(-x) B-sin(-x)+C 1x+C2C-sin(-x) Dsin(-x)+C 1x+C2（分数：3.00）A.B.C
2、D.4.设 L 为取逆时针方向的圆周 x2+y2=54，则*( ) A54 B-54 C108 D-108（分数：3.00）A.B.C.D.5.设为球面 x2+y2+z2=a2，则对面积的曲面积分*=( ) Aa 2 B2a 2 C3a 2 D4a 2（分数：3.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.设函数 u(x，y，z)=x 2+2xy+z2+2，则 gradu(1，0，-1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_7.幂级数*在其收敛域中的和函数 s(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.微分方程 y“+6y+9y=0 的通解是 1（分数：2.00）
3、填空项 1:_9.微分方程 x2dy+(3xy-y)dx=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_10.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_三、计算题(总题数：12，分数：60.00)11.已知可导函数 f(x)满足*，求函数 f(x)（分数：5.00）_12.设函数 f(x)满足 f(x)+2f(x)-3f(x)=2e x，求微分方程的一个特解函数 f(x)（分数：5.00）_13.求幂级数*的收敛半径和收敛域（分数：5.00）_14.已知直线 L1： 和直线 L2： （分数：5.00）_15.求由方程 2xz-2xyz+ln(xyz)=0 确定的隐函数 z=z(x，y)在(1
4、1)处的微分（分数：5.00）_16.设 x2+y2+z2=4z,确定函数 z=z(x，y)，求*（分数：5.00）_17.求曲线积分*，其中 L 是正向椭圆 4x2+y2=8x（分数：5.00）_18.设区域 D 是由曲线 y=x，y=2x-x 2所围成的平面区域，求二重积分*（分数：5.00）_19.设函数 f(x，y，z)=x 2+2y2+2xyz，求 f(x，y，z)在点 p(-1，1，2)处的梯度（分数：5.00）_20.计算*其中 L 为：x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0t2_（分数：5.00）_21.计算*，其中 L 是从点(0，1)沿曲线*(x0)到点(1，
5、0)（分数：5.00）_22.计算对坐标的曲线积分 C(1-3y)dx+(1-2x+y)dy，其中 C 为区域 D：|x|1，|y|1 的正向边界曲线（分数：5.00）_四、综合题(总题数：3，分数：15.00)23.将函数 f(x)=ln(1+x)展开成(x-1)的幂级数（分数：5.00）_24.设 f(x)在a，b上连续且恒大于零试利用二重积分证明 *（分数：5.00）_25.设函数 f(x)在0，1上连续，证明*（分数：5.00）_高等数学(工本)自考题-1 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)1.已知 a=-1，1，-2，b
6、1，2，3，则 ab=( )A-7，-1，3 B7，-1，-3C-7，1，3 D7，1，-3（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：2.幂级数 x+2x2+3x3+nxn+的收敛区域为( )A-1，1 B(-1，1)C(-1，1 D-1，1)（分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 本题考查幂级数的收敛区间.要点透析 收敛半径3.y=sin(-x)的通解为( )Asin(-x) B-sin(-x)+C 1x+C2C-sin(-x) Dsin(-x)+C 1x+C2（分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 本题考查高阶微分方程的通解要点透析 对方程两边积分得 y=cos(-x)+
7、C 1，对方程两边积分得 y=-sin(-x)+C1x+C2，即为原方程的通解4.设 L 为取逆时针方向的圆周 x2+y2=54，则*( ) A54 B-54 C108 D-108（分数：3.00）A.B.C. D.解析：因为 P=xcosx-y，Q=x+ysiny 且 * 做由格林公式得：*5.设为球面 x2+y2+z2=a2，则对面积的曲面积分*=( ) Aa 2 B2a 2 C3a 2 D4a 2（分数：3.00）A.B.C.D. 解析：由对面积的曲面积分的定义知*的值等于的面积又为球面 x2+y2+z2=a2，其表面积 s=4a 2 *二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.设函
