1、2015年上海市中考真题数学 一、选择题 1.下列实数中，是有理数的为 ( ) A. 2 B.34 C. D.0 解析 ： 2 是无理数， A 不正确； 34 是无理数， B 不正确； 是无理数， C 不正确； 0 是有理数， D 正确 . 答案： D 2.当 a 0 时，下列关于幂的运算正确的是 ( ) A.a0=1 B.a-1=-a C.(-a)2=-a2 D. 12 21a a解析 ： A、 a0=1(a 0)，正确； B、 a-1=1a，故此选项错误； C、 (-a)2=a2，故此选项错误； D、 12aa (a 0)，故此选项错误 . 答案： A 3.下列 y 关于 x 的函数中，是
2、正比例函数的为 ( ) A.y=x2 B.y=2xC.y= 2xD.y= 12x解析 ： A、 y 是 x 的二次函数，故 A 选项错误； B、 y 是 x 的反比例函数，故 B 选项错误； C、 y 是 x 的正比例函数，故 C 选项正确； D、 y 是 x 的一次函数，故 D 选项错误 . 答案： C 4.如果一个正多边形的中心角为 72，那么这个多边形的边数是 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 解析 ： 根据正多边形的中心角和为 360和正多边形的中心角相等，这个多边形的边数是 360 72=5. 答案： B 5.下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是 ( ) A.平均数 B.
3、众数 C.方差 D.频率 解析 ： 根据平均数、众数、中位数反映一组数据的集中趋势，而方差、标准差反映一组数据的离散程度或波动大小进行选择 . 能反映一组数据波动程度的是方差或标准差 . 答案： C 6.如图，已知在 O 中， AB 是弦，半径 OC AB，垂足为点 D，要使四边形 OACB 为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是 ( ) A.AD=BD B.OD=CD C. CAD= CBD D. OCA= OCB 解析 ： 在 O 中， AB 是弦，半径 OC AB， AD=DB， 当 DO=CD，则 AD=BD， DO=CD， AB CO，故四边形 OACB 为菱形 . 答案： B
4、二、填空题 7.计算： |-2|+2= . 解析 ： 先计算 |-2|，再加上 2 即可 .原式 =2+2=4. 答案 ： 4 8.方程 32x =2 的解是 . 解析 ： 32x =2， 3x-2=4， x=2， 当 x=2 时，左边 = 3 2 2 =2，右边 =2， 左边 =右边，方程 32x =2 的解是： x=2. 答案 ： x=2 9.如果分式 23xx有意义，那么 x 的取值范围是 . 解析 ： 由题意得， x+3 0，即 x -3， 答案 ： x -3. 10.如果关于 x 的一元二次方程 x2+4x-m=0 没有实数根，那么 m 的取值范围是 . 解析 ： 一元二次方程 x2
5、+4x-m=0 没有实数根， =16-4(-m) 0， m -4. 答案 ： m -4. 11.同一温度的华氏度数 y( )与摄氏度数 x( )之间的函数关系是 y=95x+32，如果某一温度的摄氏度数是 25，那么它的华氏度数是 . 解析 ： 当 x=25时， y=9525+32 =77. 答案 ： 77 12.如果将抛物线 y=x2+2x-1 向上平移，使它经过点 A(0， 3)，那么所得新抛物线的表达式是 . 解析 ： 设平移后的抛物线解析式为 y=x2+2x-1+b， 把 A(0， 3)代入，得 3=-1+b，解得 b=4，则该函数解析式为 y=x2+2x+3. 答案 ： y=x2+2
6、x+3. 13.某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动，首次活动需要 7 位同学参加，现有包括小杰在内的 50 位同学报名，因此学生会将从这 50 位同学中随机抽取 7 位，小杰被抽到参加首次活动的概率是 . 解析 ： 学生会将从这 50 位同学中随机抽取 7 位，小杰被抽到参加首次活动的概率是：750 . 答案 ： 75014.已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表所示： 那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是 岁 . 解析 ： 从小到大排列此数据，第 27 名成员的年龄是 14 岁， 所以这个小组成员年龄的中位数是 14. 故答案为 14. 15.如图，已知在 ABC 中
7、， D、 E 分别是边 AB、边 AC 的中点， AB m ， AC n ，那么向量 DE 用向量 m ， n 表示为 . 解析 ： AB m ， AC n ， B C A C A B n m ， 在 ABC 中， D、 E 分别是边 AB、边 AC 的中点， 1 1 1 12 2 2 2D E B C n m n m （ ）. 答案 ： 1122nm16.已知 E 是正方形 ABCD 的对角线 AC 上一点， AE=AD，过点 E 作 AC 的垂线，交边 CD 于点 F，那么 FAD= 度 . 解析 ： 如图， 在 Rt AEF 和 Rt ADF 中， AD AEAF AF， Rt AEF
