1、工程硕士(GCT)数学-167 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：25，分数：100.00)1. _ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.2.如果一个三角形的三边之比为 2:2:3，那么这个三角形_（分数：4.00）A.一定有一个角是直角B.一定有一个角是钝角C.所有的角都是锐角D.三个角的大小不能确定3.长度是 800m 的队伍的行军速度为 100m/min，在队尾的某人以 3 倍于行军的速度赶到排头，并立即返回队尾所用的时间是_min A2 B （分数：4.00）A.B.C.D.4.一水池有两个进水管 A，B，一个出水管 C若单开 A
2、 管，12h 可灌满水池，单开 B 管，9h 可灌满水池，单开 C 管，满池的水 8h 可放完现 A，B，C 三管齐开，则水池灌满水需要_（分数：4.00）A.13h24minB.13h48minC.14h24minD.14h48min5.若实数 a，b 满足 （分数：4.00）A.-15B.-3C.3D.56.某班共有 41 名学生，其中有 2 名同学习惯用左手写字，其余同学都习惯用右手写字老师随机请 2 名同学解答问题，习惯用左手写字和习惯用右手写字的同学各有 1 人被选中的概率是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.已知 f(x)是定义在(-，+)上的奇函数，且 y=
3、f(x)的图像关于直线 （分数：4.00）A.0B.1C.3D.58.已知 x0，y0，且 2x+3y=6，则 _ A有最大值 1 B有最小值 1 C有最大值 （分数：4.00）A.B.C.D.9.设 是方程 x 9 -1=0 的一个根，则 + 2 + 3 + 8 =_（分数：4.00）A.8B.0 或 8C.-1D.-1 或 810.已知等差数列a n 满足 a 1 +a 2 +a 101 =0，则有_（分数：4.00）A.a1+a1010B.a2+a1000C.a3+a99=0D.a51=5111.若过点 P(0，1)的直线 l 与双曲线 x 2 -y 2 =1 有且仅有一个公共点，则直线
4、 l 斜率所取值的集合为_ A-1，1 B C D （分数：4.00）A.B.C.D.12.已知 则 tan2x=_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.13.过直线 上的点作圆 x 2 +y 2 =1 的切线，此点与切点间长度的最小值是 1 A B C2 D （分数：4.00）A.B.C.D.14.如下图所示，对于抛物线 C：y 2 =8x，其焦点为 F，准线为 l，已知 P 为 l 上一点，Q 为直线 PF 与 C的一个交点若 则|QF|=_ A B （分数：4.00）A.B.C.D.15.一个四面体的体积为 V，若过四面体交于每个顶点的三条棱的中点作截面，沿所作的四个截面切
5、下该四面体的 4 个“角”(4 个小四面体)，则余下部分的体积为_ (图所示为一个“角”的情形) A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.16._ （分数：4.00）A.0B.1C.2D.不存在17.设常数 k0，方程 （分数：4.00）A.0B.1C.2D.318.下图中给出了 f“(x)的图形，设有以下结论： （分数：4.00）A.，B.，C.，D.，19.当|y|1 时， （分数：4.00）A.B.C.D.20.设 g(x)为连续函数，且满足 则 （分数：4.00）A.0B.0C.=0D.无法确定21.设 f(x)是连续函数，且严格单调递减，0， 则_ （分数：4.00）A.I
6、1I2B.I1I2C.I1=I2D.I1 与 I2 的关系不确定22.设 A 是三阶矩阵，且 则|(2A) -1 +A*|=_ A B2 C5 D （分数：4.00）A.B.C.D.23.设 n 阶矩阵 （分数：4.00）A.1=0(n-1 重)，2=nB.1=0(n-1 重)，2=n-1C.1=0(n-1 重)，2=1D.1=0，2=1(n-1 重)24.向量组 1 =(1，1，2) T ， 2 =(3，t，1) T ， 3 =(0，2，-t) T 线性无关的充分必要条件是_（分数：4.00）A.t=5 或 t=-2B.t5 且 t-2C.t-5 或 t-2D.A，B，C 均不正确25.A