8、数 u(x，y，z)=x 2+2xy+z2+2，则 gradu(1，0，-1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：2，0，-2）解析：*7.幂级数*在其收敛域中的和函数 s(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：(x+1)e x）解析：*8.微分方程 y“+6y+9y=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：y=(c 1+c2x)e-3x）解析：齐次方程的特征方程为 r2+6r+9=0，r 1=r2=-3，它只有一个实的二重根 r=-3因此所求通解为y=(c1+c2x)e-3x9.微分方程 x2dy+(3xy-y)dx=0 的通解是 1（
9、分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：原方程变形为*，两端积分得*，即*10.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 本题考查齐次方程和分离变量要点透析 原方程可化为令 ，则 y=ux，故分离变量积分得 ，arctanu=lnx+C.将 代入处原方程的通解为三、计算题(总题数：12，分数：60.00)11.已知可导函数 f(x)满足*，求函数 f(x)（分数：5.00）_正确答案：(两边对 x 求导得 f(x)=xf(x) 即* 积分得* *)解析：12.设函数 f(x)满足 f(x)+2f(x)-3f(x)=2e x，求微分方程的一个特解函数
10、f(x)（分数：5.00）_正确答案：(此方程是二阶常系数非齐次微分方程，其中 f(x)=2ex属于 ex Pm(x)型 =1，m=0)，则该方程所对应的齐次方程的特征方程为 r2+2r-3=0，解特征根为 r1=-3，r 2=1，所以 =1 是对应齐次方程的特征根，且为单根故设其特解为 f(x)*=b0xex则 f(x)* =b0ex+b0xex，f(x)* =b0ex+b0ex+b0xex=2b0ex+b0xex代入微分方程得 ，于是原微分方程的一个特解 )解析：考点点击 主要考查的知识点为二阶常系数线性非齐次微分方程13.求幂级数*的收敛半径和收敛域（分数：5.00）_正确答案：(* 收
11、敛半径 R=2 * 收敛域为(-2，2)解析：14.已知直线 L1： 和直线 L2： （分数：5.00）_正确答案：(1)直线 L1的方向向量为v1= =-28，14，-7=-74，-2，1令 z=1，则方程组变为解之得 x=2，y=-3所以点(2，-3，1)在直线上故直线 L1的对称式方程为)解析：考点点击 本题考查直线方程的形式和两直线的夹角15.求由方程 2xz-2xyz+ln(xyz)=0 确定的隐函数 z=z(x，y)在(1，1)处的微分（分数：5.00）_正确答案：(令 F(x，y，z)=2xz-2xyz+ln(xyz)，则 * 反 x=1，y=1 代入原方程求得 z=1 *)解析
12、16.设 x2+y2+z2=4z,确定函数 z=z(x，y)，求*（分数：5.00）_正确答案：(两边对 x 求导得* *)解析：17.求曲线积分*，其中 L 是正向椭圆 4x2+y2=8x（分数：5.00）_正确答案：(* *)解析：18.设区域 D 是由曲线 y=x，y=2x-x 2所围成的平面区域，求二重积分*（分数：5.00）_正确答案：(积分区域如图所示 * *)解析：19.设函数 f(x，y，z)=x 2+2y2+2xyz，求 f(x，y，z)在点 p(-1，1，2)处的梯度（分数：5.00）_正确答案：(， ，则 ， ，故 gardf(-1，1，2)=2，0，-2 )解析：考点
13、点击 主要考查的知识点为函数的梯度20.计算*其中 L 为：x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0t2_（分数：5.00）_正确答案：(*)解析：21.计算*，其中 L 是从点(0，1)沿曲线*(x0)到点(1，0)（分数：5.00）_正确答案：(L 的参数方程为* 故*)解析：22.计算对坐标的曲线积分 C(1-3y)dx+(1-2x+y)dy，其中 C 为区域 D：|x|1，|y|1 的正向边界曲线（分数：5.00）_正确答案：(解：由格林公式)解析：四、综合题(总题数：3，分数：15.00)23.将函数 f(x)=ln(1+x)展开成(x-1)的幂级数（分数：5.00）_正确答案：(对原函数求导对上式等式两边积分)解析：考点点击 主要考查的知识点为幂级数的展开式.24.设 f(x)在a，b上连续且恒大于零试利用二重积分证明 *（分数：5.00）_正确答案：(* 其中 D=(x，y)|axb，ayb于是 *)解析：25.设函数 f(x)在0，1上连续，证明*（分数：5.00）_正确答案：(设* 则积分区域 D=(x，y)|0x1，x 2y1交换二次积分的积分顺序有 * 等式成立)解析：
