1、北京理工大学信号处理导论真题 2011年及答案解析(总分：130.00，做题时间：90 分钟)一、B/B(总题数：4，分数：30.00)已知信号 x(t)的波形如附图 1所示。（分数：5.01）(1).画出 x1(t)的波形，其中 x1(t)= （分数：1.67）_(2).说明信号微分、积分运算的物理意义；（分数：1.67）_(3).指出 x(t)中高频对应的时间点和低频对应的时间区间。（分数：1.67）_一个线性时不变离散系统的框图如下图所示。（分数：5.00）(1).求系统函数 H(z)；（分数：2.50）_(2).试求系统单位冲激响应的各种可能形式，并给出对应系统的因果、稳定性判定。（分
2、数：2.50）_(1).用时域波形解释无失真传输系统的输入与输出的关系。（分数：3.33）_(2).写出系统群时延的定义式，对于实际存在的无失真传输系统，其群时延一定为正值，请解释原因。（分数：3.33）_(3).利用 DFT对连续信号 x(t)的频谱进行近似分析时，需要对信号 x(t)进行抽样和截断，这将会出现频谱混叠现象、泄露现象和栅栏现象，请解释这些现象产生的原因，在实际中如何减小或改善这些现象。（分数：3.33）_(1).相对于 IIR系统来说，FIR 有哪些重要优点?（分数：3.33）_(2).FIR线性时不变离散时间系统的差分方程为： y(n)=0.1x(n)+0.08x(n-1)
3、+0.2x(n-2)+0.08x(n-3)+0.1x(n-4) 判断系统是否是线性相位，为什么?并求出该系统幅频特性和相频特性。（分数：3.33）_(3).已知一实信号 x(t)，该信号的最高频率 fc=200Hz，用 fs=600Hz的周期冲激串对 x(t)进行采样，如果对采样后的信号作 N=1024点的 DFT，试确定 x(k)中 k=128和 k=768点所分别对应的原连续信号 x(t)的频率点 f1和 f2。（分数：3.33）_二、B/B(总题数：3，分数：20.00)1.周期信号 x(t)的波形如下图所示，求其傅里叶变换 X()。 （分数：7.00）_2.某因果 LTI系统的输入-输
4、出关系由下列方程给出：（分数：7.00）_3.当输入信号 x(t)=Acos( 0t)通过上题所述系统时，求输出 y(t)。（分数：6.00）_三、B/B(总题数：1，分数：20.00)已知离散时间信号 x(n)，其傅里叶变换 X(ej )如附图 1(a)所示，该信号被一个正弦序列调制，如附图 1(b)所示。（分数：20.01）(1).写出 y(n)的傅里叶变换 Y(ej )，并画出其频谱图；（分数：6.67）_(2).附图 1(c)是一个解调系统，其中 ，若 （分数：6.67）_(3).为保证可从 y(n)中恢复出 x(n)， c和 cp应满足什么关系?（分数：6.67）_四、B/B(总题数
5、：1，分数：20.00)某系统框图如附图 1所示，其中 H1(s)有 4个极点 0，-1，-2，-3 及一个多阶零点 s=-4，同时其单位冲激响应 h1(t)在 t=0有一个冲激信号，并且当-t时，x 1(t)=e-5t通过 h1(t)的输出为 y1(t)= e-5t，H 2(s)的状态空间模型为：。（分数：20.00）(1).求 H1(s)；（分数：5.00）_(2).求 H2(s)；（分数：5.00）_(3).判断使系统稳定的 k的取值范围，并说明系统的实际意义；（分数：5.00）_(4).当 k=2时，画出系统直接型模拟框图。（分数：5.00）_五、B/B(总题数：1，分数：20.00)
6、(1).根据按时间抽取的基 2 FFT算法的思想推导出利用 16点 FFT实现 48点 x(n)的 DFT的快速算法，并对具体步骤作简要说明；（分数：10.00）_(2).已知 x(n)的 n点 DFT为：式中，m、N 是正整数， （分数：10.00）_六、B/B(总题数：3，分数：20.00)4.采用双线性变换法设计一个巴特沃斯数字高通滤波器，技术指标为：通带下限频率为 fpHz，阻带上限为fsHz，通带最大衰减为 pdB，阻带最小衰减为 sdB，采样周期为 T，试写出设计的具体步骤。（分数：7.00）_5.写出巴特沃斯滤波器平方幅频特性|H (j)| 2的表达式，说明巴特沃斯滤波器的幅频特
7、性有哪些主要特征。（分数：7.00）_6.设计巴特沃斯滤波器时要确定哪两个参数?已知通带截止频率 p，阻带截止频率 s，通带最大衰减 p，阻带最小衰减 s，说明如何确定这两个参数。（分数：6.00）_北京理工大学信号处理导论真题 2011年答案解析(总分：130.00，做题时间：90 分钟)一、B/B(总题数：4，分数：30.00)已知信号 x(t)的波形如附图 1所示。（分数：5.01）(1).画出 x1(t)的波形，其中 x1(t)= （分数：1.67）_正确答案：(首先对信号进行反转得到 x(-t)，如附图 2(a)所示。再对信号进行 x轴压缩变为原来的一半得到 x(-2t)，如附图 2