7、是 mn 矩阵，r(A)=r，B 是 m 阶可逆方阵，C 是 m 阶不可逆方阵，且 r(C)r，则_（分数：4.00）A.BAx=0 的基础解系由 n-m 个向量组成B.BAx=0 的基础解系由 n-r 个向量组成C.CAx=0 的基础解系由 n-m 个向量组成D.CAx=0 的基础解系由 n-r 个向量组成工程硕士(GCT)数学-167 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：25，分数：100.00)1. _ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 2.如果一个三角形的三边之比为 2:2:3，那么这个三角形_（分数：4.00）A.一
8、定有一个角是直角B.一定有一个角是钝角 C.所有的角都是锐角D.三个角的大小不能确定解析：解析 设三角形的三边长分别为 2a，2a，3a(a0)因为(2a) 2 +(2a) 2 =8a 2 (3a) 2 ，所以长为 3a 的边所对的角是钝角 故选 B3.长度是 800m 的队伍的行军速度为 100m/min，在队尾的某人以 3 倍于行军的速度赶到排头，并立即返回队尾所用的时间是_min A2 B （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 如下图所示，设某人赶到排头所用的时间为 t 1 ，则有 300t 1 =800+100t 1 ，t 1 =4(min) 再设某人从排头返回队尾所用的时间
9、为 t 2 ，则有 100t 2 +300t 2 =800，t 2 =2(min) 因此总共用了 6min 故选 D 4.一水池有两个进水管 A，B，一个出水管 C若单开 A 管，12h 可灌满水池，单开 B 管，9h 可灌满水池，单开 C 管，满池的水 8h 可放完现 A，B，C 三管齐开，则水池灌满水需要_（分数：4.00）A.13h24minB.13h48minC.14h24min D.14h48min解析：解析 由题意，A 管每小时灌入满池水量的 B 管每小时灌入满池水量的 C 管每小时放出满池水量的 三管齐开，则每小时灌入满池水量的 因此水池满水需要 5.若实数 a，b 满足 （分数
10、：4.00）A.-15B.-3 C.3D.5解析：解析 因为 6.某班共有 41 名学生，其中有 2 名同学习惯用左手写字，其余同学都习惯用右手写字老师随机请 2 名同学解答问题，习惯用左手写字和习惯用右手写字的同学各有 1 人被选中的概率是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 从 41 名学生中随机叫出 2 人的不同方式共有 习惯用左手写字和习惯用右手写字的同学各有 1 人被选中的方式共有 所以要求的概率为 7.已知 f(x)是定义在(-，+)上的奇函数，且 y=f(x)的图像关于直线 （分数：4.00）A.0 B.1C.3D.5解析：解析 f(x)是奇函数，所
11、以 f(0)=0图像关于 对称，得 f(1)=f(0)=0f(x)是奇函数，所以 f(-1)=0图像关于 8.已知 x0，y0，且 2x+3y=6，则 _ A有最大值 1 B有最小值 1 C有最大值 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 2x+3y=6， 因 x0，y0 函数 是增函数 的定义域是 0y2，当 y=1 时，y(2-y)取得最大值 1，以 y=1 代入， 9.设 是方程 x 9 -1=0 的一个根，则 + 2 + 3 + 8 =_（分数：4.00）A.8B.0 或 8C.-1D.-1 或 8 解析：解析 满足方程 x 9 -1=0，则 9 -1=0， (-1)(1+ 2
12、 + 8 )=0 若 =1，则 + 2 + 8 =8 若 1，则 1+ 2 + 8 =0，所以 + 2 + 8 =-1 故选 D10.已知等差数列a n 满足 a 1 +a 2 +a 101 =0，则有_（分数：4.00）A.a1+a1010B.a2+a1000C.a3+a99=0 D.a51=51解析：解析 从已知条件，有 11.若过点 P(0，1)的直线 l 与双曲线 x 2 -y 2 =1 有且仅有一个公共点，则直线 l 斜率所取值的集合为_ A-1，1 B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 直线 l 与双曲线有一个交点，交点坐标满足 将 y 代入第二个方程，得到
13、x 满足的方程 (1-k 2 )x 2 -2kx-2=0 (*) 当 1-k 2 =0，即 k=1 时，方程(*)是一次方程，有唯一的解 当 1-k 2 0 时(*)为二次方程，其判别式 =4k 2 +8(1-k 2 )=8-4k 2 当且只当 时，=0，此时方程(*)有唯一的实根所有斜率 k 可取的值为 12.已知 则 tan2x=_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因 所以 13.过直线 上的点作圆 x 2 +y 2 =1 的切线，此点与切点间长度的最小值是 1 A B C2 D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 过直线上一点(x 0 ，y 0
