1、工程硕士(GCT)数学-22 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)1. （分数：4.00）A.B.C.D.2.一个容器中盛有纯酒精 10升，第一次倒出若干升后，用水加满，第二次倒出同样的升数，再用水加满，这时容器中酒精的浓度是 36%，则每次倒出的溶液为( )A4 升 B5 升 C7 升 D8 升（分数：4.00）A.B.C.D.3.某产品由甲、乙两种原料混合而成，甲、乙两种原料所占比例分别为 x和 y。当甲的价格在 60元的基础上上涨 10%，乙的价格在 40元的基础上下降 10%时，该产品的成本保持不变，那么 x和 y的值分别为( )A50%，50% B40%，60% C
2、60%，40% D45%，55%（分数：4.00）A.B.C.D.4.已知如图所示，在梯形 ABCD中，ADBC，B=45，C=120 簇，AB=8则 CD长为( )（分数：4.00）A.B.C.D.5.在等差数列 an中，a 3=2，a 11=6，数列 bn是等比数列；若 b2=a3， ，则满足 （分数：4.00）A.B.C.D.6.已知复数 z满足 ，则|1+z|=( )A0 B1 C （分数：4.00）A.B.C.D.7.把正方形 ABCD沿对角线 AC折起，当以 A、B、C、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线 BD和平面ABC所成的角的大小为( )A90 B60 C45 D30（分
3、数：4.00）A.B.C.D.8. （分数：4.00）A.B.C.D.9.已知向量 a=( ，3)，b=(-1，2)，若 ma+b与 a-2b平行，则实数 m等于( )（分数：4.00）A.B.C.D.10.3名医生和 6名护士被分配到 3所学校为学生体检，每校分配 1名医生和 2名护士，不同的分配方法共有( )种A90 B180 C270 D540（分数：4.00）A.B.C.D.11.抽签面试时，从 8个考题中任取 1个题解答，如果 8个题中有 2个难题、6 个容易题，第 3名考生抽到难题的概率 p=( )（分数：4.00）A.B.C.D.12.若曲线 y=ax2与曲线 相切，则 a=(
4、)（分数：4.00）A.B.C.D.13.平面直角坐标系中向量的集合：A=a|a=(2，-1)+t(1，-1)，tR，B=b|b=(-1，2)+t(1，2)，tR，则AB=( )A(2，-1) B(-1，2)C(2，-1)，(-1，2) D（分数：4.00）A.B.C.D.14.设 r0在圆 x2+y2=r2属第一象限部分的任意点作圆的切线，切线被两坐标轴截下的线段长度的最小值是( )（分数：4.00）A.B.C.D.15.已知一个圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱的底面半径也相等，则圆柱的全面积和圆锥的全面积之比等于( )（分数：4.00）A.B.C.D.16.设 f(x)的
5、定义域是-1，0，则 的定义域是( )（分数：4.00）A.B.C.D.17.设 f(x)的导数为 lnx，则 f(x)的一个原函数是( )（分数：4.00）A.B.C.D.18.设 ，则( )AI0 BI=0 CI=D （分数：4.00）A.B.C.D.19.设 （分数：4.00）A.B.C.D.20. （分数：4.00）A.B.C.D.21.在(0，+)内 F(x)0，若 （分数：4.00）A.B.C.D.22.行列式 （分数：4.00）A.B.C.D.23.设 1、 2、 3线性无关，则( )也线性无关A 1+ 2、 2+ 3、 3- 1B 1+ 2、 2+ 3、 1+2 2+ 3C 1
6、+22、 22 2+3 3、3 3+ 1D 1+ 2+ 3、2 1-3 2+22 3、3 1+5 2-5 3（分数：4.00）A.B.C.D.24.设 A为 n阶方阵，r(A)=n-3，且 1、 2、 3是 AX=0的 3个线性无关的解向量，则 AX=0的基础解系为( )A 1+ 2、 2+ 3、 3+ 1 B 2- 1、 3- 2、 1- 3C （分数：4.00）A.B.C.D.25.已知矩阵 ，且 （分数：4.00）A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学-22 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)1. （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由于 ，所以2.一个容器
7、中盛有纯酒精 10升，第一次倒出若干升后，用水加满，第二次倒出同样的升数，再用水加满，这时容器中酒精的浓度是 36%，则每次倒出的溶液为( )A4 升 B5 升 C7 升 D8 升（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 设每次倒出 x升溶液第一次倒出 x升后，容器内有纯酒精(10-x)升，再加入 x升水后，容器内酒精溶液的浓度是 第二次倒出 x升后，容器内所剩(10-x)升酒精溶液中纯酒精为 则有3.某产品由甲、乙两种原料混合而成，甲、乙两种原料所占比例分别为 x和 y。当甲的价格在 60元的基础上上涨 10%，乙的价格在 40元的基础上下降 10%时，该产品的成本保持不变，那么 x和
8、 y的值分别为( )A50%，50% B40%，60% C60%，40% D45%，55%（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 每生产一单位的产品，需要甲原料和乙原料分别是 x和 y，其成本为 60x+40y当甲、乙原料的价格改变后，其成本为 66x+36y；所以 60x+40y=66x+36y，从而得 x:y=2:3，故 x=40%，y=60%故选 B4.已知如图所示，在梯形 ABCD中，ADBC，B=45，C=120 簇，AB=8则 CD长为( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 分别过点 A、D 作 AEBC，DFBC 与 BC及其延长线交于点 E、F在 RtAB
9、E 中，AB=8，B=45 AE=ABsinB= 因为 ADBC AE=DF，DF= ，DFC=90 CDsinDCF=DF又因为DCF=180-DCB=180-120=605.在等差数列 an中，a 3=2，a 11=6，数列 bn是等比数列；若 b2=a3， ，则满足 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 设等差数列a n的首项为 a1，公差为 d，由设等比数列b n的首项为 b1，公比为 q由又 ，所以 即有 n-146.已知复数 z满足 ，则|1+z|=( )A0 B1 C （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由原式，1-z=i+iz，得故 ，所以7.把正方形 A
