1、工程硕士(GCT)数学-19 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：25，分数：100.00)1.一件工作，甲单独做 12h 可以完成，现在甲、乙合做 2h 舌，甲因事外出，剩下的工作乙又用了 5.5h 做完，如果这件工作全部由乙做，则需要( )h。A11 B10 C9 D8（分数：4.00）A.B.C.D.2.二元一次方程组 的解是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.3.一元二次方程 x2+bx+c2=0 有两个相等的实根，则( )。Ab=2c Bb=-2c Cb=2|c| D|b|=2|c|（分数：4.00）A.B.C.D.4.甲、乙两人同时从
2、寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )。A甲先到教室 B乙先到教室C两人同时到教室 D谁先到教室不确定（分数：4.00）A.B.C.D.5.铜片绕在盘上，空盘时，盘心半径 40mm，满盘半径 80mm，已知铜片的厚度是 0.1mm，求满盘时，一盘铜片共长( )。A151m B200m C168m D90m（分数：4.00）A.B.C.D.6.某厂的产品中有 4%的废品，在 100 件合格品中有 75 件为一等品，在该厂中任取一件产品是一等品的概率是( )。A0.56 B0.72 C0.45 D0.83（分数：4.00）
3、A.B.C.D.7.已知复数 z 满足 ，则|1+z|=( )。A0 B1 C （分数：4.00）A.B.C.D.8. 化简后等于( )。A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.9.设坐标原点为 O，抛物线 y2=2x 与过焦点的直线交于 A，B 两点，则 （分数：4.00）A.B.C.D.10.如右图所示，己知 ABCD，AEDC，AE=12，BD=15，AC=20，则梯形 ABCD 的面积是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.11.球面上有 3 个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 ，经过这 3 个点的小圆的周长为4，那么球的半径为( )。A B C2 D （分数：
4、4.00）A.B.C.D.12.设 a、6、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题(1)(ab)c-(ca)b=0(2)|a|-|b|a-b|(3)(bc)a-(ca)b 不与 c 垂直(4)(3a+2b)(3a-2b)=9|a|2-4|b|2中，是真命题的有( )。A(1)、(2) B(2)、(3)。 C(3)、(4)D(2)、(4)（分数：4.00）A.B.C.D.13.设 r0，在圆 x2+y2=r2属第一象限部分的任意点作圆的切线，切线被两坐标轴截下的线段长度的最小值是( )。Ar B C （分数：4.00）A.B.C.D.14.抛物线 y2=4x 的经过焦点的弦的中点的轨
5、迹方程是( )。Ay 2=x-1 By 2=2(x-1) Cy 2=x-2 Dy 2=2x-1（分数：4.00）A.B.C.D.15.下列函数在 X 的给定趋向下，极限存在的有( )。A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.16.如右图所示，设 ，则函数 f(x)( )。（分数：4.00）A.B.C.D.17.设 （分数：4.00）A.B.C.D.18.在区间0，+内，方程 （分数：4.00）A.B.C.D.19.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.20.设 f 由一阶连续导数， ，则 I=( )。A0 B1 C （分数：4.00）A.B.C.D.21.设 （分数：4.00）A.B
6、.C.D.22.设 A、B 为 n 阶方阵，则下列结论成立的是( )。（分数：4.00）A.B.C.D.23.己知 ，矩阵 x 满足 A*x=A-1+2x，其中 A*是 x 的伴随矩阵，A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.24.已知 ，则(A *)-1( )。A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.25.设 （分数：4.00）A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学-19 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：25，分数：100.00)1.一件工作，甲单独做 12h 可以完成，现在甲、乙合做 2h 舌，甲因事外出，剩下的工作乙又用了 5
7、.5h 做完，如果这件工作全部由乙做，则需要( )h。A11 B10 C9 D8（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为甲用 12h 可以将全部工作做完，所以甲 2h 做完了全部工作的 ，由此可知，乙用7.5h 做完了全部工作的 ，故乙做完全部工作需要2.二元一次方程组 的解是( )。（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 本题有两种解法：一种是解方程组，求出其解；另一种是将被选答案代入方程组，逐个验证。3.一元二次方程 x2+bx+c2=0 有两个相等的实根，则( )。Ab=2c Bb=-2c Cb=2|c| D|b|=2|c|（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解
8、析 判别式 b2-4c2=0，即 b2=4c2，两边开方应有|b|=2|c|。故 D 为正确答案。4.甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )。A甲先到教室 B乙先到教室C两人同时到教室 D谁先到教室不确定（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 设甲用时间 T，乙用时间 2t，步速为 a，跑步速度为 b，距离为 s，则5.铜片绕在盘上，空盘时，盘心半径 40mm，满盘半径 80mm，已知铜片的厚度是 0.1mm，求满盘时，一盘铜片共长( )。A151m B200m C168m D90m（分数：4.