8、(b)所示。再将信号向右平移一个单位得到 x(2-2t)，如附图 2(c)所示。x1(t)即为 x(2-2t)的积分，如附图 2(d)所示。*附图 2)解析：(2).说明信号微分、积分运算的物理意义；（分数：1.67）_正确答案：(微分突显了信号的变化部分；积分使信号突变的部分变得平滑。)解析：(3).指出 x(t)中高频对应的时间点和低频对应的时间区间。（分数：1.67）_正确答案：(高频时间点：t=0s，t=1s，t=2s。低频时间区间：01s，12s。)解析：一个线性时不变离散系统的框图如下图所示。（分数：5.00）(1).求系统函数 H(z)；（分数：2.50）_正确答案：(解：根据系
9、统框图，列出系统的差分方程：y(n)=-0.16(n-3)+x(n-2)+x(n-1)可得系统函数：H(z)=*=-0.16z -3+z-2+z-1)解析：(2).试求系统单位冲激响应的各种可能形式，并给出对应系统的因果、稳定性判定。（分数：2.50）_正确答案：(解：* 因为该系统的极点全部在零处，所以该系统为因果稳定系统。)解析：(1).用时域波形解释无失真传输系统的输入与输出的关系。（分数：3.33）_正确答案：(对于无失真传输系统，其输出波形只是输入波形的时延和幅度的改变，而形状并不发生改变。如下图所示。 *)解析：(2).写出系统群时延的定义式，对于实际存在的无失真传输系统，其群时延
10、一定为正值，请解释原因。（分数：3.33）_正确答案：(群时延定义式为*；对于无失真传输系统其，系统函数为 H(ej )=ke-jt 0，其中有 ()=-t 0，则可得*。因此群时延为正值。)解析：(3).利用 DFT对连续信号 x(t)的频谱进行近似分析时，需要对信号 x(t)进行抽样和截断，这将会出现频谱混叠现象、泄露现象和栅栏现象，请解释这些现象产生的原因，在实际中如何减小或改善这些现象。（分数：3.33）_正确答案：(1)混叠现象产生原因：对信号 x(t)进行抽样时，当抽样率过低且小于信号的最高频率的两倍时所造成的。改善措施：提高采样率。 (2)泄露现象产生原因：对信号 x(t)进行截
11、断时，在频率相当于 x(t)的频谱与窗函数的频谱进行卷积时，使得频谱分量从其正常频谱扩展开来。改善措施：通过窗函数加权抑制 DFT的等效滤波器振幅特性的副瓣；或用窗函数加权使有限长度的输入信号周期延拓后在边界上尽量减少不连续程度的方法实现。 (3)栅栏现象产生原因：用 DFT计算频谱只限制为基频的整数倍而不可能将频谱视为一连续函数产生的。改善措施：在原纪录末端添加一些零值点来变动时间周期内的点数，并保持纪录不变，从而在保持原有频谱连续形式不变的情况下，变更了谱线的位置。因此，原来看不到的频谱分量就能移动到可见的位置上。)解析：(1).相对于 IIR系统来说，FIR 有哪些重要优点?（分数：3.
12、33）_正确答案：(相对于 IIR系统来说，FIR 的重要优点：严格的线性相位；极点都在原点处，设计出的系统为稳定系统；FIR 滤波器可采用 FFT算法，运算速度快。)解析：(2).FIR线性时不变离散时间系统的差分方程为： y(n)=0.1x(n)+0.08x(n-1)+0.2x(n-2)+0.08x(n-3)+0.1x(n-4) 判断系统是否是线性相位，为什么?并求出该系统幅频特性和相频特性。（分数：3.33）_正确答案：(线性相位条件要求滤波器的单位采样响应满足：偶对称 h(n)=h(N-1-n)；或者奇对称 h(n)=-h(N-1-n)。对于该题的单位采样响应为：h(n)=0.1(n)
13、+0.08(n-1)+0.2(n-2)+0.08(n-3)+0.1(n-4)h(n)=h(N-1-n)可见，h(n)为偶对称，所以为线性相位。系统幅频特性和相频特性如下：H(ej )=*h(n)e-jn =e-j2 (0.2cos2+0.16cos+0.2)|H(ej )|=0.2+0.16cos+0.2cos2()=-2)解析：(3).已知一实信号 x(t)，该信号的最高频率 fc=200Hz，用 fs=600Hz的周期冲激串对 x(t)进行采样，如果对采样后的信号作 N=1024点的 DFT，试确定 x(k)中 k=128和 k=768点所分别对应的原连续信号 x(t)的频率点 f1和 f
14、2。（分数：3.33）_正确答案：(因为 fs2f c，所以不会发生频谱混叠。F为频谱分辨率*，其中，T p为信号的持续时间。则可得：*)解析：二、B/B(总题数：3，分数：20.00)1.周期信号 x(t)的波形如下图所示，求其傅里叶变换 X()。 （分数：7.00）_正确答案：(解：x(t)为连续的周期信号，其傅里叶展开为：x(t)=*X(k 0)ein 0t则 x(t)的傅里叶变换为：*)解析：2.某因果 LTI系统的输入-输出关系由下列方程给出：（分数：7.00）_正确答案：(解：*)解析：3.当输入信号 x(t)=Acos( 0t)通过上题所述系统时，求输出 y(t)。（分数：6.0