8、Rt ADF， DAF= EAF， 四边形 ABCD 为正方形， CAD=45， FAD=22.5 . 答案 ： 22.5. 17.在矩形 ABCD 中， AB=5， BC=12，点 A 在 B 上，如果 D 与 B 相交，且点 B 在 D 内，那么 D 的半径长可以等于 .(只需写出一个符合要求的数 ) 解析 ： 矩形 ABCD 中， AB=5， BC=12， AC=BD=13， 点 A 在 B 上， B 的半径为 5， 如果 D 与 B 相交， D 的半径 R 满足 8 R 18， 点 B 在 D 内， R 13， 13 R 18， 14 符合要求 (答案不唯一 ). 答案 ： 14 18
9、.已知在 ABC 中， AB=AC=8， BAC=30，将 ABC 绕点 A 旋转，使点 B 落在原 ABC 的点 C 处，此时点 C 落在点 D 处，延长线段 AD，交原 ABC 的边 BC 的延长线于点 E，那么线段 DE 的长等于 . 解析 ： 作 CH AE 于 H，如图， AB=AC=8， B= ACB=12(180 - BAC)=12(180 -30 )=75， ABC 绕点 A 旋转，使点 B 落在原 ABC 的点 C处，此时点 C落在点 D处， AD=AB=8， CAD= BAC=30， ACB= CAD+ E， E=75 -30 =45， 在 Rt ACH 中， CAH=30
10、， CH=12AC=4， AH= 3 CH=4 3 ， DH=AD-AH=8-4 3 ， 在 Rt CEH 中， E=45， EH=CH=4， DE=EH-DH=4-(8-4 3 )=4 3 -4. 答案 ： 4 3 -4. 三、解答题 19.先化简，再求值： 2214 4 2 2x x xx x x x ，其中 x= 2 -1. 解析 ： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 x 的值代入进行计算即可 . 答案 ： 原式 = 222122x x xxxx= 122xx= 12x， 当 x= 2 -1 时，原式 = 12 1 2= 2 -1. 20.解不等式组： 4 2 61193xx
11、x x ，并把解集在数轴上表示出来 . 解析 ： 先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可 . 答案 ： 4 2 61 193xxx x ，解不等式得： x -3，解不等式得： x 2， 不等式组的解集为 -3 x 2， 在数轴上表示不等式组的解集为： 21.已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，正比例函数 y=43x 的图象经过点 A，点 A 的纵坐标为 4，反比例函数 y=mx的图象也经过点 A，第一象限内的点 B 在这个反比例函数的图象上，过点 B 作 BC x 轴，交 y 轴于点 C，且 AC=AB.求： (1)这个反比例函数的解析式； (2)直线
12、AB 的表达式 . 解析 ： (1)根据正比例函数 y=43x 的图象经过点 A，点 A 的纵坐标为 4，求出点 A 的坐标，根据反比例函数 y=mx的图象经过点 A，求出 m 的值； (2)根据点 A 的坐标和等腰三角形的性质求出点 B 的坐标，运用待定系数法求出直线 AB 的表达式 . 答案 ：正比例函数 y=43x 的图象经过点 A，点 A 的纵坐标为 4，点 A 的坐标为 (3， 4)， 反比例函数 y=mx的图象经过点 A， m=12，反比例函数的解析式为： y=12x. (2)如图，连接 AC、 AB，作 AD BC 于 D， AC=AB， AD BC， BC=2CD=6，点 B
13、的坐标为： (6， 2)， 设直线 AB 的表达式为： y=kx+b， 由题意得， 3462kbkb，解得， 236kb ，直线 AB 的表达式为： y=-23x+6. 22.如图， MN 表示一段笔直的高架道路，线段 AB 表示高架道路旁的一排居民楼，已知点 A到 MN 的距离为 15 米， BA 的延长线与 MN 相交于点 D，且 BDN=30，假设汽车在高速道路上行驶时，周围 39 米以内会受到噪音 (XRS)的影响 . (1)过点 A 作 MN 的垂线，垂足为点 H，如果汽车沿着从 M 到 N 的方向在 MN 上行驶，当汽车到达点 P 处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点
14、 H 的距离为多少米？ (2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点 Q 时，它与这一排居民楼的距离 QC 为 39 米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？ (精确到 1 米 )(参考数据： 3 1.7) 解析： (1)连接 PA.在直角 PAH 中利用勾股定理来求 PH 的长度； (2)由题意知，隔音板的长度是 PQ 的长度 .通过解 Rt ADH、 Rt CDQ 分别求得 DH、 DQ 的长度，然后结合图形得到： PQ=PH+DQ-DH，把相关线段的长度代入求值即可 . 答案： (1)如图，连接 PA.由题意知， AP=39m. 在直角 AP