9、00）A. B.C.D.解析：解析 铜片一共绕的圈数每一圈近似一个圆，其半径组成一个公差为 0.1mm 的等差数列，所以由里到外每一圈的长度组成一个首项a1=2(40+0.1)mm=80.2mm，公差为 d=(80.2-80)mm=0.27mm 的等差数列，共 400 项，其和为6.某厂的产品中有 4%的废品，在 100 件合格品中有 75 件为一等品，在该厂中任取一件产品是一等品的概率是( )。A0.56 B0.72 C0.45 D0.83（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 A=任取一件产品是合格品，B=任取一件产品是一等品，显然，B A，P(A)=1-P(7.已知复数 z 满足
10、 ，则|1+z|=( )。A0 B1 C （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由原式，1-z=i+iz，得 ，故 ，所以8. 化简后等于( )。A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 9.设坐标原点为 O，抛物线 y2=2x 与过焦点的直线交于 A，B 两点，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 解法一：由抛物线方程可知抛物线的焦点为 F( ，0)，取直线 ABx 轴，则有 A(，1)和 B( ，-1)，因此， ，从而排除 A、C、D 得正确答案为 B。解法二：依题设可知抛物线的焦点为 ，且直线 AB 的方程可写为 ，常数 mR，设 A(x1，
11、y 1)，B(x2，y 2)，则 y1，y 2是二次方程 y2-2my-1=0 的两个根。所以 y1y2=-1，y 1+y2=2m，从而 ，因为 ，所以10.如右图所示，己知 ABCD，AEDC，AE=12，BD=15，AC=20，则梯形 ABCD 的面积是( )。（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 过 B 作 BFCD，垂足为 F。因为 ABCD，所以 BF=AE=12，且 EF=AB。在AEC 中，在ABDF 中，固有 AB+CD=EF+CD=DF+CE=25故 C 为正确答案。11.球面上有 3 个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 ，经过这 3 个点的小圆的周长为4
12、，那么球的半径为( )。A B C2 D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 设球半径为 R，小圆半径为 r，则 2r=4，r=2。设三点为 A，B，C，球心为 O，则根据球面距离意义可知 。因此ABC 为正三角形且边长为 R，又因r 为ABC 外接圆的半径，可得12.设 a、6、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题(1)(ab)c-(ca)b=0(2)|a|-|b|a-b|(3)(bc)a-(ca)b 不与 c 垂直(4)(3a+2b)(3a-2b)=9|a|2-4|b|2中，是真命题的有( )。A(1)、(2) B(2)、(3)。 C(3)、(4)D(2)、(4)
13、（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 (1)中左边是 c-b 的形式，因为 c 和 b 不共线，不会是零向量。(2)中 a，b 不共线，|a|，|b|，|a-b|可组成三角形的 3 条边，不等式成立。(3)中式子与向量 c 做数量积为零，它们是相互垂直的向量。(4)中由向量数量积运算，知其成立，故 D 为正确正确答案。13.设 r0，在圆 x2+y2=r2属第一象限部分的任意点作圆的切线，切线被两坐标轴截下的线段长度的最小值是( )。Ar B C （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 如右图所示，设圆上任意点 P(x0，y 0)。其中 x00，y 00。过 P 切线与 OP
14、 垂直，切线斜率 。切线方程为 ，即 x0x+yy0=r2。刨线与 x 轴和 y 轴分别交于点 和 ，用平均值不等式，有 。等号当且仅当 X0=y0时成立，此时故 D 为正确答案。也可利用圆的参数方程 ，有|AB|=|AP|+|PB|= 。当 时，|AB|最小，最小值为 2r。14.抛物线 y2=4x 的经过焦点的弦的中点的轨迹方程是( )。Ay 2=x-1 By 2=2(x-1) Cy 2=x-2 Dy 2=2x-1（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 抛物线 y2=4x 的焦点为(1，0)，设直线方程为 x=ky+1，代入 y2=4x 消去 X 得 y2-4ky-4=0，设交点为
15、(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则有 y1+y2=4k，x 1+x2=k(y1+y2)+2=4k2+2。设中点为(x，y)，则有15.下列函数在 X 的给定趋向下，极限存在的有( )。A BC D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 在 A 中，当 x0 时， ；在 B 中，当 时，是正无穷大量；在 D 中， ，左右极限不等；C 中16.如右图所示，设 ，则函数 f(x)( )。（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 17.设 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 f(x)在不是分段点处为初等函数，是连续的，因此只讨论 f(x)在分段点 x=1 处的情形。
16、要使 f(x)在 x=1 处连续，必须使即18.在区间0，+内，方程 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 设 ，当 x1 时，f(x)0，所以只需讨论在0，1上的情形。f(0)=-10，f(1)=1+sin10，f(x)在0，1上连续，由零点存在定理，f(x)=0 在(0，1)内至少有一个实根。又当 x(0，1)时， ，这说明 f(x)在(0，1)内是单调增加的，因此 f(x)=0 在(0，1)内只有唯一的一个实根，从而19.曲线 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 所以 是曲线的水平渐近线，又20.设 f 由一阶连续导数， ，则 I=( )。A0 B1 C （分数：4
17、.00）A. B.C.D.解析：解析 21.设 （分数：4.00）A. B.C. D. 解析：22.设 A、B 为 n 阶方阵，则下列结论成立的是( )。（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 A 必要而非充分，例如 。B 充分而非必要， ，反之不成立，如 ，有|A|=0，但 A0。D 必要而非充分， ，反之不成立，如23.己知 ，矩阵 x 满足 A*x=A-1+2x，其中 A*是 x 的伴随矩阵，A BC D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 若先由 A 来求 A*、A -1，再代入求解 x，工作量大且有重复，对此类矩阵方程以先恒等变形，化简后再求解为好。由 AA*=|A|E，用矩阵 A 左乘方程的两端，有|A|x=E+2Ax移项得(|A|E-2A)x=E据可逆定义，知 X=(|A|E-2A)-1由于24.已知 ，则(A *)-1( )。A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 故|A|=(-1) n-1n!0，A -1存在25.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 A 有三个线性无关的特征向量，说明存在可逆矩阵 P，使得