15、0）_正确答案：(解：x(j)=A(+ 0)+(- 0)，*)解析：三、B/B(总题数：1，分数：20.00)已知离散时间信号 x(n)，其傅里叶变换 X(ej )如附图 1(a)所示，该信号被一个正弦序列调制，如附图 1(b)所示。（分数：20.01）(1).写出 y(n)的傅里叶变换 Y(ej )，并画出其频谱图；（分数：6.67）_正确答案：(解：如附图 2所示。y(n)=x(n)cos( cn)Y(ej )=*X(ej(+ c)+X(ej(- c)，X(e j )=*Y(ej )=*附图 2)解析：(2).附图 1(c)是一个解调系统，其中 ，若 （分数：6.67）_正确答案：(G=4
16、)解析：(3).为保证可从 y(n)中恢复出 x(n)， c和 cp应满足什么关系?（分数：6.67）_正确答案：( c+ 0， 0 cp2-2 c- 0， 0 cp2 c- 0)解析：四、B/B(总题数：1，分数：20.00)某系统框图如附图 1所示，其中 H1(s)有 4个极点 0，-1，-2，-3 及一个多阶零点 s=-4，同时其单位冲激响应 h1(t)在 t=0有一个冲激信号，并且当-t时，x 1(t)=e-5t通过 h1(t)的输出为 y1(t)= e-5t，H 2(s)的状态空间模型为：。（分数：20.00）(1).求 H1(s)；（分数：5.00）_正确答案：(解：*因为 x1(
17、t)=e-5t通过 h1(t)的输出为 y1(t)=*e-5t，所以：y 1(t)=H1(-5)x1(t)可得 H1(-5)=*，所以：A=2)解析：(2).求 H2(s)；（分数：5.00）_正确答案：(解：差分方程：y“(t)+8y(t)+16y(t)=3f(t)+f(t)，*)解析：(3).判断使系统稳定的 k的取值范围，并说明系统的实际意义；（分数：5.00）_正确答案：(系统稳定性判断。系统稳定：因为 H(j)存在，收敛域包含虚轴或单位圆。系统因果：因为收敛域在最右极点以右，或最外极点所决定的单位圆外。如附图 2所示，设中间变量为 X(s)。*附图 2*应用劳斯-霍尔维兹准则，得 k
18、0 时，系统稳定。)解析：(4).当 k=2时，画出系统直接型模拟框图。（分数：5.00）_正确答案：(解：当 k=2时，有：*系统直接型模拟框图如附图 3所示。*附图 3)解析：五、B/B(总题数：1，分数：20.00)(1).根据按时间抽取的基 2 FFT算法的思想推导出利用 16点 FFT实现 48点 x(n)的 DFT的快速算法，并对具体步骤作简要说明；（分数：10.00）_正确答案：(解：将 48点 x(n)分为三个 16点序列，即：x1(r)=x(3r)，x 2(r)=x(3r+1)，x 3(r)=x(3r+2)其中，r=0，1，*。对 x1(r)、x 2(r)、x 3(r)作 1
19、6点 FFT，得 X1(K)、X 2(K)、X 3(k)。*)解析：(2).已知 x(n)的 n点 DFT为：式中，m、N 是正整数， （分数：10.00）_正确答案：(解：x e(n)=*x(n)+x*(N-n)，x D(n)=*x(n)-x*(N-n)DFTxe(n)=*X(k)+X*(k)=ReX(k)DFTxD(n)=*X(k)-X*(k)=jImX(k)Xe(k)=*X(k)+X*(N-k)=*XD(k)=*X(k)-X*(N-k)=Xe(k)=*)解析：六、B/B(总题数：3，分数：20.00)4.采用双线性变换法设计一个巴特沃斯数字高通滤波器，技术指标为：通带下限频率为 fpHz
20、，阻带上限为fsHz，通带最大衰减为 pdB，阻带最小衰减为 sdB，采样周期为 T，试写出设计的具体步骤。（分数：7.00）_正确答案：(解：(1)数字指标转化为模拟指标。*(2)确定滤波器系数：*(3)s平面左半平面巴特沃斯圆上的极点为：*，k=1，2，N(4)根据 zk=eskT，将 s平面的极点映射到 z平面。s平面到 z平面的映射：*(5)*)解析：5.写出巴特沃斯滤波器平方幅频特性|H (j)| 2的表达式，说明巴特沃斯滤波器的幅频特性有哪些主要特征。（分数：7.00）_正确答案：(解：*。在通带内有最大平坦度的振幅特性。随 N的增大，滤波器特性曲线变得更陡峭。)解析：6.设计巴特沃斯滤波器时要确定哪两个参数?已知通带截止频率 p，阻带截止频率 s，通带最大衰减 p，阻带最小衰减 s，说明如何确定这两个参数。（分数：6.00）_正确答案：(解：阶数 N，极点 sk。*)解析：