14、 )作圆的切线，由勾股定理可知，此点与切点间线段的长度为 由直线方程 所以 当 时，所求线段的长最短，其值为 14.如下图所示，对于抛物线 C：y 2 =8x，其焦点为 F，准线为 l，已知 P 为 l 上一点，Q 为直线 PF 与 C的一个交点若 则|QF|=_ A B （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由题设可得 F(0，2)，l:x=-2如下图所示，设 l 与 x 轴交于点 S，过 Q 作 l 的垂线，垂足为 R由条件 有 PQR 与PFS 相似，故 而|FS|=4，所以|QR|=3，由抛物线性质知|QF|=|QR|=3 故选 C 15.一个四面体的体积为 V，若过四面体交
15、于每个顶点的三条棱的中点作截面，沿所作的四个截面切下该四面体的 4 个“角”(4 个小四面体)，则余下部分的体积为_ (图所示为一个“角”的情形) A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 如下图所示切下一个“角”，切下的小四面体各棱长和高均为对应的大四面体各棱长和高的 所以小四面体的体积为大四面体体积的 余下部分的体积为 故选 C 16._ （分数：4.00）A.0B.1 C.2D.不存在解析：解析 17.设常数 k0，方程 （分数：4.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析 设 x(0，+)，则 令 f“(x)=0，得 x=e当 0xe 时，f“(x)0，因此 f
16、(x)在(0，e上单调增加；当 ex+时，f“(x)0，因此 f(x)在(e，+)上单调减少，从而 x=e 是 f(x)的唯一极大值点，因此它是最大值点，最大值f(e)=k0 又 由 18.下图中给出了 f“(x)的图形，设有以下结论： （分数：4.00）A.，B.，C.，D.， 解析：解析 如下图所示，在区间(2，4)(6，9)上，f“(x)的图形在 x 轴上方，所以 f“(x)0因此y=f(x)在(2，4)(6，9)上单调增加又 f“(x)在 x=1，x=3，x=5，x=7 两侧单调性发生了变化，所以，上述四个点均为曲线 y=f(x)拐点的横坐标 故选 D 19.当|y|1 时， （分数：
17、4.00）A.B. C.D.解析：解析 故 20.设 g(x)为连续函数，且满足 则 （分数：4.00）A.0B.0C.=0 D.无法确定解析：解析 1 又在 中令 u=-t，则有 从而有 故选 C 解析 2 注意到点 与点 关于点 对称取 a=-，b=，g(x)=sinx，则 因此有 从而有 21.设 f(x)是连续函数，且严格单调递减，0， 则_ （分数：4.00）A.I1I2 B.I1I2C.I1=I2D.I1 与 I2 的关系不确定解析：解析 由积分中值定理 22.设 A 是三阶矩阵，且 则|(2A) -1 +A*|=_ A B2 C5 D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解
18、析 23.设 n 阶矩阵 （分数：4.00）A.1=0(n-1 重)，2=n B.1=0(n-1 重)，2=n-1C.1=0(n-1 重)，2=1D.1=0，2=1(n-1 重)解析：解析 对于矩阵 A，由 24.向量组 1 =(1，1，2) T ， 2 =(3，t，1) T ， 3 =(0，2，-t) T 线性无关的充分必要条件是_（分数：4.00）A.t=5 或 t=-2B.t5 且 t-2 C.t-5 或 t-2D.A，B，C 均不正确解析：解析 本题中向量的个数与维数相等，它们线性无关的充要条件是它们组成的行列式| 1 2 3 |0，而 所以，| 1 2 3 |0 25.A 是 mn
19、矩阵，r(A)=r，B 是 m 阶可逆方阵，C 是 m 阶不可逆方阵，且 r(C)r，则_（分数：4.00）A.BAx=0 的基础解系由 n-m 个向量组成B.BAx=0 的基础解系由 n-r 个向量组成 C.CAx=0 的基础解系由 n-m 个向量组成D.CAx=0 的基础解系由 n-r 个向量组成解析：解析 Ax=0 的基础解系含有 n-r 个解向量，又因矩阵 B 为可逆方阵，所以 BAx=0 与 Ax=0 是同解线性方程组，因而，应选 B，而不选 A r(CA)minr(A)，r(C)r， 因而 CAx=0 的基础解系所含解向量个数大于 n-r 由于矩阵 C 是一个不可逆矩阵，且 r(C)r，矩阵 A 是 mn 矩阵，r(A)=r，所以 r(C)m，r(CA)minr(A)，r(C)m，因而 CAx=0 的基础解系中所含解向量个数大于 n-m，所以 C 和 D 都不正确 故选 B