10、BCD沿对角线 AC折起，当以 A、B、C、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线 BD和平面ABC所成的角的大小为( )A90 B60 C45 D30（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 当作为侧面的三角形 ADC垂直于作为底面的三角形 ABC时，三棱锥的高最大，此时三棱锥的体积也最大过 D点作 DOAC，连接DBO 即为直线 BD和平面 ABC所成的角因为8. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 令 6-2r=0，得 r=3故9.已知向量 a=( ，3)，b=(-1，2)，若 ma+b与 a-2b平行，则实数 m等于( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析
11、 因为向量 a=( ，3)，b=(-1，2)，所以向量 ma+b=( -1，3m+2)，a-2b=( +2，-1)又因为 ma+b与 a-2b平行，所以有 解得10.3名医生和 6名护士被分配到 3所学校为学生体检，每校分配 1名医生和 2名护士，不同的分配方法共有( )种A90 B180 C270 D540（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 让 3所学校依次挑选，先由学校甲挑选，有 种，再由学校乙挑选，有 种，余下的学校丙只有一种，于是不同的方法共有11.抽签面试时，从 8个考题中任取 1个题解答，如果 8个题中有 2个难题、6 个容易题，第 3名考生抽到难题的概率 p=( )（
12、分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 A i=“第 i名考生抽到的难题”，i=1，2，3而 是一个完全事件组，且应用全概率公式：12.若曲线 y=ax2与曲线 相切，则 a=( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 设切点坐标为 ，此点在两条曲线上，故有 又两曲线的切线斜率相等，有 联立解得13.平面直角坐标系中向量的集合：A=a|a=(2，-1)+t(1，-1)，tR，B=b|b=(-1，2)+t(1，2)，tR，则AB=( )A(2，-1) B(-1，2)C(2，-1)，(-1，2) D（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 令平面向量 ，a 的坐标即点 A的坐
13、标，向量的集合与端点 A的集合一一对应，题中的集合 A对应于直线即直线 l1：x+y-1=0集合 B对应于直线14.设 r0在圆 x2+y2=r2属第一象限部分的任意点作圆的切线，切线被两坐标轴截下的线段长度的最小值是( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 如右图所示，设圆上任意点 P0(x0，y 0)，其中 x00，y 00过 P0的切线与 OP0垂直，切线斜率切线方程为即 x0x+y0y=r2切线与 x轴和 y轴分别交于点利用平均值不等式，有等号当且仅当 x0=y0时成立，此时 故选 D也可利用圆的参数方程 x=rcos，y=rsin，有当15.已知一个圆锥的高和底面半径相等
14、，它的一个内接圆柱的高和圆柱的底面半径也相等，则圆柱的全面积和圆锥的全面积之比等于( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 如右图所示为圆锥和圆柱剖面图的一半，设圆柱和圆锥底面半径分别为 r和 R；由题意有：OE=OC=r，OA=OB=R，RtBEDRtBOA从而得 ，所以 R=2r圆柱全面积 S 1=2rr+r 2+r 2=4 2圆锥全面积 S 2=R R+R 2=( +1)(2r) 2所以16.设 f(x)的定义域是-1，0，则 的定义域是( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由 f(x)的定义域为-1，0，有 即 及-1sinx0，即 2k-1x2k(k 为整
15、数)联立解得17.设 f(x)的导数为 lnx，则 f(x)的一个原函数是( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由 f(x)=lnx，有 ，又取 C1=1，C 2=-1，有 f(x)的一个原函数为18.设 ，则( )AI0 BI=0 CI=D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 ，所以 arctanex+arctane-x=C(C为常数)将 x=0代入上式得 arctan1+arctan1=C，故那么， ，所以19.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 20. （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 当 时， 所以有21.在(0，+)内
16、F(x)0，若 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 解法一，特殊值代入法：取 f(x)=x-1，则有 f(x-1)=x-2，那么 又 f(x)=10，所以 f(x)=x-1满足题意显然在在(0，1)内 f(x)0，在(1，+)内 f(x)0解法二，因为 存在及 x2 时分母的极限为 0，所以 又 f(x)可导，从而 f(x)连续，所以22.行列式 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 要使行列式23.设 1、 2、 3线性无关，则( )也线性无关A 1+ 2、 2+ 3、 3- 1B 1+ 2、 2+ 3、 1+2 2+ 3C 1+22、 22 2+3 3、3 3+ 1D
17、 1+ 2+ 3、2 1-3 2+22 3、3 1+5 2-5 3（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 A 中，3 个向量对 1、 2、 3表示矩阵的行列式为：因而 A中，向量线性相关B中： ，C 中：D中：24.设 A为 n阶方阵，r(A)=n-3，且 1、 2、 3是 AX=0的 3个线性无关的解向量，则 AX=0的基础解系为( )A 1+ 2、 2+ 3、 3+ 1 B 2- 1、 3- 2、 1- 3C （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 因为 r(A)=n-3，可知 AX=0的基础解系所含向量的个数为 n-(n-3)=3；又因为 1、 2、 3为 AX=0的 3个线性无关解向量所以 1、 2、 3为 AX=0的基础解系且由 1( 2- 1)+1( 3- 2)+1( 1- 3)=0(2 2- 1)+2(25.已知矩阵 ，且 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由 Aa=a，而