15、H 中， PH= 2 2 2 23 9 1 5A P A H =36(米 ). (2)由题意知，隔音板的长度是 PQ 的长度 . 在 Rt ADH 中， DH=AH cot30 =15 3 (米 ). 在 Rt CDQ 中， DQ= 391sin 302CQ =78(米 ). 则 PQ=PH+HQ=PH+DQ-DH=36+78-15 3 114-15 1.7=88.5 89(米 ). 答：高架道路旁安装的隔音板至少需要 89 米 . 23.已知，如图，平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，点 E 在边 BC 的延长线上，且 OE=OB，连接 DE. (1)求证： DE BE； (2)如果
16、 OE CD，求证： BD CE=CD DE. 解析： (1)由平行四边形的性质得到 BO=12BD，由等量代换推出 OE=12BD，根据平行四边形的判定即可得到结论； (2)根据等角的余角相等，得到 CEO= CDE，推出 BDE CDE，即可得到结论 . 解析： (1)四边形 ABCD 是平行四边形， BO=12BD， OE=OB， OE=12BD， BED=90， DE BE. (2) OE CD， CEO+ DCE= CDE+ DCE=90， CEO= CDE， OB=OE， DBE= CDE， BED= BED， BDE DCE， BD DECD CE， BD CE=CD DE. 2
17、4.已知在平面直角坐标系 xOy中 (如图 )，抛物线 y=ax2-4与 x轴的负半轴 (XRS)相交于点 A，与 y 轴相交于点 B， AB=2 5 ，点 P 在抛物线上，线段 AP 与 y 轴的正半轴交于点 C，线段 BP与 x 轴相交于点 D，设点 P 的横坐标为 m. (1)求这条抛物线的解析式； (2)用含 m 的代数式表示线段 CO 的长； (3)当 tan ODC=32时，求 PAD 的正弦值 . 解析： (1)根据已知条件先求出 OB 的长，再根据勾股定理得出 OA=2，求出点 A 的坐标，再把点 A 的坐标代入 y=ax2-4，求出 a 的值，从而求出解析式； (2)根据点
18、P 的横坐标得出点 P 的坐标，过点 P作 PE x 轴于点 E，得出 OE=m， PE=m2-4，从而求出 AE=2+m，再根据 OC AOPE AE，求出 OC； (3)根据 tan ODC=32，得出 OCOD=32，求出 OD和 OC，再根据 ODB EDP，得出 OD OBED EP，求出 OC，求出 PAD=45，从而求 出 PAD 的正弦值 . 答案： (1)抛物线 y=ax2-4 与 y 轴相交于点 B， 点 B 的坐标是 (0， -4)， OB=4， AB=2 5 ， OA= 22AB OB =2，点 A 的坐标为 (-2， 0)， 把 (-2， 0)代入 y=ax2-4 得
19、： 0=4a-4，解得： a=1， 则抛物线的解析式是： y=x2-4. (2)点 P 的横坐标为 m， 点 P 的坐标为 (m， m2-4)，过点 P 作 PE x 轴于点 E， OE=m， PE=m2-4， AE=2+m， OC AOPE AE，2242OCmm， CO=2m-4. (3) tan ODC=32， OCOD=32， OD=23OC=23 (2m-4)=483m， ODB EDP， OD OBED EP，248438 43mm m ， m1=-1(舍去 )， m2=3， OC=2 3-4=2， OA=2， OA=OC， PAD=45， sin PAD=sin45 = 22.
20、25.已知，如图， AB 是半圆 O 的直径，弦 CD AB，动点 P， Q 分别在线段 OC， CD 上，且 DQ=OP，AP 的延长线与射线 OQ 相交于点 E，与弦 CD 相交于点 F(点 F 与点 C， D 不重合 )， AB=20， cos AOC=45，设 OP=x， CPF 的面积为 y. (1)求证： AP=OQ； (2)求 y 关于 x 的函数关系式，并写出它的定义域； (3)当 OPE 是直角三角形时，求线段 OP 的长 . 解析： (1)连接 OD，证得 AOP ODQ 后即可证得 AP=OQ； (2)作 PH OA，根据 cos AOC=45得到 OH=45PO=45x
21、，从而得到 S AOP=12AO PH=3x，利用PFC PAO 得当对应边的比相等即可得到函数解析式； (3)分当 POE=90时、当 OPE=90时、当 OEP=90时三种情况讨论即可得到正确的结论 . 答案 ： (1)连接 OD， 在 AOP 和 ODQ 中，A O O DA O C C O D QO P D Q ， AOP ODQ， AP=OQ； (2)作 PH OA， cos AOC=45， OH=45PO=45x， S AOP=12AO PH=3x， 又 PFC PAO， 2210A O Py C P xS P O x ，整理得： y= 23 6 0 3 0 0xxx， AP 延长线与 CD 相交于点 F， CF CD=12，易知 CPF OPA， CP CFx AO， x 的定义域为： 5011 x 10. (3)当 POE=90时， CQ= 25c o s 2OCQ C O ， PO=DQ=CD-CQ=72(舍 )； 当 OPE=90时， PO=AOcos COA=8； 当 OEP=90时，如图，由 (1)知 AOP ODQ， APO= OQD， AOQ= OQD= APO， AOQ 90， APO 90 (矛盾 )，此种情况不存在，线段 OP 的长为 8.
